四川省成都市天府新区2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2018-2019学年四川省成都市天府新区九年级（上）期末数学

试卷

一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分） 1、(3分) sin30° 的值为（ ） A.

B.

C.

D.

2、(3分) 如图几何体的主视图是（ ）

B.

A.

3、(3分) 若A.

，则

B.

=（ ）

C.

D.

C.

D.

4、(3分) 已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为（ ） A.5

B.-1

C.2

D.-5

5、(3分) 将二次函数y=x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（ ） A.y=（x-2）2-1 B.y=（x+1）（x+3）

C.y=（x-2）2+1

D.y=（x+2）2-1

6、(3分) 下列各命题中，真命题是（ ）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.两条对角线相等且相互平分的四边形是矩形 C.三点确定一个圆

D.相等的圆周角所对的弧相等

- 1 -

7、(3分) 如果C是线段AB一点，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（ ）时，点C是线段AB的黄金分割点． A.0.618

8、(3分) 已知点A（-3，a），B（-1，b），C（3，c）都在函数y=-的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A.c＞b＞a

B.a＞b＞c

C.b＞a＞c

D.c＞a＞b

B.

C.

D.

9、(3分) 如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）

A.

B.

C.∠B=∠D D.∠C=∠AED

10、(3分) 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1，AB=10，则CD的长为（ ）

A.20

二、填空题（本大题共 8 小题，共 32 分）

11、(4分) 已知a、b、c、d是成比例的线段，其中a=3cm，b=2cm，d=4cm，则c=______ cm．

- 2 -

B.24

C.25

D.26

12、(4分) 某超市今年l月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是______．

13、(4分) 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为______．

14、(4分) 已知a2-2a=1，则代数式3a2-6a-7的值是______．

15、(4分) 从-3，-2，-1，0，1，2这6个数中任意取出一个数记作k，则既能使函数y=的图象经过第一、第三象限，又能使关于x的一元二次方程x2-kx+1=0有实数根的概率为______．

16、(4分) 对于x＞0，规定f（x）=么f（

）+f（

）+f（

，例如f（2）==，f（）==，那

）…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2019）=______．

17、(4分) 如图，M为双曲线y=（x＞0）上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=-x+m于点D、C两点．若直线y=-x+m与y轴交于点A，与x轴交于点B，则AD•BC的值为______．

18、(4分) 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=8，点0、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是______．

- 3 -

三、解答题（本大题共 8 小题，共 78 分） 19、(12分) （1）计算：（2）解方程：x2-4x-5=0

20、(8分) 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm．使用时发现：光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为25°，求光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度CD的长．【参考数据：sin25°=0.42，cos25°=0.91，tan25°=0.47】．

21、(8分) 有甲乙两个黑色布袋，甲中装有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2；乙中装有三个完全相同的小球，分别标有数字-2，-1和0．从甲布袋中随机

- 4 -

取出一个小球，记下标有的数字为b，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为k．

（1）画树状图或列表法写出两次摸球的数字可能出现的所有结果；

（2）如果将两次取出的小球上记录的数字k，b构造一次函数y=kx+b，求两次取出的球上的编号数字能构造成一次函数的概率．

22、(10分) 如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，-3），反比例函数y=的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点A、C，

（1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．

23、(10分) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，

- 5 -

交⊙O于G，连接GE．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若tan∠G=，BE=6，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，求MP的长．

24、(8分) 某商场试销一种成本为每件60元的T恤，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）若商场销售这种T恤获得利润为W（元），求出利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

- 6 -

25、(10分) 在△ABC中，P为边AB上一点． （1）如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP•AB； （2）若M为CP的中点，AC=4．

①如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=7，求BP的长；

②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，求BP的长．

26、(12分) 已知点A（-1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上 （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；

（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒

个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接

- 7 -

写出t的值．

四、计算题（本大题共 1 小题，共 6 分）

27、(6分) 若关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0没有实数根，求a的取值范围．

2018-2019学年四川省成都市天府新区九年级（上）期末数学

试卷

【 第 1 题 】 【 答 案 】 A

【 解析 】 解：sin30°=， 故选：A．

- 8 -

根据特殊角三角函数值，可得答案．

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

【 第 2 题 】 【 答 案 】 A

【 解析 】

解：由图可得，几何体的主视图是： 故选：A．

依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图．

本题主要考查了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．

【 第 3 题 】 【 答 案 】 A

【 解析 】

解：由，得=故选：A．

利用合比性质解答．

=．

考查了比例的性质，合比性质：若=，则

【 第 4 题 】 【 答 案 】

=．

- 9 -

B

【 解析 】

解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，

∴-2+m=， 解得，m=-1， 故选：B．

根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．

本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．

【 第 5 题 】 【 答 案 】 D

【 解析 】

解：y=x2+4x+3 =x2+4x+4-1 =（x+2）2-1， 故选：D．

利用配方法把一般式化为顶点式即可．

本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．

【 第 6 题 】 【 答 案 】 B

【 解析 】

解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以A选项为假命题； B、两条对角线相等且相互平分的四边形是矩形，所以B选项为真命题；

- 10 -

C、不共线的三点确定一个圆，所以C选项为假命题；

D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以D选项为假命题． 故选：B．

根据菱形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据确定圆的条件对C进行判断；根据圆周角定理对D进行判断．

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

【 第 7 题 】 【 答 案 】 C

【 解析 】

解：∵C是线段AB的黄金分割点C，AC＞CB， ∴AC=AB=故选：C．

，

根据黄金比值是计算即可．

本题考查的是黄金分割的概念，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．

【 第 8 题 】 【 答 案 】 C

【 解析 】

解：把点A（-3，a）代入函数y=-可得，a=1； 把点B（-1，b）代入函数y=-可得，b=3；

- 11 -

把点C（3，c）代入函数y=-可得，c=-1． ∵3＞1＞-1，即b＞a＞c． 故选：C．

把点A（-3，a），B（-1，b），C（3，c）代入函数y=-上求出a、b、c的值，再进行比较即可．

本题比较简单，考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式．

【 第 9 题 】 【 答 案 】 B

【 解析 】

解：∵∠1=∠2 ∴∠DAE=∠BAC

∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE

选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：B．

根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 此题考查了相似三角形的判定：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．

【 第 10 题 】 【 答 案 】 D

【 解析 】

- 12 -

解：连接OA，

∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB=10， ∴AE=AB=5，

设OA=r，则OE=r-CE=r-1， 在Rt△AOE中，

∵OA2=AE2+OE2，即r2=52+（r-1）2，解得r=13， ∴CD=2r=26． 故选：D．

连接OA，先根据垂径定理求出AE的长，设OA=r，则OE=r-CE=r-1，在Rt△AOE中，根据勾股定理即可求出r的值，进而得出结论．

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

【 第 11 题 】 【 答 案 】 6

【 解析 】

解：∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段， ∴=，

又∵a=3cm，b=2cm，d=4cm， ∴=，

解得：d=6． 故c=6cm． 故答案为：6．

由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得=，又由a=3cm，b=2cm，d=4cm，即可求得c的值．

- 13 -

此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．

【 第 12 题 】 【 答 案 】 20% 【 解析 】

解：设该超市销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元， 根据题意得：2（1+x）2=2.88，

解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：该超市销售额平均每月的增长率是20%． 故答案为：20%．

设该超市销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，由3月份的销售额是2.88万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

【 第 13 题 】 【 答 案 】

【 解析 】

解：∵AH=2，HB=1， ∴AB=AH+BH=3， ∵l1∥l2∥l3， ∴

=；

故答案为：．

- 14 -

求出AB=3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．

本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．

【 第 14 题 】 【 答 案 】 -4

【 解析 】

解：∵a2-2a=1，

∴原式=3（a2-2a）-7=3-7=-4， 故答案为：-4

原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．

此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【 第 15 题 】 【 答 案 】

【 解析 】

解：这6个数中能使函数y=的图象经过第一、第三象限的有1，2这2个数， ∵关于x的一元二次方程x2-kx+1=0有实数根， ∴k2-4≥0，

解得k≤-2或k≥2，

能满足这一条件的数是：-3、2这2个数， ∴能同时满足这两个条件的只有2这个数， ∴此概率为，

故答案为：．

确定使函数的图象经过第一、三象限的k的值，然后确定使方程有实数根的k值，

- 15 -

找到同时满足两个条件的k的值即可．

本题考查了一次函数图象与系数的关系及根的判别式的知识，根据一次函数性质与方程的根的判别式得出k的值是解答此题的关键．

【 第 16 题 】 【 答 案 】 2018 【 解析 】

解：∵x＞0，规定f（x）=

，

∴f（）=则原式=[f（=2018，

=，即f（x）+f（）=）+f（2019）]+[f（

+==1，f（1）=，

）+f（2018）]+…+[f（）+f（2）]+f（1）

故答案为：2018

根据f（x）求出f（），进而得到f（x）+f（）=1，原式结合后，计算即可求出值．

此题考查了分式的加减法，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【 第 17 题 】 【 答 案 】

【 解析 】

- 16 -

解：如图，过点M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，作DE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，

当x=0时，y=-x+m=m，则A（0，m），

当y=0时，-x+m=0，解得x=m，则B（m，0）， ∵OA=OB=m，

∴△OAB为等腰直角三角形，

易得△AED和△BCF都为等腰直角三角形， ∴AD=DE，BC=CF， ∴AD•BC=2DE•CF， 设M（x，y），

∴DE=MH=x，CF=MG=y， ∴AD•BC=2xy=2×=．

故答案为．

如图，过点M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，作DE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，先证明△OAB为等腰直角三角形，则判断△AED和△BCF都为等腰直角三角形，所以AD=

DE，BC=

CF，则AD•BC=2DE•CF，设M（x，y），利用反比例

函数图象上点的坐标特征得到xy=，从而得到AD•BC的值．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

【 第 18 题 】 【 答 案 】 2

-2

- 17 -

【 解析 】

解：如图，连接EO、PO、OC．

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠OAP=90°，

在Rt△OBC中，BC=8，OB=2， ∴OC==2，

在Rt△AOP中，OA=2，PA=4， ∴OP=∵OE=OC=2

=2

，

，PE≥OE-OP，

-2

．

∴PE的最小值为2

故答案为2-2．

如图，连接EO、PO、OC．根据三边关系，PE≥OE-OP，求出OE，OP即可解决问题．

本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．

【 第 19 题 】 【 答 案 】 解：（1）原式=2

-3+1-2×

=-2；

（2）（x+1）（x-5）=0， x+1=0或x-5=0， 所以x1=-1，x2=5．

- 18 -

【 解析 】

（1）根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算； （2）利用因式分解法解方程．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．

【 第 20 题 】 【 答 案 】

解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，

∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为25°， ∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，

∴sin25°==，

∴CF=30×0.42=12.6（cm），

∴CD=CF+FD+DE=CF+AB+DE=12.6+40+2=54.6（cm） 答：光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度CD的长54.6cm． 【 解析 】

根据sin25°==，求出CF的长，则CD=CF+FD+DE=CF+AB+DE．

此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．

【 第 21 题 】 【 答 案 】

- 19 -

解：（1）画树状图得：

则点可能出现的所有坐标：（1，-1），（1，0），（1，-2），（2，-1），（2，0），（2，-2）；

（2）∵如果将两次取出的小球上记录的数字k，b构造一次函数y=kx+b，则共6种可能情况，

其中两次取出的球上的编号数字能构造成一次函数的有4种， ∴两次取出的球上的编号数字能构造成一次函数的概率==． 【 解析 】

（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

（2）由（1）可求得点P（x，y）构造一次函数y=kx+b的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．

本题考查了列表法和树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确的画出树状图是解题的关键．

【 第 22 题 】 【 答 案 】

解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐

标为（0，-3）， ∴AB=5，

- 20 -

∵四边形ABCD为正方形， ∴点C的坐标为（5，-3）． ∵反比例函数y=的图象经过点C， ∴-3=，解得k=-15，

∴反比例函数的解析式为y=-；

∵一次函数y=ax+b的图象经过点A，C， ∴

，

解得，

∴一次函数的解析式为y=-x+2；

（2）设P点的坐标为（x，y）．

∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积， ∴×OA•|x|=52， ∴×2•|x|=25， 解得x=±25．

当x=25时，y=-=-； 当x=-25时，y=-=．

∴P点的坐标为（25，-）或（-25，）． 【 解析 】

（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，-3），再将C点坐标代入反比例函数y=中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数y=ax+b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；

（2）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入y=-，即可求出P点的

- 21 -

坐标．

本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键．

【 第 23 题 】 【 答 案 】

（1）证明：如图1，连结OD， ∵DE⊥AD，

∴AE是⊙O的直径，即O在AE上，

∵AD是角平分线，

∴∠CAD=∠BAD， ∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵OD∥AC， ∴∠DOB=∠EAF， ∵∠G=∠EAF， ∴∠DOB=∠G，

∴tan∠4=tan∠G=，

设BD=4k，则OD=OE=3k，

- 22 -

在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）2+（4k）2=（3k+6）2， 解得，k1=3，k2=-（舍），（注：也可由OB=5k=3k+6得k=3）， ∴3k=9，即⊙O的半径为9；

（3）解：如图2，连结AG，则∠AGE=90°，∠EGM=∠MAG． ∴tan∠MAG=tan∠EGM=， 即

，

设GM=4x，AM=3x，

∵GM2=AM•ME， ∴ME=x， ∴AE=3x+x=18， ∴x=， ∴AM=， ∵OD∥AC， ∴，， 即

，

，

∴AC=，CD=，

∵∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠AMP=90°， ∴△ACD∽△AMP．

- 23 -

∴∴PM=

， =．

【 解析 】

（1）连结OD，根据AD是角平分线，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切线；

（2）构造直角三角形，根据勾股定理求出k的值即可； （3）设FG与AE的交点为M，连结AG，利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题．

本题考查了圆的综合题，涉及切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值，正确的作出辅助线是解题的关键．

【 第 24 题 】 【 答 案 】

解：（1）由题意得：

，

解得：，

故y与x之间的函数关系式为：y=-x+120，

∵成本为每件60元的T恤，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%， ∴60≤x≤84；

（2）w=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900， ∵抛物线开口向下，

∴当x＜90时，w随x的增大而增大， 而60≤x≤84，

故当x=84时，w=（84-60）×（120-84）=8．

答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是8元． 【 解析 】

- 24 -

（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，再利用试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%得出x的取值范围即可；

（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．

本题考查了一次函数的应用以及用待定系数法求一次函数的综合应用和主要结合一次函数的性质，求出二次函数的最值问题；在本题中，还需注意的是自变量的取值范围，否则容易按照“顶点式”的做法，求出误解．

【 第 25 题 】 【 答 案 】

解：（1）∵∠ACP=∠B，∠A=∠A， ∴△ACP∽△ABC， ∴，

∴AC2=AP•AB；

（2）①如图2，PG=x，BG=7-x， ∵M是PC的中点， ∴MG∥AC， ∴∠BGM=∠A， ∵∠ACP=∠PBM， ∴△APC∽△GMB， ∴即∴x=

， ， ，

取AP在中点G，连接MG，设AG=x，则

- 25 -

∵AB=7， ∴AP=7-，

∴PB=；

②如图3，过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE=BP， 设BP=x．

∵∠ABC=45°，∠A=60°，

∴CH=2

∵CE2=（2）2+（2+x）2， ∵PB=BE，PM=CM， ∴BM∥CE，

∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A， ∵∠E=∠E，

∴△ECP∽△EAC， ∴， ∴CE2=EP•EA， ∴12+12+x2+4∴x=2∴PB=2

-2， -2．

x=2x（x+2

+2），

，HE=2+x，

【 解析 】

（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

（2）①取AP在中点G，连接MG，设AG=x，则PG=x，BG=7-x，根据三角形的中位线的性质得到MG∥AC，由平行线的性质得到∠BGM=∠A，根据相似三角形的性

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质得到即，即可得到结论；

，

②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE=BP，解直角三角形得到CH=2

HE=2+x，根据勾股定理得出CE2=（2）2+（2+x）2，相似三角形的性质得到CE2=EP•EA列方程即可得到结论．

本题属于三角形综合题，需要掌握相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．

【 第 26 题 】 【 答 案 】

解：（1）将点A（-1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，

，解得：，

∴抛物线的解析式为y=x2-x．

（2）证明：（方法一）设直线AF的解析式为y=kx+m， 将点A（-1，1）代入y=kx+m中，即-k+m=1， ∴k=m-1，

∴直线AF的解析式为y=（m-1）x+m．

联立直线AF和抛物线解析式成方程组，

，解得：

，，

∴点G的坐标为（2m，2m2-m）．

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∵GH⊥x轴，

∴点H的坐标为（2m，0）．

∵抛物线的解析式为y=x2-x=x（x-1）， ∴点E的坐标为（1，0）．

设直线AE的解析式为y=k1x+b1，

将A（-1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，

，解得：，

∴直线AE的解析式为y=-x+． 设直线FH的解析式为y=k2x+b2，

将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，

，解得：，

∴直线FH的解析式为y=-x+m． ∴FH∥AE．

（方法二）设直线AF的解析式为y=kx+m， 将点A（-1，1）代入y=kx+m中，即-k+m=1， ∴k=m-1，

∴直线AF的解析式为y=（m-1）x+m． 联立直线AF和抛物线解析式成方程组，

，解得：，，

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∴点G的坐标为（2m，2m2-m）． ∵GH⊥x轴，

∴点H的坐标为（2m，0）．

∵抛物线的解析式为y=x2-x=x（x-1）， ∴点E的坐标为（1，0）．

过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示． ∵点A（-1，1）， ∴A′（-1，0）， ∴AE=2，AA′=1．

∵∠AA′E=∠FOH，==， ∴△AA′E∽△FOH， ∴∠AEA′=∠FHO， ∴FH∥AE．

（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，

将A（-1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，

，解得：

，

∴直线AB的解析式为y=x+2．

当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t-2，t），点Q的坐标为（t，0）．

当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，

则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．∵QM=2PM， ∴

=

=，

∴QM′=，MM′=t，

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∴点M的坐标为（t-，t）． 又∵点M在抛物线y=x2-x上， ∴t=×（t-）2-（t-），

解得：t=；

当点M在线段QP的延长线上时，

同理可得出点M的坐标为（t-4，2t）， ∵点M在抛物线y=x2-x上， ∴2t=×（t-4）2-（t-4）， 解得：t=

．

秒、

秒、

秒或

秒时，

综上所述：当运动时间为QM=2PM． 【 解析 】

（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；

（2）（方法一）根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线AF和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，进而可得出点H的坐标，利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点E的坐标，再根据点A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，可求出直线AE（FH）的解析式，由此可证出FH∥AE； （方法二）根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线AF和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，进而可得出点H的坐标，利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点E的坐标，过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，利用相似三角形的判定定理可得出△AA′E∽△FOH，利用相似三角形的性质可得出∠AEA′=∠FHO，进而可证出FH∥AE；

（3）根据点A、B的坐标利用待定系数法，可求出直线AB的解析式，进而可找出点P、Q的坐标，分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况考虑，借助相似三角形的性质可得出点M的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标

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特征可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的三种形式、相似三角形的性质以及两条直线相交或平行，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，求出抛物线的解析式；（2）（方法一）根据点A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，求出直线AE（FH）的解析式；（方法二）利用相似三角形的性质找出∠AEA′=∠FHO；（3）分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况，借助相似三角形的性质找出点M的坐标．

【 第 27 题 】 【 答 案 】

解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴△=（2a+1）2-4a2＜0， 解得：a＜∴a＜

，

时，原方程没有实数根．

【 解析 】

根据根的判别式即可求出a的取值范围．

本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．

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