清明作业二

（导数）

一．填空题

(1) 函数f(x)x33x21是减函数的区间为 ； （2）曲线yx33x21在点（1，-1）处的切线方程为 ；

(3) 函数y＝ax＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝ ； (4) 函数f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3时取得极值，则a= ； (5) 在函数yx38x的图象上，其切线的倾斜角小于是 ；

（6）函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是 ； （7）函数f(x)3x4x3 （x0,1的最大值是 ；

（8）函数f(x)=x（x－1）（x－2）…（x－100）在x＝0处的导数值为 ；

（9）曲线y13xx32

4的点中，坐标为整数的点的个数

在点1，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ；

32

3

4（10）．设f ( x ) = x－x－2x＋5，当x[1,2]时，f ( x ) < m恒成立，则实数m

23

2

2

1的取值范围为 .

（11）．函数y = f ( x ) = x＋ax＋bx＋a，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 （12）．已知函数f(x)4x3bx2ax5在x32,x1处有极值，那么a ；b （13）．已知函数f(x)x3ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 （14）．已知函数f(x)x33ax23(a2)x1 既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 （15）．若函数f(x)x3x2mx1 是R是的单调函数，则实数m的取值范围是 ；

三．解答题

16．已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P（0,2）,且在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy70.（Ⅰ）求函数yf(x)的解析式；（Ⅱ）求函数yf(x)的单调区间.

1

17．已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值. （Ⅰ）讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程.

18．已知函数f(x)ax332(a2)x6x3

2（1）当a2时，求函数f(x)极小值；（2）试讨论曲线yf(x)与x轴公共点的个数。

2

19．已知x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点，其中m,nR,m0， （I）求m与n的关系式； （II）求f(x)的单调区间；

（III）当x1,1时，函数yf(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.

20．设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

2（Ⅱ）若对于任意的x[0，3]，都有f(x)c成立，求c的取值范围．

3

21．已知f(x)ax3bx2cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(,0),(1,)上是减函数,又

13f(). 22(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围.

22．设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x6y70垂直，导函数f'(x)的最小值为12．

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值．

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高二清明节数学作业二

参考解答

一．1、(,2) ，2、y3x2， 3、1， 4、5， 5、0， 6、a0， 7、1， 8、100！，9、 10、m>7 11、4 -11 12、18,3 13、(,0) 14、 ,)911315、(,1)(2,)

二．16．解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以

f(x)xbx322cx2,f(x)3x2bxc.由在M(1,f(1))处的切线方程是6xy70故）

32bc6,2bc3,即解得bc3.知6f(1)70,即f(1)1,f(1)6.1bc21.bc0,所求的解析

2式是

2f(x)x3x3x2.32（2

2f(x)3x6x3.令3x6x30,即x2x10.2时,f(x)0;解得 x112,x212. 当

2时,f(x)0.x12,或x132当

12x1故

2,)f(x)x3x3x2在(,1在(12)内是增函数，

2,1在(12)内是减函数，内

是增函数.

17．（Ⅰ）解：f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即

3a2b30,解得a1,b03a2b30..

∴f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1). 令f(x)0，得x1,x1.

若x(,1)(1,)，则f(x)0，

故f(x)在(,1)上是增函数，f(x)在(1,)上是增函数. 若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是减函数. 所以，f(1)2是极大值；f(1)2是极小值.

（Ⅱ）解：曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上.

设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0x033x0.

因f(x0)3(x021)，故切线的方程为yy03(x021)(xx0)

注意到点A（0，16）在切线上，有16(x033x0)3(x021)(0x0)

化简得x038，解得x02.

所以，切点为M(2,2)，切线方程为9xy160.

18．解：（1）f'(x)3ax23(a2)x63a(x)(x1),f(x)极小值为f(1)a

5

2a2

（2）①若a0，则f(x)3(x1)2，f(x)的图像与x轴只有一个交点； ②若a0， f(x)极大值为f(1)f(x)的图像与x轴有三个交点；

a20，f(x)的极小值为f()02a，

③若0a2，f(x)的图像与x轴只有一个交点；

④若a2，则f'(x)6(x1)20，f(x)的图像与x轴只有一个交点； ⑤若a2，由（1）知f(x)的极大值为f()4()2aa4213340，f(x)的图像与x轴只有

一个交点；

综上知，若a0,f(x)的图像与x轴只有一个交点；若a0，f(x)的图像与x轴有三个交点。 19．解(I)f(x)3mx26(m1)xn因为x1是函数f(x)的一个极值点,

所以f(1)0,即3m6(m1)n0，所以n3m6

（II）由（I）知，f(x)3mx26(m1)x3m6=3m(x1)x12m

当m0时，有11 x 2,1 m012m2m，当x变化时，f(x)与f(x)的变化如下表：

21,1 m01 0 极大值 1, 0f(x) f(x) 0 极小值 调调递减 单调递增 单调递减 故有上表知，当m0时，f(x)在,12单调递减， m在(12m,1)单调递增，在(1,)上单调递减.

（III）由已知得f(x)3m，即mx22(m1)x20

又m0所以x22m1m(m1)x)x2m2m0即x22m(m1)x2m0,x1,1①

设g(x)x22(1，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

6

220g(1)012所以mmg(1)010解之得43m又m0

所以43m0即m的取值范围为,0

3420．解：（Ⅰ）f(x)6x26ax3b，

因为函数f(x)在x1及x2取得极值，则有f(1)0，f(2)0． 即66a3b0，2412a3b0．解得a3，b4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)2x39x212x8c，

2f(x)6x18x126(x1)(x2)． 当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，2)时，f(x)0；当x(2，3)时，f(x)0． 所以，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c．

3时，f(x)的最大值为f(3)98c． 则当x0，3，有f(x)c2恒成立，所以 98cc2， 因为对于任意的x0，解得 c1或c9，因此c的取值范围为(，1)(9，)． 21．解：（Ⅰ）f(x)3ax22bxc，由已知f(0)f(1)0，

c0，c0，即解得3

3a2bc0，ba．2313a3a2f(x)3ax3ax，f422212，a2，f(x)2x33x2．

（Ⅱ）令f(x)≤x，即2x33x2x≤0，

x(2x1)(x1)≥0，0≤x≤或x≥1．

12又f(x)≤x在区间0，m上恒成立，0m≤22.（Ⅰ）∵f(x)为奇函数，∴f(x)f(x)

即ax3bxcax3bxc∴c0

∵f'(x)3ax2b的最小值为12∴b12

又直线x6y70的斜率为，因此，f'(1)3ab6∴a2，b12，c0．

61（Ⅱ）f(x)2x312x．f'(x)6x2126(x2)(x2)，列表如下：

x f'(x) f(x) (,2)  2 0 (2,2)  2 0 (2,)  极大 极小  所以函数f(x)的单调增区间是(,2)和(2,) ∵f(1)10，f(2)82，f(3)18

∴f(x)在[1,3]上的最大值是f(3)18，最小值是f(2)82

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