1. 如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是
( )
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 棱柱
2. 下列图形中，是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
3. 代数式1√𝑥+1有意义时，𝑥应满足的条件为( )
A. 𝑥≠−1 B. 𝑥>−1 C. 𝑥<−1 D. 𝑥≤−1
4. 点(3,−5)在正比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)的图象上，则𝑘的值为( )
A. −15 B. 15
C. −3
5
D. −5
3
5. 下列运算正确的是( )
A. 3√−8=2 B.
𝑎+11
𝑎
−𝑎
=𝑎(𝑎≠0)
C. √5+√5=√10
D. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎5
6. 如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的对称轴为𝑥=−2，下列结论正确的是( )
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A. 𝑎<0
C. 当𝑥<−2时，𝑦随𝑥的增大而减小
B. 𝑐>0
D. 当𝑥>−2时，𝑦随𝑥的增大而减小
7. 实数𝑎，𝑏在数轴上的位置如图所示，则( )
A. 𝑎=𝑏 B. 𝑎>𝑏 C. |𝑎|<|𝑏| D. |𝑎|>|𝑏|
8. 为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区
入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是( )
A. 2
1
B. 4
1
C. 4
3
D. 12
5
9. 如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为3，点𝐸在边𝐶𝐷上，且𝐶𝐸=1，
∠𝐴𝐵𝐸的平分线交𝐴𝐷于点𝐹，点𝑀，𝑁分别是𝐵𝐸，𝐵𝐹的中点，则𝑀𝑁的长为( )
6
A. √23 B. √2
C. 2−√3
√2 D. √6−2
10. 如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图
形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第𝑛个图形需要2022根小木棒，则𝑛的值为( )
A. 252 B. 253 C. 336 D. 337
11. 在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差
22
𝑆乙=0.85，分别为𝑆甲=1.45，则考核成绩更为稳定的运动员是______.(填“甲”、
“乙”中的一个)．
12. 分解因式：3𝑎2−21𝑎𝑏=______．
𝐴𝐷=10，𝐴𝐶+𝐵𝐷=22，13. 如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，则△𝐵𝑂𝐶
的周长为______．
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14. 分式方程2𝑥=𝑥+1的解是______．
15. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝑂在边𝐴𝐶上，以𝑂
为圆心，4为半径的圆恰好过点𝐶，且与边𝐴𝐵相切⏜的长是______.(结于点𝐷，交𝐵𝐶于点𝐸，则劣弧𝐷𝐸果保留𝜋)
16. 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶=2𝐴𝐵，点𝑃为边𝐴𝐷上的一个动点，线段𝐵𝑃绕点𝐵顺时
𝐶𝑃′.当点𝑃′落在边𝐵𝐶上时，∠𝑃𝑃′𝐶的度数为______；针旋转60°得到线段𝐵𝑃′，连接𝑃𝑃′，当线段𝐶𝑃′的长度最小时，∠𝑃𝑃′𝐶的度数为______．
3
2
17. 解不等式：3𝑥−2<4．
18. 如图，点𝐷，𝐸在△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上，∠𝐵=∠𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐸，求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸．
19. 某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调
查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 频数分布表
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运动时间𝑡/𝑚𝑖𝑛 频数 30≤𝑡<60 60≤𝑡<90 90≤𝑡<120 120≤𝑡<150 150≤𝑡<180 合计 4 7 𝑎 9 6 𝑛 频率 0.1 0.175 0.35 0.225 𝑏 1 请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的𝑎=______，𝑏=______，𝑛=______； (2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120𝑚𝑖𝑛的学生人数．
20. 某燃气公司计划在地下修建一个容积为𝑉(𝑉为定值，单位：𝑚3)的圆柱形天然气储
存室，储存室的底面积𝑆(单位：𝑚2)与其深度𝑑(单位：𝑚)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求储存室的容积𝑉的值；
(2)受地形条件，储存室的深度𝑑需要满足16≤𝑑≤25，求储存室的底面积𝑆的取值范围．
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21. 已知𝑇=(𝑎+3𝑏)2+(2𝑎+3𝑏)(2𝑎−3𝑏)+𝑎2．
(1)化简𝑇；
(2)若关于𝑥的方程𝑥2+2𝑎𝑥−𝑎𝑏+1=0有两个相等的实数根，求𝑇的值． 22. 如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，点𝐶在⊙𝑂上，且𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=6．
⏜于点𝐷，连接𝐶𝐷(保留作图痕迹，不写(1)尺规作图：过点𝑂作𝐴𝐶的垂线，交劣弧𝐴𝐶作法)；
(2)在(1)所作的图形中，求点𝑂到𝐴𝐶的距离及sin∠𝐴𝐶𝐷的值．
23. 某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一
时刻，旗杆𝐴𝐵的影子为𝐵𝐶，与此同时在𝐶处立一根标杆𝐶𝐷，标杆𝐶𝐷的影子为𝐶𝐸，𝐶𝐷=1.6𝑚，𝐵𝐶=5𝐶𝐷． (1)求𝐵𝐶的长；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆𝐴𝐵的高度． 条件①：𝐶𝐸=1.0𝑚；条件②：从𝐷处看旗杆顶部𝐴的仰角𝛼为54.46°． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 参考数据：𝑠𝑖𝑛54.46°≈0.81，𝑐𝑜𝑠54.46°≈0.58，𝑡𝑎𝑛54.46°≈1.40．
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24. 已知直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过点(0,7)和点(1,6)．
(1)求直线𝑙的解析式；
(2)若点𝑃(𝑚,𝑛)在直线𝑙上，以𝑃为顶点的抛物线𝐺过点(0,−3)，且开口向下． ①求𝑚的取值范围；
当点𝑄向左平移1个单位长度后得到的点𝑄′②设抛物线𝐺与直线𝑙的另一个交点为𝑄，也在𝐺上时，求𝐺在
4𝑚5
≤𝑥≤
4𝑚5
+1的图象的最高点的坐标．
25. 如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷=120°，𝐴𝐵=6，连接𝐵𝐷．
(1)求𝐵𝐷的长；
(2)点𝐸为线段𝐵𝐷上一动点(不与点𝐵，𝐷重合)，点𝐹在边𝐴𝐷上，且𝐵𝐸=√3𝐷𝐹． ①当𝐶𝐸⊥𝐴𝐵时，求四边形𝐴𝐵𝐸𝐹的面积；
②当四边形𝐴𝐵𝐸𝐹的面积取得最小值时，𝐶𝐸+√3𝐶𝐹的值是否也最小？如果是，求𝐶𝐸+√3𝐶𝐹的最小值；如果不是，请说明理由．
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答案解析
1.【答案】𝐴
【解析】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形， ∴判断这个几何体是圆锥， 故选：𝐴．
根据基本几何体的展开图判断即可．
本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
2.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴.不是中心对称图形，故此选项不合题意； B.不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.是中心对称图形，故此选项符合题意； D.不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：𝐶．
根据中心对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】𝐵
【解析】解：代数式√𝑥+1有意义时，𝑥+1>0， 解得：𝑥>−1． 故选：𝐵．
直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
14.【答案】𝐷
【解析】解：∵点(3,−5)在正比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)的图象上， ∴−5=3𝑘， 解得：𝑘=−3，
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5
故选：𝐷．
直接把已知点代入，进而求出𝑘的值．
此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确得出𝑘的值是解题关键．
5.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴．3√−8=−2，故此选项不合题意； B.
𝑎+1𝑎
−𝑎=1，故此选项不合题意；
1
C.√5+√5=2√5，故此选项不合题意； D.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故此选项符合题意； 故选：𝐷．
直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】𝐶
【解析】解：∵图象开口向上， ∴𝑎>0，故A不正确； ∵图象与𝑦轴交于负半轴， ∴𝑐<0，故B不正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥=−2，
∴当𝑥<−2时，𝑦随𝑥的增大而减小，𝑥>−2时，𝑦随𝑥的增大而增大， 故C正确，𝐷不正确； 故选：𝐶．
根据图象得出𝑎，𝑐的符号即可判断𝐴、𝐵，利用二次函数的性质即可判断𝐶、𝐷． 此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
7.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴.∵𝑎<0，𝑏>0，∴𝑎≠𝑏，故不符合题意； B.∵𝑎<0，𝑏>0，∴𝑎<𝑏，故不符合题意； C.由数轴可知|𝑎|<|𝑏|，故符合题意； D.由𝐶可知不符合题意．
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故选：𝐶．
根据𝑎，𝑏两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．
本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断𝑎，𝑏的正负，以及绝对值的大小．
8.【答案】𝐴
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种， ∴甲被抽中的概率为12=2， 故选：𝐴．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，再由概率公式求解即可．
本题考查的用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6
1
9.【答案】𝐷
【解析】解：连接𝐸𝐹，如图：
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为3， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷=√3， ∵𝐶𝐸=1，
∴𝐷𝐸=√3−1，tan∠𝐸𝐵𝐶=𝐵𝐶=∴∠𝐸𝐵𝐶=30°，
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐸𝐵𝐶=60°，
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𝐶𝐸
1√=
3√3， 3
∵𝐴𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸， ∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝐵𝐸=30°，
21
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐹中，𝐴𝐹=
𝐴𝐵√3=1，
∴𝐷𝐹=𝐴𝐷−𝐴𝐹=√3−1，
∴𝐷𝐸=𝐷𝐹，△𝐷𝐸𝐹是等腰直角三角形， ∴𝐸𝐹=√2𝐷𝐸=√2×(√3−1)=√6−√2， ∵𝑀，𝑁分别是𝐵𝐸，𝐵𝐹的中点， ∴𝑀𝑁是△𝐵𝐸𝐹的中位线， ∴𝑀𝑁=𝐸𝐹=
21
√6−√2． 2
故选：𝐷．
tan∠𝐸𝐵𝐶=𝐵𝐶=3=𝐶𝐸=1，连接𝐸𝐹，由正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为3，可得𝐷𝐸=√3−1，√√3，即得∠𝐸𝐵𝐶3
𝐶𝐸
1=30°，又𝐴𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸，可得∠𝐴𝐵𝐹=2∠𝐴𝐵𝐸=30°，故AF=
1𝐴𝐵√3=1，
𝐷𝐹=𝐴𝐷−𝐴𝐹=√3−1，可知𝐸𝐹=√2𝐷𝐸=√2×(√3−1)=√6−√2，而𝑀，𝑁分别是𝐵𝐸，𝐵𝐹的中点，即得𝑀𝑁=𝐸𝐹=√
21
6−√22
．
本题考查正方形性质及应用，涉及含30°角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系，解题的关键是根据已知求得∠𝐸𝐵𝐶=30°．
10.【答案】𝐵
【解析】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒， 第2个图形需要6×2+2=14根小木棒， 第3个图形需要6×3+2×2=22根小木棒，
按此规律，第𝑛个图形需要6𝑛+2(𝑛−1)=(8𝑛−2)个小木棒， 当8𝑛−2=2022时， 解得𝑛=253， 故选：𝐵．
根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2=14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2=22根小木棒，按此规律，得出第𝑛个图形需要的小木棒根数即可．
本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第𝑛个图形需要
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(8𝑛−2)个小木棒是解题的关键．
11.【答案】乙
22
【解析】解：∵两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为𝑆甲=1.45，𝑆乙=0.85， 22∴𝑆甲>𝑆乙，
∴考核成绩更为稳定的运动员是乙； 故答案为：乙．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的即可．
此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键．
12.【答案】3𝑎(𝑎−7𝑏)
【解析】解：3𝑎2−21𝑎𝑏=3𝑎(𝑎−7𝑏)． 故答案为：3𝑎(𝑎−7𝑏)．
直接提取公因式3𝑎，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13.【答案】21
【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∴𝐴𝑂=𝑂𝐶=2𝐴𝐶，𝐵𝑂=𝑂𝐷=2𝐵𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶=10， ∵𝐴𝐶+𝐵𝐷=22， ∴𝑂𝐶+𝐵𝑂=11，
∴△𝐵𝑂𝐶的周长=𝑂𝐶+𝑂𝐵+𝐵𝐶=11+10=21． 故答案为：21．
根据平行四边形对角线互相平分，求出𝑂𝐶+𝑂𝐵的长，即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．
1
1
14.【答案】𝑥=3
【解析】解：2𝑥=𝑥+1， 3(𝑥+1)=4𝑥， 解得：𝑥=3，
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3
2
检验：当𝑥=3时，2𝑥(𝑥+1)≠0， ∴𝑥=3是原方程的根， 故答案为：𝑥=3．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
15.【答案】2𝜋
【解析】解：连接𝑂𝐷，𝑂𝐸， ∵𝑂𝐶=𝑂𝐸， ∴∠𝑂𝐶𝐸=∠𝑂𝐸𝐶， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝑂𝐸+∠𝑂𝐶𝐸+∠𝑂𝐸𝐶， ∴∠𝐴=∠𝐶𝑂𝐸，
∵圆𝑂与边𝐴𝐵相切于点𝐷， ∴∠𝐴𝐷𝑂=90°， ∴∠𝐴+∠𝐴𝑂𝐷=90°， ∴∠𝐶𝑂𝐸+∠𝐴𝑂𝐷=90°，
∴∠𝐷𝑂𝐸=180°−(∠𝐶𝑂𝐸+∠𝐴𝑂𝐷)=90°， ⏜的长是∴劣弧𝐷𝐸
90×𝜋×4180
=2𝜋．
故答案为：2𝜋．
连接𝑂𝐷，𝑂𝐸，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠𝐴=∠𝐶𝑂𝐸，再根据切线的性质和平角的定义可得∠𝐷𝑂𝐸=90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答． 本题考查了切线的性质，弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16.【答案】120° 75°
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【解析】解：如图，以𝐴𝐵为边向右作等边△𝐴𝐵𝐸，连接𝐸𝑃′．
∵△𝐵𝑃𝑃′是等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝑃𝐵𝑃′=60°，𝐵𝑃=𝐵𝑃′，𝐵𝐴=𝐵𝐸， ∴∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐸𝐵𝑃′， 在△𝐴𝐵𝑃和△𝐸𝐵𝑃′中， 𝐵𝐴=𝐵𝐸
{∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐸𝐵𝑃′， 𝐵𝑃=𝐵𝑃′
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐸𝐵𝑃′(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐵𝐴𝑃=𝐵𝐸𝑃′=90°， ∴点𝑃′在射线𝐸𝑃′上运动， 如图1中，设𝐸𝑃′交𝐵𝐶于点𝑂，
当点𝑃′落在𝐵𝐶上时，点𝑃′与𝑂重合，此时∠𝑃𝑃′𝐶=180°−60°=120°， 当𝐶𝑃′⊥𝐸𝑃′时，𝐶𝑃′的长最小，此时∠𝐸𝐵𝑂=∠𝑂𝐶𝑃′=30°， ∴𝐸𝑂=−𝑂𝐵，𝑂𝑃′=𝑂𝐶，
22
∴𝐸𝑃′=𝐸𝑂+𝑂𝑃′=2𝑂𝐵+2𝑂𝐶=2𝐵𝐶， ∵𝐵𝐶=2𝐴𝐵， ∴𝐸𝑃′=𝐴𝐵=𝐸𝐵， ∴∠𝐸𝐵𝑃′=∠𝐸𝑃′𝐵=45°， ∴∠𝐵𝑃′𝐶=45°+90°=135°，
∴∠𝑃𝑃′𝐶=∠𝐵𝑃′𝐶−∠𝐵𝑃′𝑃=135°−60°=75°． 故答案为：120°，75°．
1
1
1
1
1
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如图，以𝐴𝐵为边向右作等边△𝐴𝐵𝐸，连接𝐸𝑃′.利用全等三角形的性质证明∠𝐵𝐸𝑃′=90°，推出点𝑃′在射线𝐸𝑃′上运动，如图1中，设𝐸𝑃′交𝐵𝐶于点𝑂，再证明△𝐵𝐸𝑂是等腰直角三角形，可得结论．
本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】解：移项得：3𝑥<4+2，
合并同类项得：3𝑥<6， 系数化为1得：𝑥<2．
【解析】移项，合并同类项，系数化为1即可求解．
本题考查一元一次不等式的解法，解题关键是熟知不等式的性质以及解一元一次不等式的基本步骤．
18.【答案】证明：∵∠𝐵=∠𝐶，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶{∠𝐵=∠𝐶， 𝐵𝐷=𝐶𝐸
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)．
【解析】根据等角对等边可得𝐴𝐵=𝐴𝐶，然后利用𝑆𝐴𝑆证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，即可解答． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】14 0.15 40
【解析】解：(1)由题意可知，𝑛=4÷0.1=40， ∴𝑎=40×0.35=14，𝑏=6÷40=0.15， 故答案为：14；0.15；40； (2)补全频数分布直方图如下：
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(3)480×
4+7+1440
=300(人)，
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120𝑚𝑖𝑛的学生人数为300人． (1)根据“频率=频数÷总数”可得𝑛的值，进而得出𝑎、𝑏的值； (2)根据𝑎的值即可补全条形统计图； (3)利用样本估计总体解答即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
20.【答案】解：(1)设底面积𝑆与深度𝑑的反比例函数解析式为𝑆=𝑑，把点(20,500)代入
解析式得500=20， ∴𝑉=10000． 2)由(1)得𝑆=
10000𝑑𝑉
𝑉
，
∵𝑆随𝑑的增大而减小，
∴当16≤𝑑≤25时，400≤𝑆≤625，
【解析】(1)设底面积𝑆与深度𝑑的反比例函数解析式为𝑆=𝑑，把点(20,500)代入解析式求出𝑉的值；
(2)由𝑑的范围和图像的性质求出𝑆的范围．
此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易程度适中．
𝑉
21.【答案】解：(1)𝑇=(𝑎+3𝑏)2+(2𝑎+3𝑏)(2𝑎−3𝑏)+𝑎2
=𝑎2+6𝑎𝑏+9𝑏2+4𝑎2−9𝑏2+𝑎2
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=6𝑎2+6𝑎𝑏；
(2)∵关于𝑥的方程𝑥2+2𝑎𝑥−𝑎𝑏+1=0有两个相等的实数根， ∴𝛥=(2𝑎)2−4(−𝑎𝑏+1)=0， ∴𝑎2+𝑎𝑏=1， ∴𝑇=6×1=6．
【解析】(1)根据完全平方公式和平方差公式化简𝑇； (2)根据根的判别式可求𝑎2+𝑎𝑏，再代入计算可求𝑇的值．
本题考查了整式的混合运算，根的判别式，一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：
①当𝛥>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当𝛥=0时，方程有两个相等的实数根； ③当𝛥<0时，方程无实数根．
22.【答案】解：(1)分别以𝐴、𝐶为圆心，大于2𝐴𝐶为半径
画弧，在𝐴𝐶的两侧分别相交于𝑃、𝑄两点，画直线𝑃𝑄交劣⏜于点𝐷，弧𝐴𝐶交𝐴𝐶于点𝐸，即作线段𝐴𝐶的垂直平分线即可； (2)∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，且𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=6． ∴𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=10， ∵𝑂𝐷⊥𝐴𝐶， ∴𝐴𝐸=𝐶𝐸， 又∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，
∴𝑂𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∴𝑂𝐸=2𝐵𝐶=4， 即点𝑂到𝐴𝐶的距离为4，
∵𝐷𝐸=𝑂𝐷−𝐶𝐸=5−4=1，𝐶𝐸=2𝐴𝐶=3， ∴𝐶𝐷=√𝐷𝐸2+𝐸𝐶2=√12+32=√10， ∴sin∠𝐴𝐶𝐷=𝐶𝐷=
𝐷𝐸
1√1
1
1
=10√10
． 10
【解析】(1)利用尺规作图，作线段𝐴𝐶的垂直平分线即可；
(2)根据垂径定理、勾股定理可求出直径𝐴𝐵=10，𝐴𝐸=𝐸𝐶=3，由三角形中位线定理
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可求出𝑂𝐸，即点𝑂到𝐴𝐶的距离，在直角三角形𝐶𝐷𝐸中，求出𝐷𝐸，由勾股定理求出𝐶𝐷，再根据锐角三角函数的定义可求出答案．
本题考查尺规作图，直角三角形的边角关系以及三角形中位线定理，掌握直角三角形的边角关系以及三角形的中位线定理是解决问题的前提．
23.【答案】解：(1)∵𝐵𝐶=5𝐶𝐷，𝐶𝐷=1.6𝑚，
∴𝐵𝐶=5×1.6=8(𝑚)， ∴𝐵𝐶的长为8𝑚； (2)若选择条件①： 由题意得：
𝐴𝐵𝐵𝐶
=
𝐷𝐶𝐶𝐸
， ，
∴
𝐴𝐵8
=
1.61
∴𝐴𝐵=12.8，
∴旗杆𝐴𝐵的高度为12.8𝑚； 若选择条件②：
过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为𝐹， 则𝐷𝐶=𝐵𝐹=1.6𝑚，𝐷𝐹=𝐵𝐶=8𝑚， 在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中，∠𝐴𝐷𝐹=54.46°，
∴𝐴𝐹=𝐷𝐹⋅𝑡𝑎𝑛54.46°≈8×1.4=11.2(𝑚)， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐹+𝐵𝐹=11.2+1.6=12.8(𝑚)， ∴旗杆𝐴𝐵的高度约为12.8𝑚．
【解析】(1)根据已知𝐵𝐶=5𝐶𝐷，进行计算即可解答；
(2)若选择条件①，根据同一时刻的物高与影长是成比例的，进行计算即可解答； 若选择条件②，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为𝐹，根据题意可得𝐷𝐶=𝐵𝐹=1.6𝑚，𝐷𝐹=𝐵𝐶=8𝑚，然后在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中，利用锐角三角函数的定义求出𝐴𝐹的长，进行计算即可
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解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点(0,7)和点(1,6)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏，
∴{
𝑏=7
，
𝑘+𝑏=6
𝑘=−1解得{，
𝑏=7∴𝑦=−𝑥+7；
(2)①∵点𝑃(𝑚,𝑛)在直线𝑙上， ∴𝑛=−𝑚+7，
设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−𝑚)2+7−𝑚， ∵抛物线经过点(0,−3)， ∴𝑎𝑚2+7−𝑚=−3， ∴𝑎=
𝑚−10𝑚2，
∵抛物线开口向下， ∴𝑎<0， ∴𝑎=
𝑚−10𝑚2<0，
∴𝑚<10且𝑚≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线𝑥=𝑚， ∴𝑄点与𝑄′关于𝑥=𝑚对称， ∴𝑄点的横坐标为𝑚+2，
𝑦=−𝑥+7
联立方程组{，
𝑦=𝑎(𝑥−𝑚)2+7−𝑚整理得𝑎𝑥2+(1−2𝑚𝑎)𝑥+𝑎𝑚2−𝑚=0， ∵𝑃点和𝑄点是直线𝑙与抛物线𝐺的交点， ∴𝑚+𝑚+2=2𝑚−𝑎， ∴𝑎=−2，
∴𝑦=−2(𝑥+𝑚)2+7−𝑚， ∴−2𝑚2+7−𝑚=−3， 解得𝑚=2或𝑚=−2，
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5
1
11
当𝑚=2时，𝑦=−2(𝑥−2)2+5， 此时抛物线的对称轴为直线𝑥=2， 图象在5≤𝑥≤
58
135
上的最高点坐标为(2,5)；
5
192
当𝑚=−2时，𝑦=−2(𝑥+2)2+
，
此时抛物线的对称轴为直线𝑥=−2，
图象在−2≤𝑥≤−1上的最高点坐标为(−2,9)； 综上所述：𝐺在
4𝑚5
5
≤𝑥≤
4𝑚5
+1的图象的最高点的坐标为(−2,9)或(2,5)．
【解析】(1)用待定系数法求解析式即可；
(2)①设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−𝑚)2+7−𝑚，将点(0,−3)代入可得𝑎𝑚2+7−𝑚=−3，再由𝑎=
𝑚−10𝑚2
<0，求𝑚的取值即可；
𝑦=−𝑥+71
联立方程组{，整理得𝑎𝑥2+②由题意求出𝑄点的横坐标为𝑚+2，
𝑦=𝑎(𝑥−𝑚)2+7−𝑚(1−2𝑚𝑎)𝑥+𝑎𝑚2−𝑚=0，根据根与系数的关系可得𝑚+𝑚+2=2𝑚−𝑎，可求𝑎=−2，从而可求𝑚=2或𝑚=−2，确定抛物线的解析式后即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
5
1
1
25.【答案】解：(1)过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于𝐻，如图：
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐵=6， ∴∠𝐵𝐴𝐷=120°， ∴∠𝐷𝐴𝐻=60°， 在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐻中， 𝐷𝐻=𝐴𝐷⋅sin∠𝐷𝐴𝐻=6×
√321
=3√3，
𝐴𝐻=𝐴𝐷⋅cos∠𝐷𝐴𝐻=6×2=3，
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∴𝐵𝐷=√𝐷𝐻2+𝐵𝐻2=√(3√3)2+(6+3)2=6√3；
(2)①设𝐶𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵于𝑀点，过点𝐹作𝐹𝑁⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于𝑁，如图：
菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，
∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷=6，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=120°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐵𝐴𝐷=180°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=180°−∠𝐵𝐴𝐷=60°，
在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝑀中，𝐵𝑀=𝐵𝐶⋅cos∠𝐴𝐵𝐶=6×2=3， ∵𝐵𝐷是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线， ∴∠𝐷𝐵𝐴=2∠𝐴𝐵𝐶=30°， 在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝑀中，
𝑀𝐸=𝐵𝑀⋅tan∠𝐷𝐵𝑀=3×𝐵𝐸=cos∠𝐷𝐵𝑀=
𝐵𝑀
3√32
1
1
√33
=√3，
=2√3，
∵𝐵𝐸=√3𝐷𝐹， ∴𝐷𝐹=2，
∴𝐴𝐹=𝐴𝐷−𝐷𝐹=4， 在𝑅𝑡△𝐴𝐹𝑁中，
∠𝐹𝐴𝑁=180°−∠𝐵𝐴𝐷=60°， ∴𝐹𝑁=𝐴𝐹⋅sin∠𝐹𝐴𝑁=4×
1√32
=2√3，
𝐴𝑁=𝐴𝐹⋅cos∠𝐹𝐴𝑁=4×2=2， ∴𝑀𝑁=𝐴𝐵+𝐴𝑁−𝐵𝑀=6+2−3=5， ∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐸𝐹=𝑆△𝐵𝐸𝑀+𝑆梯形𝐸𝑀𝑁𝐹−𝑆△𝐴𝐹𝑁 =2𝐸𝑀⋅𝐵𝑀+2(𝐸𝑀+𝐹𝑁)⋅𝑀𝑁−2𝐴𝑁⋅𝐹𝑁 =2×√3×3+2×(√3+2√3)×5−2×2×2√3 =2√3+
3
152
1
1
1
1
1
1
√3−2√3
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=7√3；
②当四边形𝐴𝐵𝐸𝐹的面积取最小值时，𝐶𝐸+√3𝐶𝐹的值是最小，
理由：设𝐷𝐹=𝑥，则𝐵𝐸=√3𝐷𝐹=√3𝑥，过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐴𝐵于点𝐻，过点𝐹作𝐹𝐺⊥𝐶𝐻于点𝐺，
过点𝐸作𝐸𝑌⊥𝐶𝐻于点𝑌，作𝐸𝑀⊥𝐴𝐵于𝑀点，过点𝐹作𝐹𝑁⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于𝑁，如图：
∴𝐸𝑌//𝐹𝐺//𝐴𝐵，𝐹𝑁//𝐶𝐻， ∴四边形𝐸𝑀𝐻𝑌、𝐹𝑁𝐻𝐺是矩形，
∴𝐹𝑁=𝐺𝐻，𝐹𝐺=𝑁𝐻，𝐸𝑌=𝑀𝐻，𝐸𝑀=𝑌𝐻， 由①可知：𝑀𝐸=𝐵𝐸=√𝑥，
2
2
1
3𝐵𝑀=
√3𝐵𝐸212
=2𝑥，
12
12
3
𝐴𝑁=𝐴𝐹=(𝐴𝐷−𝐷𝐹)=3−𝑥， 𝐹𝑁=𝐶𝐻=
√3𝐴𝐹2√3𝐵𝐶2
=
6√3−√3𝑥， 2
1
=3√3，𝐵𝐻=2𝐵𝐶=3，
3
∴𝐴𝑀=𝐴𝐵−𝐵𝑀=6−2𝑥， 𝐴𝐻=𝐴𝐵−𝐵𝐻=3， 𝑌𝐻=𝑀𝐸=𝐺𝐻=𝐹𝑁=
√3𝑥， 2
6√3−√3𝑥， 2
3
𝐸𝑌=𝑀𝐻=𝐵𝑀−𝐵𝐻=2𝑥−3， ∴𝐶𝑌=𝐶𝐻−𝑌𝐻=3√3−
√3𝑥， 2𝑥
𝐹𝐺=𝑁𝐻=𝐴𝑁+𝐴𝐻=6−2，𝐶𝐺=𝐶𝐻−𝐺𝐻=3√3−6√3−√3𝑥=√3𝑥，
22∴𝑀𝑁=𝐴𝐵+𝐴𝑁−𝐵𝑀=6+3−2𝑥−2𝑥=9−2𝑥， ∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐸𝐹=𝑆△𝐵𝐸𝑀+𝑆梯形𝐸𝑀𝑁𝐹−𝑆△𝐴𝐹𝑁
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1
3
=2𝐸𝑀⋅𝐵𝑀+2(𝐸𝑀+𝐹𝑁)⋅𝑀𝑁−2𝐴𝑁⋅𝐹𝑁 =×
21
√3𝑥2
111
×𝑥+(
23√3𝑥2
3
1√3𝑥22
+
6√3−√3𝑥)⋅2
(9−2𝑥)−(3−𝑥)⋅
2
2
11
6√3−√3𝑥 2
==∵
√32
𝑥4√3(𝑥4√34
−
+9√3
27√3， 4
−3)2+
>0，
∴当𝑥=3时，四边形𝐴𝐵𝐸𝐹的面积取得最小值， 𝐶𝐸+√3𝐶𝐹=√𝐶𝑌2+𝐸𝑌2+√3⋅√𝐹𝐺2+𝐶𝐺2 =√(3√3−√3𝑥)22
34
+(2𝑥−3)2+√3×√(6−2𝑥)2+(2𝑥)2
9
14
34
4
31√3=√27−9𝑥+𝑥2+𝑥2−9𝑥+9+√3×√36−6𝑥+𝑥2+𝑥2 =√3𝑥2−18𝑥+36+√3×√36−6𝑥+𝑥2 =√3(𝑥−3)2+9+√3(𝑥−3)2+81，
∵(𝑥−3)2≥0，当且仅当𝑥=3时，(𝑥−3)2=0， ∴𝐶𝐸+√3𝐶𝐹=√3(𝑥−3)2+9+√3(𝑥−3)2+81≥12，
当且仅当𝑥=3时，𝐶𝐸+√3𝐶𝐹=12，即当𝑥=3时，𝐶𝐸+√3𝐶𝐹的最小值为12， ∴当四边形𝐴𝐵𝐸𝐹的面积取最小值时，𝐶𝐸+√3𝐶𝐹的值也最小，最小值为12． 【解析】(1)过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于𝐻，根据菱形120°内角得邻补角是60°，利用三角函数即可解答；
(2)①设𝐶𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵于𝑀点，过点𝐹作𝐹𝑁⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于𝑁，因为利用即可求解𝑆四边形𝐴𝐵𝐸𝐹=𝑆△𝐵𝐸𝑀+𝑆梯形𝐸𝑀𝑁𝐹−𝑆△𝐴𝐹𝑁，所以先解直角三角形求出上面求各部分面积需要的边长即可解答；
则𝐵𝐸=√3𝐷𝐹=√3𝑥，过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐴𝐵于点𝐻，过点𝐹作𝐹𝐺⊥𝐶𝐻于点𝐺，②设𝐷𝐹=𝑥，
过点𝐸作𝐸𝑌⊥𝐶𝐻于点𝑌，作𝐸𝑀⊥𝐴𝐵于𝑀点，过点𝐹作𝐹𝑁⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于𝑁，所以四边形𝐸𝑀𝐻𝑌、𝐹𝑁𝐻𝐺是矩形，对边相等，方法同①，用含𝑥的式子表示计算面积需要的各边长并代入到𝑆四边形𝐴𝐵𝐸𝐹=𝑆△𝐵𝐸𝑀+𝑆梯形𝐸𝑀𝑁𝐹−𝑆△𝐴𝐹𝑁中，根号里面化简、合并、配成二次函数的顶点式即可求出最值，从而解答．
本题是四边形综合题，考查了菱形性质、解直角三角形、割补法求不规则图形面积、二次函数的顶点式及最值等知识点，也考查了从特殊到一般的数学思想和转化思想，难度较大，计算繁琐，解题关键是熟练掌握二次函数性质，是中考常考题型．
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