2020-2021学年浙江省温州市南浦实验中学九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年浙江省温州市南浦实验中学九年级（上）

期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 若𝑎=2，则

𝑏

3

𝑎+𝑏𝑎

的值等于( )

A. 2

1

B. 2

5

C. 3

5

D. 4

5

2. ⊙𝑂的半径为4𝑐𝑚，若点𝑃到圆心的距离为3𝑐𝑚，点𝑃在( )

A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定

3. 二次函数𝑦=𝑥2−1的图象与𝑦轴的交点坐标是( )

A. (0,1) B. (1,0) C. (−1,0) D. (0,−1)

4. 若一个圆内接正多边形的内角是108°，则这个多边形是( )

A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形

5. 一个不透明的盒子里有𝑛个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸

球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数𝑛为( )

A. 20 B. 24 C. 28 D. 30

6. 已知二次函数的图象(0≤𝑥≤4)如图，关于该函数在所

给自变量的取值范围内，下列说法正确的是( )

A. 有最大值2，有最小值−2.5 B. 有最大值2，有最小值1.5 C. 有最大值1.5，有最小值−2.5 D. 有最大值2，无最小值．

7. 如图，𝐷是等边△𝐴𝐵𝐶外接圆上的点，且∠𝐷𝐴𝐶=20°，则

∠𝐴𝐶𝐷的度数为( )

A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°

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∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐷是8. 如图，有一块直角三角形余料𝐴𝐵𝐶，

𝐴𝐶的中点，现从中切出一条矩形纸条𝐷𝐸𝐹𝐺，其中𝐸，𝐹在𝐵𝐶上，点𝐺在𝐴𝐵上，若𝐵𝐹=4.5𝑐𝑚，𝐶𝐸=2𝑐𝑚，则纸条𝐺𝐷的长为( )

A. 3 𝑐𝑚 B. 2√13𝑐𝑚 C.

132

𝑐𝑚 D.

133

𝑐𝑚

9. 已知𝐴(𝑚,2020)，𝐵(𝑚+𝑛,2020)是抛物线𝑦=−(𝑥−ℎ)2+2036上两点，则正数

𝑛=( )

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

𝐵，𝐶均在坐标轴上，𝐴𝑂=𝐵𝑂=𝐶𝑂=1，10. 如图，点𝐴，

𝑂，𝐶作⊙𝐷，𝐸是⊙𝐷上任意一点，𝐵𝐸，过𝐴，连结𝐶𝐸，则𝐶𝐸2+𝐵𝐸2的最大值是( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 4+√2

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 某校九年1班共有45位学生，其中男生有25人，现从中任选一位学生，选中女生的

概率是______．

12. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6𝜋，则它的半径为______． 13. 如图，点𝐵，𝐸分别在线段𝐴𝐶，𝐷𝐹上，若𝐴𝐷//𝐵𝐸//𝐶𝐹，

𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=2，𝐷𝐸=4.5，则𝐷𝐹的长为______．

14. 已知𝑦是𝑥的二次函数，𝑦与𝑥的部分对应值如下表：

𝑥 𝑦 … … −1 0 0 3 1 4 2 3 … … 该二次函数图象向左平移______个单位，图象经过原点． 15. 如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐷.若⊙𝑂

的半径𝑂𝐵=2，则𝐴𝐶的长为______．

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16. 两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼𝐴处透过窗户𝐸发现乙楼𝐹处出现

火灾，此时𝐴，𝐸，𝐹在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2𝑚高的𝐷处喷出，水流正好经过𝐸，𝐹.若点𝐵和点𝐸、点𝐶和𝐹的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4𝑚，再向左后退了______𝑚，恰好把水喷到𝐹处进行灭火．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）

17. 如图，在6×6的正方形网格中，网线的交点称为格点，点𝐴，𝐵，𝐶都是格点．已

知每个小正方形的边长为1．

(1)画出△𝐴𝐵𝐶的外接圆⊙𝑂，并直接写出⊙𝑂的半径是多少．

(2)连结𝐴𝐶，在网络中画出一个格点𝑃，使得△𝑃𝐴𝐶是直角三角形，且点𝑃在⊙𝑂上．

18. 已知点(0,3)在二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象上，且当𝑥=1时，函数𝑦有最小值

2．

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(1)求这个二次函数的表达式．

(2)如果两个不同的点𝐶(𝑚,6)，𝐷(𝑛,6)也在这个函数的图象上，求𝑚+𝑛的值．

19. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以𝐴𝐵为直径作⊙𝑂，交𝐵𝐶

于点𝐷，交𝐴𝐶于点𝐸． ⏜=𝐷𝐸⏜． (1)求证：𝐵𝐷

⏜的度数． (2)若∠𝐵𝐴𝐶=50°，求𝐴𝐸

20. 如图，将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，使顶点𝐶恰好落在𝐴𝐵边的𝐶1处，点𝐷落在点𝐷1处，

𝐶1𝐷1交线段𝐴𝐸于点𝐺．

(1)求证：△𝐵𝐶1𝐹∽△𝐴𝐺𝐶1；

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(2)若𝐶1是𝐴𝐵的中点，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=9，求𝐴𝐺的长．

21. 如图直角坐标系中，𝑂为坐标原点，抛物线𝑦=−𝑥2+6𝑥+3交𝑦轴于点𝐴，过𝐴作

𝐴𝐵//𝑥轴，交抛物线于点𝐵，连结𝑂𝐵.点𝑃为抛物线上𝐴𝐵上方的一个点，连结𝑃𝐴，作𝑃𝑄⊥𝐴𝐵垂足为𝐻，交𝑂𝐵于点𝑄． (1)求𝐴𝐵的长；

(2)当∠𝐴𝑃𝑄=∠𝐵时，求点𝑃的坐标；

(3)当△𝐴𝑃𝐻面积是四边形𝐴𝑂𝑄𝐻面积的2倍时，求点𝑃的坐标．

⏜上一点，𝐴𝐺，𝐷𝐶的延长线交22. 如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐺是𝐴𝐶

于点𝐹．

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(1)求证：∠𝐹𝐺𝐶=∠𝐴𝐺𝐷．

(2)当𝐷𝐺平分∠𝐴𝐺𝐶，∠𝐴𝐷𝐺=45°，𝐴𝐹=√6，求弦𝐷𝐶的长．

我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，23. 自2019年3月开始，

从2019年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线𝑦=𝑎(𝑥−30)2+100表示． (1)𝑎=______；

(2)求图1表示的售价𝑝与时间𝑥的函数关系式；

(3)问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？

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24. 如图𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝑃是斜边𝐴𝐶上一个动点，以𝐵𝑃为直径作⊙𝑂交𝐵𝐶

于点𝐷，与𝐴𝐶的另一个交点𝐸，连接𝐷𝐸．

⏜=𝐸𝑃⏜时， (1)当𝐷𝑃

⏜=130°，求∠𝐶的度数； ①若𝐵𝐷

②求证𝐴𝐵=𝐴𝑃； (2)当𝐴𝐵=15，𝐵𝐶=20时

使得△𝐵𝐷𝐸是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的𝐶𝑃的长； ①是否存在点𝑃，

②以𝐷为端点过𝑃作射线𝐷𝐻，作点𝑂关于𝐷𝐸的对称点𝑄恰好落在∠𝐶𝑃𝐻内，则𝐶𝑃的取值范围为______.(直接写出结果)

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答案和解析

1.【答案】𝐵

【解析】解：∵𝑎=2， ∴设𝑏=3𝑘，𝑎=2𝑘， ∴

𝑎+𝑏𝑎

𝑏

3

=

2𝑘+3𝑘2𝑘

=， 2

5

故选：𝐵．

根据比例的性质即可得到结论．

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

2.【答案】𝐴

【解析】 【分析】

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 直接根据点与圆的位置关系进行判断． 【解答】

解：∵点𝑃到圆心的距离为3𝑐𝑚， 而⊙𝑂的半径为4𝑐𝑚，

∴点𝑃到圆心的距离小于圆的半径， ∴点𝑃在圆内． 故选A．

3.【答案】𝐷

【解析】解：对于二次函数𝑦=𝑥2−1，令𝑥=0，得到𝑦=−1， 所以二次函数与𝑦轴的交点坐标为(0,−1)， 故选：𝐷．

令𝑥=0，求出𝑥的值，即可解决问题；

本题考查二次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本

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知识，属于中考基础题．

4.【答案】𝐴

【解析】解：∵正多边形的每个内角都相等，且为108°， ∴其一个外角度数为180°−108°=72°， 则这个正多边形的边数为360°÷72°=5， 故选：𝐴．

通过内角求出外角，利用多边形外角和360度，用360°除以外角度数即可求出这个正多边形的边数．

本题主要考查了正多边形和圆，多边形的内角与外角公式，求正多边形的边数时，内角转化为外角，利用外角和360°知识求解更简单．

5.【答案】𝐷

【解析】 【分析】

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．

根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算𝑛的值． 【解答】

解：根据题意得𝑛=30%，解得𝑛=30，

所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：𝐷．

9

6.【答案】𝐴

【解析】 【分析】

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本题考查二次函数的最值，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决最值问题．

根据二次函数的图象，可知函数𝑦的最大值和最小值． 【解答】

解：观察图象可得，在0≤𝑥≤4时，图象有最高点和最低点， ∴函数有最大值2和最小值−2.5， 故选A．

7.【答案】𝐶

【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐵=60°，

∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是圆内接四边形， ∴∠𝐷=180°−∠𝐵=120°，

∴∠𝐴𝐶𝐷=180°−∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐷=40°， 故选：𝐶．

根据圆内接四边形的性质得到∠𝐷=180°−∠𝐵=120°，根据三角形内角和定理计算即可．

本题考查的是三角形的外接圆和外心、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理的应用，掌握圆内接四边形的性质、等边三角形的性质是解题的关键．

8.【答案】𝐶

【解析】解：依题意得：△𝐴𝐺𝐷∽△𝐴𝐵𝐶， ∴

𝐺𝐷𝐵𝐶

=

𝐴𝐷

，即4.5+𝐺𝐷+2=2， 𝐴𝐶

132

𝐺𝐷1

解得𝐺𝐷=(𝑐𝑚)．

故选：𝐶．

根据题意推知△𝐴𝐺𝐷∽△𝐴𝐵𝐶，由该相似三角形的对应边成比例求得𝐺𝐷的长度即可． 本题考查了相似三角形的应用和矩形的性质，属于基础题．

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9.【答案】𝐶

【解析】解：∵𝐴(𝑚,2020)，𝐵(𝑚+𝑛,2020)是抛物线𝑦=−(𝑥−ℎ)2+2036上两点， ∴2020=−(𝑥−ℎ)2+2036， 解得𝑥1=ℎ−4，𝑥2=ℎ+4， ∴𝐴(ℎ−4,2020)，𝐵(ℎ+4,2020)， ∵𝑚=ℎ−4，𝑚+𝑛=ℎ+4， ∴𝑛=8， 故选：𝐶．

由𝐴(𝑚,2020)，𝐵(𝑚+𝑛,2020)是抛物线𝑦=−(𝑥−ℎ)2+2036上两点，可得𝐴(ℎ−4,2020)，𝐵(ℎ+4,2020)，即可得到𝑚=ℎ−4，𝑚+𝑛=ℎ+4，进而即可求得𝑛=8． 本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，求得𝐴(ℎ−4,2020)，𝐵(ℎ+4,2020)是解题的关键．

10.【答案】𝐶

【解析】解：连接𝐴𝐶，𝐷𝐸，如图， ∵∠𝐴𝑂𝐶=90°， ∴𝐴𝐶为⊙𝐷的直径， ∴点𝐷在𝐴𝐶上， ∵𝐴𝑂=𝐵𝑂=𝐶𝑂=1，

∴𝐴(0,1)，𝐵(−1,0)，𝐶(1,0)，𝐴𝐶=√2，𝐷(2,2)， 设𝐸(𝑚,𝑛)，

∵𝐸𝐵2+𝐸𝐶2=(𝑚−1)2+𝑛2+(𝑚+1)2+𝑛2 =2(𝑚2+𝑛2)+2，

而𝑚2+𝑛2表示𝐸点到原点的距离， ∴当𝑂𝐸为直径时，𝐸点到原点的距离最大， ∵𝑂𝐷为平分∠𝐴𝑂𝐶， ∴𝑚=𝑛， ∵𝐷𝐸=2𝐴𝐶=

11

√2

， 2

1

√2

11

∴(𝑚−2)2+(𝑛−2)2=(2)2，

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即𝑚2+𝑛2=𝑚+𝑛 ∴𝑚=𝑛=1，

∴此时𝐸𝐵2+𝐸𝐶2=2(𝑚2+𝑛2)+2=2(1+1)+2=6， 即𝐶𝐸2+𝐵𝐸2的最大值是6． 故选：𝐶．

𝐷𝐸，𝐵(−1,0)，𝐶(1,0)，连接𝐴𝐶，如图，利用圆周角定理可判定点𝐷在𝐴𝐶上，易得𝐴(0,1)，𝐷(2,2)，设𝐸(𝑚,𝑛)，利用两点间的距离公式得到则𝐸𝐵2+𝐸𝐶2=2(𝑚2+𝑛2)+𝐴𝐶=√2，

2，由于𝑚2+𝑛2表示𝐸点到原点的距离，则当𝑂𝐸为直径时，𝐸点到原点的距离最大，由于𝑂𝐷为平分∠𝐴𝑂𝐶，则𝑚=𝑛，利用点𝐸在圆上得到(𝑚−)2+(𝑛−)2=(√)2，则可

2

2

2

1

1

211

计算出𝑚=𝑛=1，从而得到𝐸𝐵2+𝐸𝐶2的最大值．

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了圆周角定理、勾股定理和坐标与图形性质．

11.【答案】9

【解析】解：∵共有45位学生，其中男生有25人， ∴女生有20人，

∴选中女生的概率是45=9； 故答案为：9．

先求出女生的人数，再用女生人数除以总人数即可得出答案．

此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

4

20

4

4

12.【答案】9

【解析】 【分析】

本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：𝑙=根据弧长的公式𝑙=【解答】

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𝑛𝜋𝑟180

𝑛𝜋𝑟180

是解题的关键．

，计算即可．

解：设扇形的半径为𝑟， 由题意得，

120𝜋×𝑟180

=6𝜋，

解得，𝑟=9． 故答案为9．

13.【答案】7.5

【解析】解：∵𝐴𝐷//𝐵𝐸//𝐶𝐹， ∴

𝐴𝐵𝐵𝐶

=

𝐷𝐸

，即2=𝐸𝐹， 𝐸𝐹

34.5

解得，𝐸𝐹=3， ∴𝐷𝐹=𝐷𝐸+𝐸𝐹=7.5， 故答案为：7.5．

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

14.【答案】3

【解析】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线𝑥=∵抛物线与𝑥轴另一个交点为(−1,0)， ∴抛物线与𝑥轴另一个交点为(3,0)，

∴该二次函数图象向左平移3个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移1个单位，图象经过原点． 故答案为3．

利用表格中的对称性得：抛物线与𝑥轴另一个交点为(3,0)，可得结论．

本题考查了二次函数图象与几何变换−平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决．

0+22

=1．

15.【答案】2√2

【解析】 【分析】

本题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的性质．

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𝑂𝐶，连接𝑂𝐴、根据等腰直角三角形的性质得到∠𝐴𝐵𝐶=45°，根据圆周角定理求出∠𝐴𝑂𝐶，根据勾股定理计算即可． 【解答】

解：连接𝑂𝐴、𝑂𝐶，

∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐶=45°，

由圆周角定理得，∠𝐴𝑂𝐶=2∠𝐴𝐵𝐶=90°， 又𝑂𝐴=𝑂𝐶，

∴△𝑂𝐴𝐶为等腰直角三角形， ∴𝐴𝐶=√2𝑂𝐴=2√2， 故答案为：2√2．

16.【答案】√110−10

【解析】 【分析】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次𝐷(0,1.2)、𝐸(20,9.2)、函数图象的平移规律．由图形得出点𝐴(0,21.2)、点𝐹的纵坐标为6.2，先利用待定系数法求得直线𝐴𝐸解析式，据此求得点𝐹的坐标，再根据点𝐷、𝐸、𝐹的坐标求得抛物线的解析式为𝑦=−25𝑥2+5𝑥+5=−25(𝑥−15)2+为𝑝，则移动后抛物线的解析式为𝑦=−25(𝑥+𝑝−15)2+的值即可． 【解答】

解：由图形可知，点𝐴(0,21.2)、𝐷(0,1.2)、𝐸(20,9.2)、点𝐹的纵坐标为6.2 设𝐴𝐸所在直线解析式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛， 𝑛=21.2

则{， 20𝑚+𝑛=9.2𝑚=−0.6

解得：{，

𝑛=21.2

∴直线𝐴𝐸解析式为𝑦=−0.6𝑥+21.2，

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1

515

1

6

6

1

5152

，若设向左移动的距离

+5，将点𝐹坐标代入求得𝑝

当𝑦=6.2时，−0.6𝑥+21.2=6.2， 解得：𝑥=25， ∴点𝐹坐标为(25,6.2)，

设抛物线的解析式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐， 将点𝐷(0,1.2)、𝐸(20,9.2)、𝐹(25,6.2)代入，得： 𝑐=1.2

{400𝑎+20𝑏+𝑐=9.2， 625𝑎+25𝑏+𝑐=6.2 𝑎=−25 6

解得：𝑏=5，

𝑐=6

5{

∴抛物线的解析式为𝑦=−25𝑥2+5𝑥+5=−25(𝑥−15)2+设消防员向左移动的距离为𝑝(𝑝>0)，

则移动后抛物线的解析式为𝑦=−25(𝑥+𝑝−15)2+

1

515

1

6

6

1

515

1

，

+，

5

2

根据题意知，平移后抛物线过点𝐹(25,6.2)，代入得： −

125

(25+𝑝−15)2+

515

+=6.2，

5

2

解得：𝑝=−√110−10(舍)或𝑝=√110−10，

即消防员将水流抛物线向上平移0.4𝑚，再向左后退了(√110−10)𝑚，恰好把水喷到𝐹处进行灭火，

故答案为：√110−10．

17.【答案】解：(1)如图所示：⊙𝑂即为所求，⊙𝑂的

半径是：√12+22=√5；

(2)如图所示：直角三角形𝑃𝐴𝐶即为所求．

【解析】(1)直接利用网格结合勾股定理得出答案； (2)字节利用圆周角定理得出𝑃点位置．

此题主要考查了应用设计与作图，正确利用网格分析是解题关键．

18.【答案】解：(1)∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐当𝑥=1时，函数𝑦有最小值2，

∴点(1,2)为抛物线的顶点，

于是可设抛物线的关系式为𝑦=𝑎(𝑥−1)2+2，把(0,3)代入得，

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𝑎+2=3， ∴𝑎=1，

∴抛物线的关系式为𝑦=(𝑥−1)2+2， 即𝑦=𝑥2−2𝑥+3；

(2)点𝐶(𝑚,6)，𝐷(𝑛,6)都在抛物线上， 因此点𝐶、𝐷关于直线𝑥=1对称， ∴

𝑚+𝑛2

=1，

∴𝑚+𝑛=2．

【解析】(1)由题意可得(1,2)是抛物线的顶点，且过(0,3)，可利用顶点式求出关系式； (2)根据点𝐶(𝑚,6)，𝐷(𝑛,6)坐标特点可知这两个点关于对称轴对称，可求出𝑚+𝑛的值． 本题考查待定系数法求二次函数的关系式，二次函数的图象和性质，掌握待定系数法求函数关系式的方法是解决问题的关键．

19.【答案】(1)证明：连接𝐴𝐷，如图1所示：

∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐷𝐵=90°， ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷， ⏜=𝐷𝐸⏜． ∴𝐵𝐷

(2)解：连接𝑂𝐸，如图2所示： ∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴𝑂𝐴是半径， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐸，

∴∠𝑂𝐸𝐴=∠𝐵𝐴𝐶=50°，

∴∠𝐴𝑂𝐸=180°−50°−50°=80°， ⏜的度数为80°． ∴𝐴𝐸

【解析】(1)连接𝐴𝐷，先由圆周角定理得∠𝐴𝐷𝐵=90°，则𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，再由等腰三角形的性质得∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，即可得出结论；

(2)连接𝑂𝐸，先由等腰三角形的性质得∠𝑂𝐸𝐴=∠𝐵𝐴𝐶=50°，再由三角形内角和定理求

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出∠𝐴𝑂𝐸=80°，即可得出结论．

本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．

20.【答案】证明：(1)由题意可知∠𝐴=∠𝐵=∠𝐺𝐶1𝐹=90°，

∴∠𝐵𝐹𝐶1+∠𝐵𝐶1𝐹=90°，∠𝐴𝐶1𝐺+∠𝐵𝐶1𝐹=90°， ∴∠𝐵𝐹𝐶1=∠𝐴𝐶1𝐺， ∴△𝐵𝐶1𝐹∽△𝐴𝐺𝐶1．

(2)∵𝐶1是𝐴𝐵的中点，𝐴𝐵=6， ∴𝐴𝐶1=𝐵𝐶1=3． ∵∠𝐵=90°，

∴𝐵𝐹2+32=(9−𝐵𝐹)2， ∴𝐵𝐹=4，

由(1)得△𝐴𝐺𝐶1∽△𝐵𝐶1𝐹， ∴∴

𝐴𝐺𝐵𝐶1𝐴𝐺3

=

𝐴𝐶1𝐵𝐹

，

=4，

9

3

解得，𝐴𝐺=4．

【解析】(1)根据题意和图形可以找出△𝐵𝐶1𝐹∽△𝐴𝐺𝐶1的条件，从而可以解答本题； (2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得𝐴𝐺的长．

本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．

21.【答案】解：(1)对于𝑦=−𝑥2+6𝑥+3，令𝑥=0，则𝑦=3，故点𝐴(0,3)，

令𝑦=−𝑥2+6𝑥+3=3，解得𝑥=0或6，故点𝐵(6,3)， 故AB=6；

(2)设𝑃(𝑚,−𝑚2+6𝑚+3)， ∵∠𝑃=∠𝐵，∠𝐴𝐻𝑃=∠𝑂𝐴𝐵=90°， ∴△𝐴𝐵𝑂～△𝐻𝑃𝐴，故𝐴𝐵=𝐴𝑂，

𝐻𝑃

𝐴𝐻

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∴

−𝑚2+6𝑚

6

=，

3

𝑚

解得𝑚=4． ∴𝑃(4,11)；

(3)当△𝐴𝑃𝐻的面积是四边形𝐴𝑂𝑄𝐻的面积的2倍时， 则2(𝐴𝑂+𝐻𝑄)=𝑃𝐻， ∴2(3+

6−𝑚2

)=−𝑚2+6𝑚，

解得：𝑚1=4，𝑚2=3， ∴𝑃(4,11)或𝑃(3,12)．

(1)对于𝑦=−𝑥2+6𝑥+3，【解析】令𝑥=0，则𝑦=3，故点𝐴(0,3)，令𝑦=−𝑥2+6𝑥+3=3，解得𝑥=0或6，故点𝐵(6,3)，即可求解； (2)证明△𝐴𝐵𝑂～△𝐻𝑃𝐴，则𝐴𝐵=𝐴𝑂，即可求解；

(3)当△𝐴𝑃𝐻的面积是四边形𝐴𝑂𝑄𝐻的面积的2倍时，则2(𝐴𝑂+𝐻𝑄)=𝑃𝐻，即可求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、图形的面积计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．

𝐻𝑃

𝐴𝐻

22.【答案】(1)证明：如图1，连接𝐴𝐶，

∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ⏜=𝐴𝐶⏜， ∴𝐴𝐷

∴𝐴𝐷=𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐶𝐷， ∵𝐴𝐷𝐶𝐺在⊙𝑂上， ∴∠𝐶𝐺𝐹=∠𝐴𝐷𝐶，

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∵∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐴𝐶𝐷， ∴∠𝐹𝐺𝐶=∠𝐴𝐺𝐷；

(2)解：如图2，连接𝐵𝐺，𝐴𝐶，

∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴𝐷𝐸=𝐶𝐸， ∵𝐷𝐺平分∠𝐴𝐺𝐶， ∴∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐶𝐺𝐷， ∵∠𝐹𝐺𝐶=∠𝐴𝐺𝐷， ∴∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐶𝐺𝐷=∠𝐹𝐺𝐶， ∵∠𝐴𝐺𝐷+∠𝐶𝐺𝐷+∠𝐹𝐺𝐶=180°， ∴∠𝐶𝐺𝐹=∠𝐴𝐺𝐷=60°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐶𝐷=60°， ∴△𝐴𝐷𝐶是等边三角形， ∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，

∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸=30°， ∵∠𝐴𝐷𝐺=45°，

∴∠𝐶𝐷𝐺=∠𝐶𝐴𝐺=60°−45°=15°， ∴∠𝐸𝐴𝐹=30°+15°=45°， 𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐸=𝐸𝐹， ∵𝐴𝐹=√6， ∴𝐴𝐸=𝐸𝐹=√3，

𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐷𝐴𝐸=30°， ∴𝐷𝐸=1， ∴𝐷𝐶=2𝐷𝐸=2．

第20页，共25页

⏜=𝐴𝐶⏜，根据等腰三角形的性质得∠𝐴𝐷𝐶=【解析】(1)如图1，利用垂径定理得到𝐴𝐷

∠𝐴𝐶𝐷，根据圆周角定理的推论得到∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶，再利用圆内接四边形的性质得到∠𝐹𝐺𝐶=∠𝐴𝐷𝐶，从而得到结论；

(2)连接𝐵𝐺，𝐴𝐶，如图2，根据垂径定理得到𝐷𝐸=𝐶𝐸，先证明△𝐴𝐸𝐹是等腰直角三角形，可得𝐴𝐸的长，最后利用勾股定理可得𝐷𝐸的长，从而得𝐶𝐷的长．

本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；也考查了垂径定理和勾股定理．

23.【答案】解：(1)−10．

(2)当0≤𝑥<30时，设𝑃=𝑘𝑥+𝑏， 𝑏=60

把(0,60)，(10,80)代入得到{，

10𝑘+𝑏=80𝑘=2解得{，

𝑏=60∴𝑃=2𝑥+60．

当30≤𝑥≤40时，设𝑃=𝑘′𝑥+𝑏′，

30𝑘′+𝑏′=120

把(30,120)，(40,100)代入得到{，

40𝑘′+𝑏′=100𝑘′=−2解得{，

𝑏′=180∴𝑃=−2𝑥+180．

2𝑥+60,0≤𝑥<30

综上所述，𝑃={．

−2𝑥+180,30≤𝑥≤40(3)设利润为𝑤．

当0≤𝑥<30时，𝑤=2𝑥+60−(−10𝑥2+6𝑥+10)=10𝑥2−4𝑥+50=10(𝑥−20)2+10，

∴当𝑥=20时，𝑤有最小值，最小值为10(元/千克)． 当30≤𝑥≤40时，

𝑤=−2𝑥+180−(−10𝑥2+6𝑥+10)=10𝑥2−8𝑥+170=10(𝑥−40)2+10， ∴当𝑥=40时，直线利润𝑤=10(元/千克)， 综上所述，当20天或40天，最小利润为10元/千克．

1

1

1

1

1

1

1

【解析】

第21页，共25页

【分析】

(1)把(10,60)代入𝑦=𝑎(𝑥−30)2+100可得结论． (2)分两种情形，分别利用待定系数法解决问题即可． (3)分两种情形，分别求解即可．

本题考查二次函数的应用，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【解答】

解：(1)把(10,60)代入𝑦=𝑎(𝑥−30)2+100，得到𝑎=−10， 故答案为−10． (2)见答案； (3)见答案．

1

1

24.【答案】7<𝐶𝑃<12.5

【解析】(1)①解：连接𝐵𝐸，如图1所示： ∵𝐵𝑃是直径， ∴∠𝐵𝐸𝐶=90°， ⏜=130°， ∵𝐵𝐷

⏜=50°， ∴𝐷𝑃

⏜=𝐸𝑃⏜， ∵𝐷𝑃

⏜=100°， ∴𝐷𝐸

∴∠𝐶𝐵𝐸=50°， ∴∠𝐶=40°； ⏜=𝐸𝑃⏜， ②证明：∵𝐷𝑃∴∠𝐶𝐵𝑃=∠𝐸𝐵𝑃，

∵∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐴=90°，∠𝐶+∠𝐴=90°，

∴∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐸，∵∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐶𝐵𝑃+∠𝐶，∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐸𝐵𝑃+∠𝐴𝐵𝐸， ∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐴𝐵𝑃， ∴𝐴𝑃=𝐴𝐵；

(2)解：①由𝐴𝐵=15，𝐵𝐶=20，

由勾股定理得：𝐴𝐶=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=√152+202=25，

第22页，共25页

∵2𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=2𝐴𝐶⋅𝐵𝐸， 即2×15×20=2×25×𝐵𝐸 ∴𝐵𝐸=12，

连接𝐷𝑃，如图1−1所示： ∵𝐵𝑃是直径， ∴∠𝑃𝐷𝐵=90°， ∵∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∴𝑃𝐷//𝐴𝐵， ∴△𝐷𝐶𝑃∽△𝐵𝐶𝐴， ∴

𝐶𝑃𝐴𝐶1

1

11

=

𝐶𝐷𝐵𝐶

，

=

25𝐶𝐷20

∴𝐶𝑃=

𝐴𝐶⋅𝐶𝐷𝐵𝐶

=𝐶𝐷，

4

5

△𝐵𝐷𝐸是等腰三角形，分三种情况： 当𝐵𝐷=𝐵𝐸时，𝐵𝐷=𝐵𝐸=12， ∴𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=20−12=8， ∴𝐶𝑃=𝐶𝐷=×8=10；

4

4

5

5

当𝐵𝐷=𝐸𝐷时，可知点𝐷是𝑅𝑡△𝐶𝐵𝐸斜边的中线， ∴𝐶𝐷=𝐵𝐶=10，

21

∴𝐶𝑃=𝐶𝐷=×10=

4

4

55252

；

当𝐷𝐸=𝐵𝐸时，作𝐸𝐻⊥𝐵𝐶，则𝐻是𝐵𝐷中点，𝐸𝐻//𝐴𝐵，如图1−2所示： 𝐴𝐸=√𝐴𝐵2−𝐵𝐸2=√152−122=9，

∴𝐶𝐸=𝐴𝐶−𝐴𝐸=25−9=16，𝐶𝐻=𝐵𝐶−𝐵𝐻=20−𝐵𝐻， ∵𝐸𝐻//𝐴𝐵， ∴𝐵𝐻=𝐴𝐸， 即

20−𝐵𝐻𝐵𝐻𝐶𝐻

𝐶𝐸

=

169

，

365

解得：𝐵𝐻=，

725

∴𝐵𝐷=2𝐵𝐻=，

725

∴𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=20−=

285

，

第23页，共25页

∴𝐶𝑃=𝐶𝐷=×

4

4

55285

=7；

25

综上所述，△𝐵𝐷𝐸是等腰三角形，符合条件的𝐶𝑃的长为10或2或7； ②当点𝑄落在∠𝐶𝑃𝐻的边𝑃𝐻上时，𝐶𝑃最小，如图2所示： 连接𝑂𝐷、𝑂𝑄、𝑂𝐸、𝑄𝐸、𝐵𝐸， 由对称的性质得：𝐷𝐸垂直平分𝑂𝑄， ∴𝑂𝐷=𝑄𝐷，𝑂𝐸=𝑄𝐸， ∵𝑂𝐷=𝑂𝐸，

∴𝑂𝐷=𝑂𝐸=𝑄𝐷=𝑄𝐸， ∴四边形𝑂𝐷𝑄𝐸是菱形， ∴𝑃𝑄//𝑂𝐸， ∵𝑃𝐵为直径， ∴∠𝑃𝐷𝐵=90°， ∴𝑃𝐷⊥𝐵𝐶， ∵∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∴𝐴𝐵⊥𝐵𝐶， ∴𝑃𝐷//𝐴𝐵， ∴𝐷𝐸//𝐴𝐵， ∵𝑂𝐵=𝑂𝑃，

∴𝑂𝐸为△𝐴𝐵𝑃中位线， ∴𝑃𝐸=𝐴𝐸=9，

∴𝑃𝐶=𝐴𝐶−𝑃𝐸−𝐴𝐸=25−9−9=7；

当点𝑄落在∠𝐶𝑃𝐻的边𝑃𝐶上时，𝐶𝑃最大，如图3所示：连接𝑂𝐷、𝑂𝑄、𝑂𝐸、𝑄𝐷， 同理得：四边形𝑂𝐷𝑄𝐸是菱形， ∴𝑂𝐷//𝑄𝐸， 连接𝐷𝐹， ∵∠𝐷𝐵𝐶=90°， ∴𝐷𝐹是直径， ∴𝐷、𝑂、𝐹三点共线， ∴𝐷𝐹//𝐴𝑄， ∴∠𝑂𝐹𝐵=∠𝐴，

第24页，共25页

∵𝑂𝐵=𝑂𝐹，

∴∠𝑂𝐹𝐵=∠𝑂𝐵𝐹=∠𝐴， ∴𝑃𝐴=𝑃𝐵，

∵∠𝑂𝐵𝐹+∠𝐶𝐵𝑃=∠𝐴+∠𝐶=90°， ∴∠𝐶𝐵𝑃=∠𝐶， ∴𝑃𝐵=𝑃𝐶=𝑃𝐴， ∴𝑃𝐶=2𝐴𝐶=12.5， ∴7<𝐶𝑃<12.5，

故答案为：7<𝐶𝑃<12.5．

⏜=50°，⏜=100°，由圆周角定理得出∠𝐵𝐸𝐶=90°，求出𝐷𝑃则∠𝐶𝐵𝐸=(1)①连接𝐵𝐸，𝐷𝐸50°，即可得出结果；

⏜=𝐸𝑃⏜，∠𝐴𝐵𝑃=得出∠𝐶𝐵𝑃=∠𝐸𝐵𝑃，易证∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐸，由∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐶𝐵𝑃+∠𝐶，②由𝐷𝑃

∠𝐸𝐵𝑃+∠𝐴𝐵𝐸，得出∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐴𝐵𝑃，即可得出结论；

由面积公式得出2𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=2𝐴𝐶⋅𝐵𝐸，求(2)①由勾股定理得𝐴𝐶=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=25，

出𝐵𝐸=12，连接𝐷𝑃，则𝑃𝐷//𝐴𝐵，得出△𝐷𝐶𝑃∽△𝐵𝐶𝐴，求出𝐶𝑃=

𝐴𝐶⋅𝐶𝐷𝐵𝐶

1

1

1

=4𝐶𝐷，

5

△𝐵𝐷𝐸是等腰三角形，分三种情况讨论，当𝐵𝐷=𝐵𝐸时，𝐵𝐷=𝐵𝐸=12，𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=8，𝐶𝑃=4𝐶𝐷=10；当𝐵𝐷=𝐸𝐷时，可知点𝐷是𝑅𝑡△𝐶𝐵𝐸斜边的中线，得出𝐶𝐷=

1

5

𝐵𝐶=10，𝐶𝑃=𝐶𝐷=

24

5252

；当𝐷𝐸=𝐵𝐸时，作𝐸𝐻⊥𝐵𝐶，则𝐻是𝐵𝐷中点，𝐸𝐻//𝐴𝐵，

求出𝐴𝐸=√𝐴𝐵2−𝐵𝐸2=9，𝐶𝐸=𝐴𝐶−𝐴𝐸=16，𝐶𝐻=20−𝐵𝐻，由𝐸𝐻//𝐴𝐵，得出=𝐴𝐸，求出𝐵𝐻=𝐵𝐻

𝐶𝐻

𝐶𝐸

36

，𝐵𝐷=2𝐵𝐻=5

72

，𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=5

28

，则𝐶𝑃=4𝐶𝐷=7； 5

5

②当点𝑄落在∠𝐶𝑃𝐻的边𝑃𝐻上时，𝐶𝑃最小，连接𝑂𝐷、𝑂𝑄、𝑂𝐸、𝑄𝐸、𝐵𝐸，证明四边形𝑂𝐷𝑄𝐸是菱形，求出𝑃𝐶=𝐴𝐶−𝑃𝐸−𝐴𝐸=7；当点𝑄落在∠𝐶𝑃𝐻的边𝑃𝐶上时，𝐶𝑃最大，𝑂𝑄、𝑂𝐸、𝑄𝐷，连接𝑂𝐷、同理得四边形𝑂𝐷𝑄𝐸是菱形，连接𝐷𝐹，求出𝑃𝐶=2𝐴𝐶=12.5，即可得出答案．

本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和菱形的判定与性质是解题的关键．

1

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