2015年天津高考理科数学试题及答案

数 学（理工类）

第I卷

注意事项：

·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：

如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互， P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．

柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．

第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合A2,3,5,6 ，集合B1,3,4,6,7 ，则集合 A∩C u B=

（A）2,5 （B）3,6 （C）2,5,6 （D）2,3,5,6,8

x20（2）设变量x,y 满足约束条件xy30 ，则目标函数zx6y的最大值为

2xy30（A）3（B）4（C）18（D）40

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为

（A）10 （B）6（C）14（D）18

（4）设xR ，则“x21 ”是“xx20 ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

（5）如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，弦CD,CE分别经过点M,N .若CM2,MD4,CN3 ，则线段NE 的长为 （A）

28105 （B）3（C） （D） 332x2y2（6）已知双曲线221a0,b0 的一条渐近线过点2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物

ab

线y247x 的准线上，则双曲线的方程为

x2y2x2y21 （A）1 （B）28212128x2y2x2y21 （D）1 （C）

3443（7）已知定义在R 上的函数fx2xm1 （m 为实数）为偶函数，记

af(log0.53),bflog25,cf2m ，则a,b,c 的大小关系为

（A）abc （B）acb （C）cab （D）cba

2x,x2,（8）已知函数fx 函数gxbf2x ，其中bR ，若函数2x2,x2,yfxgx 恰有4个零点，则b的取值范围是

（A）77, （B）,

44747,2 4（C）0, （D）第II卷

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）i 是虚数单位，若复数12iai 是纯虚数，则实数a的值为 .

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）， 则该几何体的体积为 m .

2（11）曲线yx 与直线yx 所围成的封闭图形的面

3

积为 .

12（12）在x 的展开式中，x 的系数为 .

4x（13）在ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知ABC的面积为315 ，

6

1bc2,cosA, 则a 的值为 . 4（14）在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB2,BC1,ABC60 ,动点E 和F 分别在线

1DC,则AEAF的最小值为 . 段BC 和DC 上, 且BEBC,DF9三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数fxsin2xsin2x(I)求f(x)最小正周期； (II)求f(x)在区间

16. （本小题满分13分）

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；

(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

17. （本小题满分13分）

，xR 6,上的最大值和最小值. 34AB=1, 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD,ABAC,

AC=AA1=2,AD=CD=5,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.

(I)求证： MN∥平面ABCD

(II)求二面角D1-AC-B1的正弦值；

(III)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为

1，求线段A1E的长 3

18. （本小题满分13分）

已知数列{an}满足an2qan(q为实数，且q1)，nN*,a11,a22，且

a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.

(I)求q的值和{an}的通项公式； (II)设bn

log2a2n的前n项和. ,nN*，求数列｛bn｝a2n1x2y2319. （本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F（-c,0）,离心率为，点M

ab3b443在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=.

4322(I)求直线FM的斜率； (II)求椭圆的方程；

(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.

20. （本小题满分14分）

已知函数f(x)nxx,xR，其中nN,n2.

n*(I)讨论f(x)的单调性；

(II)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数x，都有f(x)g(x)；

(III)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1，x2，求证： |x2-x1|绝密★启用前

1-n2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）

数学（理工类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。 （1）A （2）C （3）B （4）A （5）A （6）D （7）C （8）D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。 （9）-2 （10） （11）

831 6（12）

1529 （13）8 （14） 1618三、解答题

（15）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角函数的最

小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分13分。 （I）解：由已知，有

1cos(2x)1131cos2x3=1cos2xsin2xcos2x f(x)222222 311sin2xcos2xsin2x 44262 2所以，f(x)的最小正周期T=

,上是减函数，在区间,上是增函数，363113.所以，f(x)在区间,上的最大值为，f，f，f4423634441最小值为.

2(II)解：因为f(x)在区间（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

（I）解：由已知，有

22C2C3C32C326P(A) 4C835所以，事件A发生的概率为

6. 35

（II）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

C5kC34kP(Xk)(k1,2,3,4). 4C8所以，随见变量X的分布列为

X 1 2 3 4 P 1 143 73 71 14 随机变量X的数学期望EX113315234 1477142

（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用

空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,2,0),

A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D(1,2,2).

又因为M,N分别为B1C和D1D的中点， 得M1,,1,N(1,2,1).

(I)证明：依题意，可得n(0,0,1)为平面

125ABCD的一个法向量. MN=0,,0.由此可得

2MNn=0，又因为直线MN平面ABCD，所以MNMN∥平面ABCD.

（II）解：AD1(1,2,2)，AC(2,0,0).设n1(x,y,z)为平面ACD1的法向量，则

n1AD10,x2y2z0,即不妨设z1，可得n1(0,1,1). 2x0.n1AC0,,y2z0n1AB10, 设n2(x,y,z)为平面ACB1DE 法向量，则又AB1(0,1,2)，得

.2x0n1AC0,不妨设z=1，可得n2(0,2,1).

因此有cosn1,n2310n1n210，于是sinn1,n2. 10n1n210310。 10 所以，二面角D1ACB1的正弦值为（III）解：依题意，可设A其中0,1，则E0,,2，从而NE1,2,1。1EA1B1,，

NEn又n0,0,1为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cosNE,n NEn1(1)2(2)212=

1，整理得2430，又因为0,1，解得72. 3 所以，线段A1E的长为72.

(18)本小题主要考查等比数列及其前n项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分13分.

（I）解：由已知，有a3a4a2a3a4a5a3a4，即a4a2a5a3，所以

a2q1a3q1.又因为q1，故a3a22，由a3a1q，得q2.

当n2k1(kN)时，ana2k12kk12n12；

当n2k(kN)时，ana2k22.

1n22,n为奇数， 所以，an的通项公式为ann

22，n为偶数.n2（II）解：由（I）得bnlog2a2nnn1.设bn的前n项和为Sn，则 a2n12 Sn1

1111123...n1n ， 2021222n22n1111111Sn112233...n1n1nn， 222222上述两式相减，得

1n1111nn2n2 Sn12...n1nn2nn， 122222222121 整理得，Sn4n2. 2n1n2nN，. n12 所以，数列bn的前n项和为4

（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分14分.

c212222222（I）解：由已知有2，又由ab+c，可得a3c,b2c.

a3设直线FM的斜率为k(k0)，则直线FM的方程为yk(xc).由已知，有

2kcc2b23+，解得. k23k122x2y23（II）解：由（I）得椭圆方程为221，直线FM的方程为yxc，两个方程

3c2c3522联立，消去y，整理得3x2cx5c0，解得xc，或xc.因为点M在第一象限，可得M

32323432c的坐标为c,.有，解得c1，所以椭圆的方程为FM(cc)c03332x2y21. 32（III）解：设点P的坐标为x,y，直线FP的斜率为t，得ty，即ytx1x1， x1yt(x1),与椭圆方程联立x2y2消去y，整理得2x23t2(x1)26.又由已知，得

1,32362x2x1，或1x0. ，解得t2223(x1)

设直线OP的斜率为m，得my，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理可得xm222. 2x3 ①当x,1时，有yt(x1)0，因此m0，于是mm32223,. 3322，得x23 ②当x1,0时，有yt(x1)0，因此m0，于是m22，得2x323m,. 3 综上，直线OP的斜率的取值范围是,

23223,. 333（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等

基础知识和方法.考查分类讨论思想、函数思想和划归思想.考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分.

（I）解：由f(x)=nxxn，可得f'(x)=nnxn1=n1xn1，其中nN，且n2. 下面分两种情况讨论： （1）当n为奇数时.

令f'(x)=0，解得x1，或x1.

当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f'(x) f(x)

,1 - 1,1 + 1, -   

所以，f(x)在,1，1,上单调递减，在1,1内单调递增。

（2）当n为偶数时.

当f'(x)0，即x1时，函数f(x)单调递增； 当f'(x)0，即x1时，函数f(x)单调递减.

所以，f(x)在,1上单调递增，在1,上单调递减. （II）证明：设点P的坐标为x0,0，则x01n的切线方程为yf'(x0)xx0，即g(x)f'(x0)(xx0).令F(x)f(x)gx，即

'2，.曲线yf(x)在点P处f(x)nn0n1F(x)f(x)f'(x0)(xx0)，则F'(x)f'(x)f'(x0).

由于f'(x)nxn1n在0,上单调递减，故F'(x)在0,上单调递减.又因为所以当x0,x0时，F'(x)0，当xx0,时，F'(x)0，所以F(x)在0,x0F'(x0)0，

内单调递增，在x0,上单调递减，所以对于任意的正实数x，都有F(x)F(x0)0，即对于任意的正实数x，都有f(x)gx.

（III）证明：不妨设x1x2.由（II）知gxnn2xx0.设方程gxa的根为

x2'，可得x2'ax0，当n2时，在,上单调递减.又由（II）知2nngx2fx2agx2'，可得x1x2'.

类似地，设曲线yfx在原点处的切线方程为yhx，可得hxnx，当

x0,，fxhxxn0，即对于任意的x0,，fxhx.

'设方程hxa的根为x1'，可得x1hx1'afx1hx1，因此x1'x1.

''由此可得x2x1x2x1a.因为hxnx在,上单调递增，且nax0. 1nn111Cn11n1n，故2因为n2，所以2n1111nn1x0.

所以，x2x1

a2. 1n