均值不等式练习

【同步达纲练习】

知识强化： 一、选择题

1.下列不等式中，对任意实数x都成立的是( )

22

A.lg(x+1)≥lgx B.x+1>2x

C.

11≤1 D.x+≥2

xx21

a2b2ab2ba2.已知a,b∈R，且ab≠0，则在①≥ab ②≥2 ③ab≤() ④

22abab2a2b2()≤这四个不等式中，恒成立的个数是( )

22A.1 B.2

C.3 D.4

+

3.已知a,b∈R，且a+b＝1，则下列各式中恒成立的是( )

1111≥ B.≥4 ab2ab111C.ab≥ D.2≤

2ab2262

4.函数y＝3x+2的最小值是( )

x1A.

A.32-3` B.-3

C.62 D.62-3

5.已知x>1，y>1，且lgx+lgy＝4，则lgxlgy的最大值是( ) A.4 B.2 C.1 D.

二、填空题

6.已知a>b>c，则 (a-b)(b-c)与

1 4ac的大小关系是 . 27.若正数a,b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是 .

222

8.已知a,b,c∈R且a+b+c＝1，则ab+bc+ca的最大值是 ，最小值是 .

三、解答题

444222222

9.已知a,b,c∈R，求证：a+b+c≥ab+bc+ca≥abc(a+b+c).

1

10.(1)求y＝2x+

2

3(x>0)的最小值. x2

2

(2)已知a,b为常数，求y＝(x-a)+(x-b)的最小值.

素质优化： 一、选择题 1.已知f(x)＝(

1xab2ab+

)，a,b∈R，A＝f()，G＝f(ab),H＝f()，则A、G、22ab

H的大小关系是( )

A.A≤G≤H B.A≤H≤G C.G≤H≤A D.H≤G≤A

+

2.已知x∈R，下面各函数中，最小值为2的是( )

A.y＝x+

11612

B.y＝x22+ C.y＝x+ D.y＝x-2x+4xxx22x

y

3.当点(x,y)在直线x+3y-2＝0上移动时，表达式3+27+1的最小值是( ) A.339 B.1+22 C.6 D.74.设M＝(

111+

-1)( -1)( -1)，且a+b+c＝1，(其中a,b,c∈R)，则M的取值范围是

cab11A.［0，］ B.［，1］ C.［1，8］ D.［8，+∞)

885.若a,b,c,d,x,y∈R，且x＝a+b,y＝c+d，则下列不等式中正确的是( )

A.xyac+bd D.xy≤ac+bd

二、填空题

6.斜边为8的直角三角形面积的最大值是 .

+2

7.已知x,y,∈R，且xy＝4，则x+2y的最小值是 . 8.设x>y>z,n∈N，且三、解答题

+

2

2

2

2

2

2

11n≥恒成立，则n的最大值是 . xyyzxz(n1)29.设n∈N，求证1223+…+n(n1)<.

2

10.证明，任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4+22.

创新深化： 一、选择题

x1+＝cosθ，则实数θ的值为( ) 22xA.2kn(k∈Z) B.(2k+1)π(k∈Z)C.kn(k∈Z) D.kn+(k∈Z)

21.设x∈R，且满足

2

2.对一切正数m，不等式n<

42

+2m恒成立，则常数n的取值范围是( ) mA.(-∞，0) B.(-∞，6)C.(6，+∞) D.［6，+∞) 3.若a,b,c∈R，且ab+bc+ca＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a+b+c≥2 B.(a+b+c)≥3

2

2

2

2

C.

111≥23 D.abc(a+b+c)≤3abc

4.已知a,b是不相等的正数，在a,b之间插入两组数x1,x2,…,xn，和y1,y2,…，yn，使a,x1,x2,…,xn,b成等差数列，a,y1,y2,…,yn,b成等比数列，并给出下列不等式.

①

ab211ab (x1+x2+…+xn)>()② (x1+x2+…+xn)>

2nn2

③ny1y2ynab2

)2

则其中为真命题的是( )

A.①③ B.①④C.②③ D.②④

5.某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费用共9千元，汽车的维修费逐年以等差数列递增，第一年为2千元，第2年为4千元，第三年为6千元，……问这种汽车使用几年后报废最合算?(即汽车的平均费用为最低)( )

A.8年 B.9年 C.10年 D.11年

二、填空题

a2b26.已知0

4

2

1b>0，则a+的最小值是 .

(2ab)b28.sinαcosα的最大值是 ，此时，sinα＝ ,cosα＝

三、解答题

9.在两个正数x、y之间，插入一个正数a，设x，a，y成等比数列，另插入两个正数

2

b,c,设x,b,c,y成等差数列，求证：(a+1)≤(b+1)(c+1).

10.已知a>0,b>0,c>0,a+b+c＝1.求证：(1+

111)(1+)(1+)≥.

cab

3

参

【同步达纲练习】 知识强化：

1.C 2.C 3.B 4.D 5.A

4

4

22

4

4

22

6.(ab)(bc)≤ac 7.［9,+∞) 8.1，-24

4

22

4

4

4

22

22

22

1 222

9.∵a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ca相加得a+b+c≥ab+bc+ca,∵ab+bc≥22222222222222222222

2bac,bc+ca≥2cab,ca+ab≥2abc相加得ab+bc+ca≥bac+cab+abc＝abc(a+b+c). 10.(1)y＝2x+素质优化:

1.A 2.A 3.D 4.D 5.B

6.16 7.334 8.4 9.左边<1223+…+n(n1)1

22222

23322

+≥3393336.(2)y＝(x-a)+(b-x)≥(xabx)2x2x22222

(ab)2

221n(n1)n(n3)2n(n2)n(n2)(n1)(1+2+…+n)+［2+3,+…+(n+1)］＝ 24442210.如图，设凸四边形ABCD边长依次为a,b,c,d，对角线AC与BD交于O点，设AO＝e，CO＝f，BO＝g，DO＝h.∴1＝SABCD＝AOB≤

1(eg+gf+fh+he)sin∠211efgh2

(e+f)(g+h)≤(),∴e+f+g+h≥8＝22.又222211111＝2SABCD＝absinB+bcsinc+cdsinD+dasinA≤(ab+bc+cd+da)

2222211acbd2＝(a+c)(b+d)≤ (),∴a+b+c+d≥4，从而命题得证. 222

创新深化:

1.C 2.B 3.B 4.B 5.C

6.(a+b) 7.

2

63433,± 2 8.，±33272axyaxy

9.依题意,即,∴(b+1)(c+1)＝bc+b+c+1＝

2xy2bxc

b2cyb3

x2yc32

(2xy)(x2y)+x+y+1

9112222

［2(x+y)+5xy］+(x+y)+1≥ (4xy+5xy)+2xy+1＝(xy+1)＝(a+1). 991110.∵a>0,b>0,c>0,a+b+c＝1,∴1＝a+b+c≥33abc,∴abc≤,即≥27，∴

27abc1111111111(1+)(1+)(1+)＝1+(++)+(++)+≥

abcabcababcbcca＝

1111+33+33(≥1+9+27+27＝. )+

abcabcabc2 4