误差理论与数据处理实验报告.

实验报告

姓名：黄大洲 学号：3111002350 班级：11级计测1班 指导老师：陈益民

实验一 误差的基本性质与处理

一、实验目的

了解误差的基本性质以及处理方法

二、实验原理

（1）算术平均值

对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。

1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n而得的值成为算术平均值。

设 l1，l2，…,ln为n次测量所得的值，则算术平均值

lil1l2...lnxi1

nn算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x必然趋近于真值L0。

nvi li-x

li——第i个测量值，i=1,2,...,n; vi——li的残余误差（简称残差）

2、算术平均值的计算校核

算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。 残余误差代数和为：

vlnx

iii1i1nn当x为未经凑整的准确数时，则有：1）残余误差代数和应符合：

vi1ni0

当

l=nx，求得的x为非凑整的准确数时，v为零；

iinni1ni1当

l>nx，求得的x为凑整的非准确数时，v为正；其大小为求x时

iini1i1的余数。 当

liinni1i1的亏数。

2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n为偶数时，

vii1nnnA; 2当n为奇数时，

nvi0.5A

2i1式中A为实际求得的算术平均值x末位数的一个单位。 （2）测量的标准差

测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。 1、测量列中单次测量的标准差

...n21222ni1n2in 式中 n—测量次数（应充分大）

i —测得值与被测量值的真值之差

vi1n2in1 2、测量列算术平均值的标准差：xn

三、实验内容：

1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 li/mm 24.674 24.675 24.673 24.676 24.671 24.678 24.672 24.674 vi/mm vi2/mm2 假定该测量列不存在固定的系统误差，则可按下列步骤求测量结果。 1、算术平均值 2、求残余误差

3、校核算术平均值及其残余误差 4、判断系统误差

5、求测量列单次测量的标准差 6、判别粗大误差

7、求算术平均值的标准差 8、求算术平均值的极限误差 9、写出最后测量结果 四、实验数据整理： （一）、求算术平均值、残余误差 1、分析：

lil1l2...lni1 （1）算术平均值：xnn（2）残余误差：vili-x

n（3）校核算术平均值及其残余误差： 残差和：

vlnx

iii1i1nn 残余误差代数和绝对值应符合：当n为偶数时，

vii1innA 2 当n为奇数时，（4）测量列中单次测量的标准差：

vi1nn0.5A21222...n2ni1n2in （5）测量列算术平均值的标准差

xn vi1n2in1 2、程序：

l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值

x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 v=l-x1;%求解残余误差 a=sum(v);%求残差和

ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值

bh=ah-(8/2)*0.0001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确

xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差）

bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差

p=sort(l)%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列

g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1))/bz;

g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判断

暂不存在粗大误差

sc=bz/(sqrt(8));%算数平均值的标准差 t=2.36;%查表t(7,0.05)值 jx=t*sc%算术平均值的极限误差 l1=x1+jx;%写出最后测量结果 l2=x1-jx%写出最后测量结果 3、在matlab中的编译及运行结果

实验二 误差的合成与分配

一、实验目的

通过实验掌握误差合成与分配的基本规律和基本方法。

二、实验原理

（1）误差合成

间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，这种误差为函数误差。研究函数误差的内容实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，称为误差合成。 随机误差的合成

随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。 标准差的合成

若有q个单项随机误差，他们的标准差分别为1，2，…，q，其相应的误差传递系数为a1，a2，…，aq。

根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为

(a)iii1q22ijaiajij 1ijq一般情况下各个误差互不相关，相关系数ij=0，则有

(a)iii1q2

极限误差的合成

在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示，因此极限误差的合成也很常见。

若已知个单项极限误差为1，2，...，q，且置信概率相同，则按方和根合成的总极限误差为

(a)iii1q22ijaiajij 1ijq系统误差的合成

系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。 已定系统误差的合成

已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。在测量过程中，若有r个单项已定系统误差，其误差值分别为1，2，…，r，相应的误差传递系数为a1，a2，…，ar，则代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为：

aii

i1r未定系统误差的合成 ①标准差的合成：

若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为u1,u2,...,us,其相应的误差传递系数为a1,a2,...,as,则合成后未定系统误差的总标准差为

u(au)iii1s22ijaiajuiuj 1ijs当ij=0，则有

u(au)iii1q2 ②极限误差的合成

因为各个单项未定系统误差的极限误差为

eitiui i=1，2，…s

总的未定系统误差的极限误差为 etu

则可得

et(au)iii1s22ijaiajuiuj 1ijs当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且ij=0，则有

e(ae)iii1s2 系统误差与随机误差的合成

当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，以求得最后测量结果的总误差。 按极限误差合成

若测量过程中有r个单项已定系统误差，s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，他们的误差值或极限误差分别为

1，2，…，r e1，e2，…，es

1，2，...，q

设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的极限误差为

qeiitiR i1i1tii1tirs22R——各个误差间协方差之和

当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，上式可简化为

ii1reiii1i1ss2q2 系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根eiii1i12q2 按标准差合成

用标准差来表示系统误差与随机误差的合成公式，只需考虑未定系统误差与随机误差的合成问题。

若测量过程中有s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，他们的标准差分别为u1,u2,...,us,1,2,...,q,

为计算方便，设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的标准差为

u2ii1i1s2qsq2iR 式中R为各个误差间协方差之和，当合格误差间互不相关时，上式可简化为uii1i1s22i

对于n次重复测量，测量结果平均值的总标准差公式则为

1q2uii

ni1i1

（2）误差分配

测量过程皆包含多项误差，而测量结果的总误差则由各单项误差的综合影响所确定。给定测量结果总误差的允差，要求确定各单项误差就是误差分配问题。

1、现设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，则有

ff2f2y12...21 x1x2x1=a11a22...ann 222=D1D2...Dn 222222222Di——函数的部分误差。

若已给定y，需确定Di或相应i，使满足

yD12D22...Dn2 式中Di可以是任意值，为不确定解，需按下列步骤求解。 按等作用原则

按可能性调整误差 验算调整后的总误差

三、实验内容

1、弓高弦长法简介测量大直径。直接测得弓高h、弦长s，根据h，s间的函数关系利用熟悉的语言编程求解出直径D，以及直径的系统误差、随机误差和所求直径的最后结果。

s2Dh 4hh=50mm,h=-0.1mm, limh0.05

s=500mm, s=1mm, lims=0.1

四、实验数据整理 1、实验程序

h=50;%弓高h=50mm

s=500;%弦长s=500mm

s1=1;%弦长的系统误差s1=1mm

h1=-0.1;%弓高的系统误差h1=-0.1mm D0=(s.^2)/(4*h)+h;

%不考虑测得值的系统误差测得直径D0=1300mm %D=f(s,h)

s2=s/(2*h);%s误差传递系数=5

h2=-(((s.^2)/(4*h.^2))-1);%h误差传递系数h2=-24 d=(s2*s1)+(h2*h1)%系统误差d=7.4000

Y=D0-d%消除系统误差，测得直径的实际长度Y=1.2926e+03 Y=vpa(Y,5)%最后结果Y=1292.6

2、matlab中编译及运行结果

实验三 线性参数的最小二乘法处理

一、 实验目的

最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法。通过实验要求掌握最小二乘法基本原理、正规方程以及组合测量的最小二乘法处理办法。

二、实验原理

（1）测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和为最小的条件下求出，这就是最小二乘法原理。即

22v12v2...vn[v2]=最小

（2）正规方程

最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组（其方程式的数目正好等于未知数的个数），从而可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程。 （3）精度估计

为了确定最小二乘估计量x1,x2,...,xt的精度，首先需要给出直接测量所得测量数据的精度。测量数据的精度也以标准差来表示。因为无法求得的真值，只能依据有限次的测量结果给出的估计值，所谓精度估计，实际上是求出估计值。 （4）组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量，然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，并给出其精度估计。

三、实验内容

如下图所示已知直接测量刻线的各种组合量，要求检定刻线A、B、C、D间距离x1 、x2、 x3，测量数据的标准差以及估计量的标准差。

（1）

x1 x2 x3

A B C D

l6 l4 l1 l2 l3 l5 l1=2.018mm l2=1.986mm l3=2.020mm l4= 4.020mm l5=3.984mm l6=6.030mm 四、实验总结

 程序

.l1=2.018;l2=1.986;l3=2.020;l4=4.020;l5=3.984;l6=6.030; l=[l1;l2;l3;l4;l5;l6];%l=[2.018;1.986;2.020;4.020;3.984;6.030] A=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;1 1 0;0 1 1;1 1 1]; B=A';

invC=inv(A'*A);%invC=[0.5,-0.25,0;-0.25,0.5,-0.25;0,-0.25,0.5]

求矩阵的逆

X=invC*A'*l;%X=[2.0290;1.9845;2.0120]

这是刻线间距AB,BC,CD的最佳估计值

x1=X(1,1);%x1=2.0290 x2=X(2,1);%x2=1.9845 x3=X(3,1);%x3=2.0120

L=[x1;x2;x3;x1+x2;x2+x3;x1+x2+x3];% V=l-L;%

bzc=sqrt((sum(V.^2))./3);%等精度测量

测得数据l1，l2，l3，l4， l5，l6的标准差相同为0.0116mm

%计算估计量的标准差

invC=inv(A'*A)%invC=[d11,d12,d13;d21,d22,d23;d31,d32,d33]

%invC=[0.5,-0.25,0;-0.25,0.5,-0.25;0,-0.25,0.5]

d11=0.5; d22=0.5; d33=0.5;

BZC=bzc*sqrt(d11)%BZC=0.0082mm

故三个可估计量的标准差都为0.0082mm  在matlab中运行结果

 小结：

这是刻线间距AB,BC,CD的最佳估计值分别为：

2.0290 1.9845 2.0120

等精度测量时

测得数据l1，l2，l3，l4， l5，l6的标准差相同为0.0116mm %计算估计量的标准差 invC=inv(A'*A)

=[d11,d12,d13;d21,d22,d23;d31,d32,d33] =[0.5,-0.25,0;-0.25,0.5,-0.25;0,-0.25,0.5] BZC=bzc*sqrt(d11)

=0.0082mm BZC=bzc*sqrt(d22)

=0.0082mm BZC=bzc*sqrt(d33)

=0.0082mm

故三个可估计量的标准差都为0.0082mm