2020届安徽省合肥四十五中中考数学三模试卷(含解析)

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 下列实数中的无理数是( )

A. √4 B. 𝜋

C. 7

10

D. 0.1

2. 中国森林面积约128 630 000公顷，将128 630 000用科学记数法表示为( )

A. 0.12863×109 B. 1.2863×109 C. 1.2863×108 D. 1.2863×107

3. 如图两个长方体如图放置，则该立方体图形的左视图是( )

A.

B.

C.

D.

4. 下列计算结果为𝑎5的是( )

A. 𝑎6−𝑎 B. 𝑎2×𝑎3 C. 𝑎10÷𝑎2 D. (𝑎3)2

5. 下列事件中，必然事件是( )

A. 早晨的太阳从东方升起

B. 投两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和大于6 C. 打开电视，正在播《傻儿传奇》

D. 登献失联客机ZQ8501上的黑闸子和残片都能找到

6. 若直线𝑦=−2𝑥与双曲线𝑦=𝑥的一个交点为(−1,2)，则另一个交点为( )

𝑘

A. (2,−𝑙) B. (1,−2) C. (−2,−𝑙) D. (−2,1)

E、F分别是边AD、BC的中点，7. 如图，在平行四边形ABCD中，

AC分别交BE、DF于点M、𝑁.下面结论错误的是( )

A. △𝐴𝐵𝑀≌△𝐶𝐷𝑁

B. 𝐴𝑀=3𝐴𝐶

1

C. 𝐷𝑁=2𝑁𝐹 D. △𝐴𝑀𝐸∽△𝐷𝑁𝐶

8. 某商品房原价60000元/𝑚2，经过连续两次降价后，现价48600元/𝑚2，求平均每次降价的百分

率，设平均每次降价的百分率为x，依题意可列方程为( )

A. 60000(1−2𝑥)=48600 C. 48600(1+2𝑥)=60000

B. 60000(1−𝑥)2=48600 D. 48600(1+𝑥)2=60000

9. 如图①，在等边三角形ABC中，点P为边BC上的任意一点，且∠𝐴𝑃𝐷=60°，PD交AC于点

D，设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为( )

A. 4 B. 4√3 C. 8√3 D. 16√3

10. 如果两个相似三角形的相似比是1：√2，那么这两个相似三角形的面积比是( )

A. 2：1 B. 1：√2

C. 1：2 D. 1：4

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 11. 当x满足______时，代数式√1−𝑥有意义． 12. 把下列多项式因式分解(公式的逆用)：

(1)𝑥2−9= ； (2)𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2= ．

13. 已知扇形的面积为15𝜋𝑐𝑚2，弧长为5𝜋𝑐𝑚，则该扇形的圆心角是______度． 14. 如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=8，点E为BC上一动

点，把△𝐴𝐵𝐸沿AE折叠，当点B的对应点𝐵′落在矩形ABCD的对称轴上时，则点𝐵′到BC的距离为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

15. 海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在

海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B

在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．

四、解答题（本大题共8小题，共80.0分） 16. 计算：−32−(𝜋−3)0−1÷2−1

17. 一方有难，八方支援.“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业

也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：

甲种货车(乙种货车( 第一次 第二次 辆) 4 3 辆) 5 6 总量(吨) 31 30 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？

(2)现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？

18. 作图题

如图，在有方格的直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点均在格子上 (1)画出与△𝐴𝐵𝐶关于x轴对称的△𝐴′𝐵′𝐶′； (2)△𝐴𝐵𝐶的面积为______； (3)点𝐶′的坐标为______．

19. 有5张卡片分别为−5，−3，0，+3，+4.从中抽出2张卡片，使两张卡片上数字之积最大，这

两张卡片的数字分别是______ 和______ ，最大值为______ ；从中抽出2张卡片，使两张卡片数字之商最小，这两张卡片上的数字分别是______ 和______ ，最小值为______ ；从中抽出四______ 张卡片，把这四张卡片上的数字用我们学过的运算方法，使结果等于24，其运算式子为：.(一种即可)

⏜=𝐶𝐷⏜． AB是⊙𝑂的直径，C、D是圆上的两点，且∠𝐵𝐴𝐶=20°，20. 如图，𝐴𝐷

(1)求∠𝐴𝐵𝐶的度数； (2)求∠𝐴𝐶𝐷的度数．

21. 在四个完全相同的小球上分别标上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋里搅匀，

小明同学随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号． (1)请你用画树状图或列表的方法分别表示小明同学摸球的所有可能出现的结果．

(2)按照小明同学的摸球方法，把第一次取出的小球的数字作为点M的横坐标，把第二次取出的小球的数字作为点M的纵坐标，试求出点𝑀(𝑥,𝑦)落在直线𝑦=𝑥上的概率是多少？

22. 对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎,b，c为

常数，且𝑎≠0)的图象顶点为𝑃(不与坐标原点重合)，以OP为边构造正方形OPMN，则称正方形OPMN为二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的关联正方形，称二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐为正方形OPMN的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．

(1)如图，直接写出二次函数𝑦=(𝑥+1)2−2的关联正方形OPMN顶点N的坐标______，并验证点N是否为伴随点______(填“是“或“否“)：

(2)当二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑐的关联正方形OPMN的顶点P与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：

①若关联正方形OPMN的顶点M、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：

②当关联正方形OPMN的顶点M是伴随点时，求关联函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑐的解析式； ③关联正方形OPMN被二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑐图象的对称轴分成的两部分的面积分别为𝑆1与𝑆2，若𝑆1≤3𝑆2，请直接写出c的取值范围．

1

23. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，𝐵𝐸=𝐴𝐹，𝐶𝐹//𝐴𝐸，

CF与边AD相交于点G． 求证：(1)𝐹𝐷=𝐶𝐺； (2)𝐶𝐺2=𝐹𝐺⋅𝐹𝐶．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：A、√4=2，2是有理数，故此选项不符合题意； B、𝜋是无理数，故此选项符合题意； C、是有理数，故此选项不符合题意；

7D、0.1是有理数，故此选项不符合题意． 故选：B．

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义和各种类型．初中范围内学习的无理数有：𝜋，2𝜋等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

10

2.答案：C

解析：解：128 630000=1.2863×108.故选C．

确定𝑎×10𝑛(1≤|𝑎|<10,n为整数)中n的值是易错点，由于128 630 000有9位，所以可以确定𝑛=9−1=8．

把一个数M记成𝑎×10𝑛(1≤|𝑎|<10,n为整数)的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律： (1)当|𝑎|≥1时，n的值为a的整数位数减1；

(2)当|𝑎|<1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．

3.答案：C

解析：

本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．

细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 解：从左边看去，如图所示：

．

故选：C．

4.答案：B

解析：解：A、𝑎6和a不是同类项，不能合并，故本选项不合题意； B、𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故本选项符合题意； C、𝑎10÷𝑎2=𝑎8，故本选项不合题意； D、(𝑎3)2=𝑎6，故本选项不合题意． 故选：B．

结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法运算，然后选择正确选项．

本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法等知识，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则

5.答案：A

解析：解：A、早晨的太阳从东方升起是必然事件，故本选项正确；

B、投两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和大于6是随机事件，故本选项错误； C、打开电视，正在播《傻儿传奇》是随机事件，故本选项错误；

D、登献失联客机ZQ8501上的黑闸子和残片都能找是随机事件，故本选项错误． 故选A．

根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．

本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解答此题的关键．

6.答案：B

解析：解：因为直线𝑦=𝑘𝑥与双曲线𝑦=𝑥的交点均关于原点对称， 所以另一个交点坐标为(1,−2)． 故选：B．

反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

𝑘

本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．

7.答案：D

解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶，𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶， ∵𝐸、F分别是边AD、BC的中点， ∴𝐷𝐸=𝐵𝐹，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐴𝑁𝐹=∠𝐶𝑁𝐷，∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐸𝐷𝐹， ∴∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐷𝑁， 在△𝐴𝐵𝑀和△𝐶𝐷𝑁中， ∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐷𝑁{∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐶𝑁𝐷， 𝐴𝐵=𝐶𝐷

∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐶𝐷𝑁(𝐴𝐴𝑆)； 故A正确； ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴△𝐴𝑀𝐸∽△𝐶𝑀𝐵，

∴𝐴𝐸：𝐵𝐶=𝐴𝑀：𝐶𝑀=1：2， ∴𝐴𝑀=𝐴𝐶；

31

故B正确； ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴△𝐴𝑁𝐷∽△𝐶𝑁𝐹，

∴𝐴𝐷：𝐶𝐹=𝐷𝑁：𝑁𝐹=2， ∴𝐷𝑁=2𝑁𝐹； 故C正确；

∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∴△𝐴𝑀𝐸∽△𝐶𝑀𝐵∽△𝐶𝑁𝐹∽△𝐴𝑁𝐷，△𝐴𝐵𝑀∽△𝐶𝑁𝐷， 但△𝐴𝑀𝐸与△𝐷𝑁𝐶不一定相似． 故D错误．

由于该题选择错误的，故选：D．

由在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，可证得四边形BFDE是平行四边形，继而可利用AAS判定△𝐴𝐵𝑀≌△𝐶𝐷𝑁；易证得△𝐴𝑀𝐸∽△𝐶𝑀𝐵，△𝐴𝑁𝐷∽△𝐶𝑁𝐹，然后由相似三角形的对应边成比例，证得𝐴𝑀=3𝐴𝐶，𝐷𝑁=2𝑁𝐹．

此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

1

8.答案：B

解析：

此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据基本数量关系：商品原价×(1−每次降价的百分率)=现在的价格，列方程即可．

解：由题意可列方程是：60000(1−𝑥)2=48600． 故选：B．

9.答案：B

解析：解：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐵=∠𝐶=60°， 又∵∠𝐴𝑃𝐷=60°，

∴∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐵𝑃𝐴=60°，∠𝐶𝑃𝐷+∠𝐵𝑃𝐴=60°， ∴∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝑃𝐷， ∴△𝐵𝐴𝑃∽△𝐶𝑃𝐷， ∴𝐴𝐵：𝑃𝐶=𝐵𝑃：CD， 设𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝑎，

∵线段PB的长度为x，CD的长度为y， ∴𝑎：(𝑎−𝑥)=𝑥：y， ∴𝑦=−𝑎𝑥2+𝑥，

∴当𝑥=−2𝑎=2时，y取得最大值1，即P为BC中点时，CD的最大值为1， ∴此时∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐷𝐶=90°， ∴∠𝐶𝑃𝐷=90°−60°=30°，

𝑏

𝑎

1

∴𝑃𝐶=𝐵𝑃=2， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=4，

∴𝐴𝑃=4×𝑠𝑖𝑛60°=2√3，

∴等边三角形ABC的面积为：4×2√3÷2=4√3． 故选：B．

由等边三角形的性质可得𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐵=∠𝐶=60°，结合∠𝐴𝑃𝐷=60°，由“一线三等角“推得∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝑃𝐷，从而可判定△𝐵𝐴𝑃∽△𝐶𝑃𝐷，从而可得比例式，将其写成y关于x的二次函数形式，根据二次函数的性质可得CD的最大值，进而得出∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐷𝐶=90°，从而求得等边三角形的边长，再利用三角函数求得其高，最后根据三角形的面积公式计算即可．

本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点是解题的关键．

10.答案：C

解析：解：这两个相似三角形的面积比=12：(√2)2=1：2． 故选：C．

直接根据似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．

本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

11.答案：𝑥≤1

解析：解：由题意得，1−𝑥≥0， 解得𝑥≤1． 故答案为：𝑥≤1．

根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．

本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

12.答案：(𝑥+3)(𝑥−3);(𝑥−𝑦)2

解析：试题分析：(1)原式利用平方差公式分解； (2)原式利用完全平方公式分解． (1)原式=(𝑥+3)(𝑥−3)；

(2)原式=(𝑥−𝑦)2．

故答案为：(1)(𝑥+3)(𝑥−3)；(2)(𝑥−𝑦)2

13.答案：150

解析：解：设扇形圆心角的度数为n，半径为r， ∵扇形的弧长为5𝜋，面积为15𝜋， ∴15𝜋=×5𝜋𝑟，解得𝑟=6．

21

∵

𝑛𝜋×6180

=5𝜋，

∴𝑛=150°． 故答案为：150．

设扇形圆心角的度数为n，半径为r，再由扇形的面积公式求出r的值，根据弧长公式即可得出结论． 本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．

14.答案：2或4

解析：解：当𝐵′在横对称轴上，此时𝐴𝐸=𝐸𝐵=2，如图1所示，

∴点𝐵′到BC的距离为2

当𝐵′在竖对称轴上时，此时𝐴𝑀=𝐴𝐵=𝐴𝐵′=4，如图2所示：

∵𝑀𝑁⊥𝐴𝐷，𝐴𝑀=𝐴𝐵′=4 ∴𝐴𝑀与𝐴𝐵′重合

∴点𝐵′到BC的距离为4 故答案为：2或4

分两种情况讨论，由矩形的性质和折叠的性质可求解．

本题考查了翻折变换，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

15.答案：解：如图，过B点作𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于D．

∴∠𝐷𝐴𝐵=90°−60°=30°，∠𝐷𝐶𝐵=90°−45°=45°． 设𝐵𝐷=𝑥，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷=𝑡𝑎𝑛30°=√3𝑥， 在𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐶中，𝐵𝐷=𝐷𝐶=𝑥，𝐵𝐶=√2𝑥， ∵𝐴𝐶=5×2=10， ∴√3𝑥+𝑥=10． 得𝑥=5(√3−1)．

∴𝐵𝐶=√2⋅5(√3−1)=5(√6−√2)(海里)． 答：灯塔B距C处5(√6−√2)海里．

𝑥

解析：由已知可得△𝐴𝐵𝐶中∠𝐵𝐴𝐶=30°，∠𝐵𝐶𝐴=45°且𝐴𝐶=10海里．要求BC的长，可以过B作𝐵𝐷⊥𝐵𝐶于D，先求出AD和CD的长．转化为运用三角函数解直角三角形． 解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

16.答案：解：原式=−32−1−1÷2，

=−32−1−2， =−35．

1

解析：首先计算零指数幂，负整数指数幂，再算除法，后算加减即可．

此题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，以及有理数的运算，关键是掌握零指数幂：𝑎0=1(𝑎≠0)；负整数指数幂：𝑎−𝑝=𝑎𝑝(𝑎≠0,p为正整数)．

1

17.答案：解：(1)设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，

4𝑥+5𝑦=31依题意得：{，

3𝑥+6𝑦=30𝑥=4

解得：{．

𝑦=3

答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨．

(2)设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆， 依题意得：4𝑚+3𝑛=45，

4

∴𝑛=15−𝑚.

3

又∵𝑚，n均为正整数， ∴{

𝑚=3𝑚=6𝑚=9

或{或{， 𝑛=11𝑛=7𝑛=3

∴共有3种租车方案，

方案1：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车； 方案3：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车．

解析：(1)设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，根据两次满载的运输情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，根据一次运送45吨货物且每辆均全部装满货物，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案．

本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．

18.答案：(1)如图所示，△𝐴′𝐵′𝐶′即为所求；

(2)5 ;

(3)(−2,2)

解析：解：(1)见答案

(2)△𝐴𝐵𝐶的面积为3×4−2×1×3−2×1×3−2×2×4=5，

1

1

1

故答案为：5；

(3)由图知点𝐶′的坐标为(−2,2)， 故答案为：(−2,2)．

(1)分别作出点A，B，C关于x的对称点，再顺次连接即可得； (2)利用割补法求解可得； (3)根据所作图形即可得．

本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义及其性质，割补法求面积．

19.答案：−5；−3；15；−5；+3；−3；3×4×[−3−(−5)]=24

解析：

此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． (1)抽取两个数字，使得之积最大即可； (2)抽取两个数字，使得之商最小即可；

(3)抽取四个数字，利用“24”点游戏规则列出算式即可． 解：(1)根据题意得：(−3)×(−5)=15， 则抽出−5和−3，使得积最大，最大值为15； (2)根据题意得：−5÷(+3)=−3，

则抽出−5和+3，使得商最小，最小值为−3； (3)根据题意得：3×4×[−3−(−5)]=24．

故答案为−5，−3，15；−5，+3，−3；3×4×[−3−(−5)]=24．

5

5

5

5

20.答案：解：(1)∵𝐴𝐵是直径，

∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，

∴∠𝐴𝐵𝐶=90°−∠𝐶𝐴𝐵=70°．

(2)∵∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐴𝐵𝐶=180°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=180°−70°=110°， ⏜=𝐶𝐷⏜， ∵𝐴𝐷

∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐷=2(180°−110°)=35°．

1

解析：(1)利用圆周角定理以及三角形内角和定理即可解决问题． (2)求出∠𝐴𝐷𝐶，证明∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐷即可解决问题．

本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21.答案：解：(1)

列表得：

1 2 3 4 画树状图得：

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)

则小明共有16种等可能的结果；

(2)由(1)中的表格知，共有16个结果，每种结果出现的可能性都相同，其中满足条件的点有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)落在直线𝑦=𝑥上； ∴点𝑃(𝑥,𝑦)落在直线𝑦=𝑥上的概率是16=4．

解析：(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有可能的结果，注意是放回实验还是不放回实验；

y满足𝑦=𝑥的情况，(2)由表格求得所有等可能的结果与数字x、再利用概率公式求解即可求得答案． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意区分放回与不放回实验，列表法或画树状图法可

4

1

以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22.答案：(−2,1)或(2,−1) 否

解析：解：(1)如图1，过点P作𝑃𝐴⊥𝑥轴于点A，过点N作𝑁𝐵⊥𝑥轴于点B ∴∠𝑃𝐴𝑂=∠𝑂𝐵𝑁=90°

∵二次函数𝑦=(𝑥+1)2−2顶点𝑃(−1,−2) ∴𝑃𝐴=2，𝑂𝐴=1 ∵四边形OPMN是正方形 ∴𝑂𝑃=𝑂𝑁，∠𝑃𝑂𝑁=90°

∴∠𝐴𝑂𝑃+∠𝐵𝑂𝑁=∠𝐵𝑂𝑁+∠𝐵𝑁𝑂=90° ∴∠𝐴𝑂𝑃=∠𝐵𝑁𝑂

在△𝐵𝑂𝑁与△𝐴𝑃𝑂中

∠𝑂𝐵𝑁=∠𝑃𝐴𝑂{∠𝐵𝑁𝑂=∠𝐴𝑂𝑃 𝑂𝑁=𝑃𝑂

∴△𝐵𝑂𝑁≌△𝐴𝑃𝑂(𝐴𝐴𝑆) ∴𝐵𝑂=𝑃𝐴=2，𝐵𝑁=𝐴𝑂=1

若MN在OP左侧，则点N在第二象限，𝑁(−2,1) ∵𝑥=−2时，𝑦=(−2+1)2−2=−1≠1 ∴点N不在二次函数的图象上 ∴𝑁(−2,1)不是伴随点

若MN在OP右侧，则点N在第四象限，𝑁(2,−1) ∵𝑥=2时，𝑦=(2+1)2−2=7≠−1 ∴𝑁(2,−1)不是伴随点

故答案为：(−2,1)或(2,−1)；否．

(2)过点P作𝑃𝐴⊥𝑥轴于点A，过点N作𝑁𝐵⊥𝑥轴于点B 由(1)可得：△𝐵𝑂𝑁≌△𝐴𝑃𝑂

∵𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑐=−(𝑥−2)2+𝑐+4 ∴𝑃(2,𝑐+4)

∴𝐵𝑁=𝑂𝐴=2，𝐵𝑂=𝑃𝐴=|𝑐+4|

①𝑖)如图2，若点P在第一象限

∵𝑃与N位于x轴的两侧，点M、N在x轴的异侧 ∴点N在第四象限，𝑃𝐴>𝐵𝑁 ∴{

𝑐+4>0

解得：𝑐>−2

𝑐+4>2

𝑖𝑖)如图3，若点P在第四象限 ∴点N在第一象限，𝑃𝐴>𝐵𝑁 𝑐+4<0

解得：𝑐<−6 ∴{

−(𝑐+4)>2

综上所述，点M、N在x轴的异侧时，c的取值范围为𝑐<−6或𝑐>−2．

②过点M作𝑀𝐶⊥𝑃𝐴于点C

∴∠𝑀𝐶𝑃=∠𝑃𝐴𝑂=90°

∴∠𝑃𝑀𝐶+∠𝑀𝑃𝐶=∠𝑀𝑃𝐶+∠𝑂𝑃𝐴=90° ∴∠𝑃𝑀𝐶=∠𝑂𝑃𝐴

在△𝑃𝐶𝑀与△𝑂𝐴𝑃中

∠𝑃𝐶𝑀=∠𝑂𝐴𝑃{∠𝑃𝑀𝐶=∠𝑂𝑃𝐴 𝑃𝑀=𝑂𝑃

∴△𝑃𝐶𝑀≌△𝑂𝐴𝑃(𝐴𝐴𝑆)

∴𝐶𝑀=𝑃𝐴=|𝑐+4|，𝑃𝐶=𝑂𝐴=2 𝑖)如图2，若点P在第一象限，则𝑐+4>0

∴𝑥𝑀=𝑂𝐴+𝐶𝑀=2+𝑐+4=𝑐+6，𝑦𝑀=𝑦𝑃−𝑃𝐶=𝑐+4−2=𝑐+2

∴𝑀(𝑐+6,𝑐+2)

∵点M是伴随点，即点M在二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑐图象上

∴−(𝑐+6)2+4(𝑐+6)+𝑐=𝑐+2

解得：𝑐1=−4−√2(舍去)，𝑐2=−4+√2 𝑖𝑖)如图3，若点P在第四象限，则点M在点P上方 ∵二次函数图象开口向下

∴点M不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点 综上所述，关联函数的解析式为𝑦=−𝑥2+4𝑥+√2−4

1

③∵𝑆1≤3𝑆2，𝑆1+𝑆2=𝑆正方形𝑂𝑃𝑀𝑁

∴𝑆2≥3𝑆1 ∴𝑆1+𝑆2≥4𝑆1 1

∴𝑆1≤𝑆正方形𝑂𝑃𝑀𝑁

4

𝑖)如图4，当点P、M在x轴同侧时(由①可知𝑐<−6或𝑐>−2)，对称轴与ON交于点D

1

∴𝑆1=𝑆△𝑃𝑂𝐷=𝑂𝑃⋅𝑂𝐷

211

∴𝑂𝑃⋅𝑂𝐷≤𝑂𝑃2 24

∴𝑂𝐷≤𝑂𝑃，即𝑂𝐷≤𝑂𝑁

2

2

1

1

∵𝐴𝐷//𝐵𝑁

∴△𝑂𝐴𝐷∽△𝑂𝐵𝑁

∴

∴𝑂𝐴≤𝑂𝐵

21

𝑂𝐴𝑂𝐷1

=≤ 𝑂𝐵𝑂𝑁2

1

∴2≤|𝑐+4|

2

解得：𝑐≥0或𝑐≤−8

𝑖𝑖)如图5，当点P、M在x轴异侧时(−6<𝑐<−2)，对称轴与MN交于点E

延长MC交BN于F

∴𝑀𝐹=𝑂𝐴=2

1

∴𝑆1=𝑆△𝑃𝑀𝐸=𝑃𝑀⋅𝑀𝐸

211

∴𝑃𝑀⋅𝑀𝐸≤𝑃𝑀2 24

∴𝑀𝐸≤2𝑃𝑀，即𝑀𝐸≤2𝑀𝑁

1

∴𝑀𝐶≤𝑀𝐹

2∴|𝑐+4|≤1

解得：−5≤𝑐≤−3

1

1

综上所述，𝑆1≤3𝑆2时c的取值范围为𝑐≤−8或−5≤𝑐≤−3或𝑐≥0．

(1)由点P坐标，画出正方形OPMN的大致位置，发现MN可以在OP的左右两侧，故需分类讨论．分别过点P、N作x轴长垂线段PA、NB，易证△𝐵𝑂𝑁≌△𝐴𝑃𝑂，故有𝐵𝑂=𝑃𝐴=2，𝐵𝑁=𝐴𝑂=1.根据点N在第二或第四象限的位置得到点N坐标，把N的横坐标代入二次函数解析式，求得的函数值与N的纵坐标不相等，故点N不着二次函数图象上，不是伴随点．

画出正方形OPMN的大致位置，由(1)可证得△𝐵𝑂𝑁≌△𝐴𝑃𝑂，故有𝐵𝑁=(2)①用配方法求点P坐标，

𝑂𝐴=2，𝐵𝑂=𝑃𝐴=|𝑐+4|.由于点M、N在x轴的异侧，由图可知𝑃𝐴>𝐵𝑁.分别讨论点P在第一象限和第四象限时PA的长(用c表示)，即得到关于c的不等式，进而求得c的取值范围．

②过点M作直线PA的垂线段MC，构造△𝑃𝐶𝑀≌△𝑂𝐴𝑃，故有𝐶𝑀=𝑃𝐴=|𝑐+4|，𝑃𝐶=𝑂𝐴=2.若点P在第一象限时，根据𝑐+4>0求得用c表示点M的横纵坐标，由点M为伴随点可知点M在二次函数图象上，把点M坐标代入二次函数解析式得到关于c的方程，解方程并讨论c的取值即可．若点P在第四象限，则点M在点P上方，但二次函数图象开口向下，不可能经过点M，即此时M不可能为伴随点．

③由𝑆1≤3𝑆2，可得𝑆1≤4𝑆正方形𝑂𝑃𝑀𝑁.画图可知，当点P、M在x轴同侧时对称轴与ON交于点D，𝑆1=𝑆△𝑃𝑂𝐷，故有2𝑂𝑃⋅𝑂𝐷≤4𝑂𝑃2解得𝑂𝐷≤2𝑂𝑁.又由𝐴𝐷//𝐵𝑁可证△𝑂𝐴𝐷∽△𝑂𝐵𝑁，通过对应边成比例得𝑂𝐴≤2𝑂𝐵，把含c的式子代入解不等式即求得c的范围．当点P、M在x轴异侧时，同理可求c的取值范围．

本题考查了新定义的理解和性质运用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，一元一次不等式(组)的解法，一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性质．由于正方形顶点位置的不确定，故每小题都需根据情况抓住相同点和不同点进行分类讨论．讨论正方形顶点坐标时，常在正方形内构造弦图得到全等三角形，再利用全等三角形性质计算．

1

1

1

1

1

1

1

23.答案：证明：(1)∵在菱形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∴∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐵，

𝐴𝐹=𝐵𝐸

在△𝐴𝐷𝐹与△𝐵𝐴𝐸中，{∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐵，

𝐴𝐷=𝐵𝐴∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐴𝐸， ∴𝐹𝐷=𝐸𝐴，

∵𝐶𝐹//𝐴𝐸，𝐴𝐺//𝐶𝐸，

∴𝐸𝐴=𝐶𝐺， ∴𝐹𝐷=𝐶𝐺；

(2)∵在菱形ABCD中，𝐶𝐷//𝐴𝐵， ∴∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐵𝐹𝐶， ∵𝐶𝐹//𝐴𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐹𝐶， ∴∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐵𝐴𝐸， ∵△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐴𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹𝐷𝐴， ∴∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐹𝐷𝐴， 又∵∠𝐷𝐹𝐺=∠𝐶𝐹𝐷， ∴△𝐹𝐷𝐺∽△𝐹𝐶𝐷，

∴𝐹𝐶=𝐹𝐷，𝐹𝐷2=𝐹𝐺⋅𝐹𝐶， ∵𝐹𝐷=𝐶𝐺， ∴𝐶𝐺2=𝐹𝐺⋅𝐹𝐶．

解析：(1)根据菱形的性质得到∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐵，根据全等三角形的性质得到𝐹𝐷=𝐸𝐴，于是得到结论； (2)根据菱形的性质得到∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐵𝐹𝐶，根据平行线的性质得到∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐹𝐶，根据全等三角形的性质得到∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹𝐷𝐴，等量代换得到∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐹𝐷𝐴，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．

𝐹𝐷

𝐹𝐺