概率论与数理统计第二章课后习题答案

第二章

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】

X3,4,5P(X3)P(X4)10.13C53 0.3C35C24P(X5)30.6C5故所求分布律为 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

（2）X的分布函数并作图； (3)

133P{X},P{1X},P{1X},P{1X2}.

222【解】

X0,1,2.3C1322P(X0)3.C15352C112 2C13P(X1)3.C1535C11P(X2)13.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35 （2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

1

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

22 3534 35当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

x00,22,0x135F(x)

34,1x2351,x2(3)

3.射手向目标地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

P(X0)(0.2)30.0082P(X1)C130.8(0.2)0.096P(X2)C(0.8)0.20.384P(X3)(0.8)30.512故X的分布律为 X P 分布函数

0 0.008 1 0.096 2 0.384 232

3 0.512 x00,0.008,0x1F(x)0.104,1x2

0.488,2x3x31,P(X2)P(X2)P(X3)0.6

4.（1）设随机变量X的分布律为

kP{X=k}=a，

k!其中k=0，1，2，„，λ＞0为常数，试确定常数a. （2）设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N，k=1，2，„，N，

2

试确定常数a. 【解】（1）由分布律的性质知

1P(Xk)ak0k0kk!ae

故ae

(2) 由分布律的性质知

NN1P(Xk)k1k1aa N即a1.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)

(1)

P(X3,Y3)

212(0.4)3(0.3)3C130.6(0.4)C30.7(0.3)+

22C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3(0.6)3(0.7)3

0.32076

(2)

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，

则有

P(XN)0.01

即

kN1200k200kCk0.01 200(0.02)(0.98)利用泊松近似

np2000.024.

3

e44kP(XN)0.01

k!kN1查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

故

4所以P(X4)C5()413210. 32439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1）进行了5次试验，试求指示灯发出信号的概率； （2）进行了7次试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X表示5次试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

kP(X3)C5(0.3)k(0.7)5k0.16308

k35(2) 令Y表示7次试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

kP(Y3)C7(0.3)k(0.7)7k0.35293

k3710.某在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）P(X0)ekk32 (2) P(X1)1P(X0)1e2k52

11.设P{X=k}=C2p(1p)P{Y=m}=C4p(1p)mm4m, k=0,1,2

,m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X1)5，试求P{Y≥1}. 954，故P(X1). 992而P(X1)P(X0)(1p)

4

故得(1p)2即p.

4, 913从而P(Y1)1P(Y0)1(1p)4650.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

np20000.0012

e225得P(X5)0.0018

5!13.进行某种试验，成功的概率为

31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X1,2,,k,

13P(Xk)()k1

44P(X2)P(X4)P(X2k)

131313()3()2k1 4444441314 41(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1）保险公司亏本的概率;

（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

P(2000X30000)P(X15)1P(X14)

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

e55kP(X15)10.000069

k!k014(2) P(保险公司获利不少于10000)

5

P(300002000X10000)P(X10)

10e55k0.986305k0k!

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P（保险公司获利不少于20000）P(300002000X20000)P(X5)

5e55k0.615961

k0k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae|x|, ∞求：（1）A值；（2）P{0f(x)dx1得

1Ae|x|dx2Aex0dx2A

故A12. (2) p(0X1)110exdx12(1e12) (3) 当x<0时，F(x)x12exdx12ex

当x≥0时，F(x)x1e|x|dx01exdxx1ex2202dx

112ex

12ex,x0故F(x)

11ex2x016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

f(x)=100x2,x100,

0,x100.求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3）F（x）. 【解】

（1）P(X150)150100100x2dx13. 6

28 p1[P(X150)]3()33271224(2) p2C1() 3339(3) 当x<100时F（x）=0

当x≥100时F(x)xf(t)dt

100xf(t)dtx100f(t)dt

100100 dt1100t2x100,1故F(x)x0,x100x0

17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

1,0xa f(x)a其他0,故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时F(x)当x>a时，F（x）=1

即分布函数

xxxf(t)dtf(t)dt001xdt aa0,xF(x),a1,x00xa xa18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

1,2x5 f(x)3其他0,P(X3)故所求概率为

5312dx 33202221323 pC3()C3()33327

7

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等

到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为

x15e,x0f(x)5

0,x01515该顾客未等到服务而离开的概率为

x15P(X10)edxe2

105Y~b(5,e2),即其分布律为

kP(Yk)C5(e2)k(1e2)5k,k0,1,2,3,4,5P(Y1)1P(Y0)1(1e)0.516725

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服

从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1）若走第一条路，X~N（40，102），则

x406040P(X60)P(2)0.97727

1010若走第二条路，X~N（50，42），则

X506050P(X60)P(2.5)0.9938++

44故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2）若X~N（40，102），则

X404540P(X45)P(0.5)0.6915

1010若X~N（50，42），则

X504550P(X45)P(1.25)

441(1.25)0.1056

故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X~N（3，22），

8

（1）求P{222211(1)(1)122

0.841310.69150.532843X3103P(4X10)P

222770.9996

22P(|X|2)P(X2)P(X2)

X323X323PP2222151511

22220.691510.99380.6977P(X3)P(X33-3)1(0)0.5 22(2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X10.05|0.12)PX10.050.12 0.060.061(2)(2)2[1(2)]0.0456

23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}

≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】P(120X200)P120160X160200160 404040210.8

故4031.25 1.299

24.设随机变量X分布函数为

ABext,x0,(0), F（x）=x0.0,（1）求常数A，B；

（2）求P{X≤2}，P{X＞3}； （3）求分布密度f（x）.

【解】（1）由xlimF(x)1A1xlim0F(x)xlim0F(x)得B1

（2）P(X2)F(2)1e2

P(X3)1F(3)1(1e3)e3

)F(x)ex(3) f(x,x00,x0

25.设随机变量X的概率密度为

x,0x1,f（x）=2x,1x2, 0,其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

【解】当x<0时F（x）=0

当0≤x<1时F(x)xf(t)dt0f(t)dtx0f(t)dt

xx20tdt2 当1≤x<2时F(x)xf(t)dt

01xf(t)dt0f(t)dt1f(t)dt10tdtx1(2t)dt1

22xx2232x222x1当x≥2时F(x)xf(t)dt1

10

0,x0x20x1故F(x)2,

2x2x1x221,1,x226.设随机变量X的密度函数为

（1）f(x)=ae|x|,λ>0;

bx,0(2) f(x)=x1,1x2,1x2,

0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【解】（1）由

x2af(x)dx1知1|x|aedx2a0edx故a2

x0即密度函数为f(x)ex,2

ex2x0当x≤0时F(x)xxf(x)dx2exdx12ex 当x>0时F(x)xf(x)dx02exdxxx02edx

112ex

故其分布函数

11ex,xF(x)20

12ex,x0(2) 由1f(x)dx1bxdx21b01x2dx212 得 b=1

即X的密度函数为

x,0x1f(x)12,1x2

x0,其他

11

当x≤0时F（x）=0 x0x当02xxdxx02

当1≤x<2时F(x)x01x1f(x)dx0dx0xdx1x2dx 321x 当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为

0,x0x20x1F(x),2

31,1x22x1,x227.求标准正态分布的上分位点， （1）=0.01，求z; （2）=0.003，求z，z/2. 【解】（1）P(Xz)0.01

即1(z)0.01 即(z)0.09 故z2.33

（2）由P(Xz)0.003得

1(z)0.003

即(z)0.997 查表得z2.75

由P(Xz/2)0.0015得

1(z/2)0.0015

12

即(z/2)0.9985 查表得z/22.96 28.设随机变量X的分布律为 X Pk 21013 1/51/61/51/1511/30 求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0，1，4，9

P(Y0)P(X0)1511761530

P(Y1)P(X1)P(X1)1511P(Y9)P(X3)30P(Y4)P(X2)故Y的分布律为 Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=(

1k

), k=1,2,„,令 21,当X取偶数时Y

1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P(Y1)P(X2)P(X4)P(X2k)

111()2()4()2k222 111()/(1)443P(Y1)1P(Y1)30.设X~N（0，1）.

（1）求Y=eX的概率密度； （2）求Y=2X2+1的概率密度； （3）求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1）当y≤0时，FY(y)P(Yy)0

x当y>0时，FY(y)P(Yy)P(ey)P(Xlny)

2 3 13

lnyfX(x)dx

故fFY(y)11Y(y)ddyyf1ln2y/2x(lny)y2πe,y0 (2)P(Y2X211)1

当y≤1时FY(y)P(Yy)0

当y>1时FY(y)P(Yy)P(2X21y)

PX2y1Py1Xy1222 (y1)/2(y1)/2fX(x)dx

故f)d12Y(ydyFY(y)4y1fy1Xfy12X2121y12πe(y1)/42,y1

(3) P(Y0)1

当y≤0时FY(y)P(Yy)0

当y>0时FY(y)P(|X|y)P(yXy)

yyfX(x)dx

故fY(y)ddyFY(y)fX(y)fX(y) 2y2/2πe2,y0 31.设随机变量X~U（0,1），试求：

（1）Y=eX

的分布函数及密度函数； （2）Z=2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1）P(0X1)1

故P(1YeXe)1 当y1时FY(y)P(Yy)0

14

当1lny0dxlny

当y≥e时FXY(y)P(ey)1 即分布函数

yF0,1Y(y)lny,1ye

1,ye故Y的密度函数为

1f1yeY(y)y,

0,其他（2）由P（0P(Z0)1

当z≤0时，FZ(z)P(Zz)0

当z>0时，FZ(z)P(Zz)P(2lnXz)

P(lnXz)P(Xez/22)

1z/2dx1ez/2e

即分布函数

F)0,z0Z(z1-e-z/2,z0

故Z的密度函数为

f1ez/2,z0Z(z)2

0,z032.设随机变量X的密度函数为

f(x)=2xπ2,0xπ,

0,其他.试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0Y1)1

15

当y≤0时，FY(y)P(Yy)0

当0P(0Xarcsiny)P(πarcsinyXπ)

arcsiny0π2x2xdxπarcsinyπ2dx π21122 2（arcsiny）1-2（π-arcsiny）ππ2arcsiny π当y≥1时，FY(y)1 故Y的密度函数为

12,0y1π2fY(y) 1y0,其他33.设随机变量X的分布函数如下：

1,F(x)1x2(2),试填上(1),(2),(3)项.

【解】由limF(x)1知②填1。

xx(1)x,

(3).F(x)F(x0)1知x00，故①为0。 由右连续性lim+xx0从而③亦为0。即

1,F(x)1x21,x0x0

34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=

抛掷出现6点}。则

1.且A1与A2相互。再设C={每次6P(C)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)

111111 66663611的几何分布。 3616

故抛掷次数X服从参数为

35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则

X~b(n,0.1)

0nP(X1)1P(X0)1C0n(0.1)(0.9)0.9

即(0.9)0.1

得 n≥22

即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知

n0,1F（x）=x,21,则F（x）是（）随机变量的分布函数.

（A）连续型；（B）离散型； （C）非连续亦非离散型.

x0,10x,

21x.2【解】因为F（x）在（∞,+∞）上单调不减右连续，且limF(x)0

xxlimF(x)1,所以F（x）是一个分布函数。

但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）

37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b]

等于（）

(A) [0,π/2]; (B) [0,π];

(C) [π/2,0];(D)[0,

3π]. 2【解】在[0,]上sinx≥0，且

在[0,π]上在[π2π/20sinxdx1.故f(x)是密度函数。

π0sinxdx21.故f(x)不是密度函数。

π,0]上sinx0，故f(x)不是密度函数。 233在[0,π]上，当πxπ时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。

22故选（A）。

38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为X~N(0,2),P(1X3)P(1X3)

17

31()()令g()

利用微积分中求极值的方法，有

g()(3311)()() 2232119/221e22211/22e2222e1/2[13e8/2]024,则0 ln3ln3令

2得0又g(0)0 故02为极大值点且惟一。 ln32时X落入区间（1，3）的概率最大。 ln3故当39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物

品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.

em,m0,1,2, 【解】P(Xm)m!设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即

kmkP(Yk|Xm)Ckp(1p),k0,1,,m m由全概率公式有

P(Yk)P(Xm)P(Yk|Xm)

mk 18

emkkCmp(1p)mkm!mkeemkk!(mk)!p(p)kk!mk(1p)mk

[(1p)]mk(mk)!mk(p)k(1p)eek!(p)kpe,k0,1,2,k!此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1e2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为

2e2x,x0fX(x)

x00,由于P（X>0）=1，故0<1e2X<1，即P（0当y≤0时，FY（y）=0 当y≥1时，FY（y）=1

当01P(Xln(1y))2 即Y的密度函数为

1ln(1y)202e2xdxy1,0y1fY(y)

0,其他即Y~U（0，1）

41.设随机变量X的密度函数为

13,0x1,2f(x)=,3x6,

9其他.0,若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P（X≥k）=

21知P（X19

若0≤k≤1,P(Xk01k1dx 3331 31k11 dx0dx031311k2211若30339933若1≤k≤3时P（X若k>6,则P（X故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=42.设随机变量X的分布函数为

2. 3x1,0,0.4,1x1,F(x)=

0.8,1x3,x3.1,求X的概率分布. （1991研考）

【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为 X P 1 0.4 1 0.4 3 0.2

43.设三次试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A

在一次试验中出现的概率.

【解】令X为三次试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则

X~b(3,p)

由P（X≥1）=故p=

198知P（X=0）=（1p）3= 27271 344.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】

1,1x6 f(x)50,其他P(X240)P(X2)P(X2)P(X2)45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2P{X<0}=. 【解】0.3P(2X4)P(4 522X242)

22()(0)()0.5

 20

故()0.8

2因此P(X0)P(X2022)()

21()0.2

46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调

试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互）.求 （1）全部能出厂的概率α；

（2）其中恰好有两台不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则

A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}

由题意知B=A∪AB，且

P(A)0.3,P(B|A)0.8P(AB)P(A)P(B|A)0.30.80.24 P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故

P(Xn)(0.94)nn2P(Xn2)C2(0.06)2 n(0.94)P(Xn2)1P(Xn1)P(Xn)1n(0.94)n10.06(0.94)n

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72

分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）

24X7296720.023P(X96)P1() 故(24)0.977 2,即σ=12

查表知

24从而X~N（72，122） 故P(60X84)P6072X728472

121212 21

(1)(1)2(1)10.682

48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概

率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求： （1）该电子元件损坏的概率α;

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}，

A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，252）知

P(A1)P(X200)

X220200220P

2525(0.8)1(0.8)0.212P(A2)P(200X240)

200220X220240220P

252525(0.8)(0.8)0.576P(A3)P(X240)10.2120.5760.212

由全概率公式有

P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.02

i13由贝叶斯公式有

P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.009

P(B)49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y). 【解】fX(x)1,1x2

0,其他因为P（12X当e21P(1Xlny)

2

1lny211dxlny1

222

当y≥e4时，FY(y)P(Yy)1

0,ye2即F)1lny1,e2ye4Y(y

21,ye412故f)2y,eye4Y(y

0,其他50.设随机变量X的密度函数为

f(x)=ex,x0,X0,x0.

求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). 【解】P（Y≥1）=1

当y≤1时，FY(y)P(Yy)0

当y>1时，FY(y)P(Yy)P(eXy)P(Xlny)lny0exdx11y 即F(y)11y>1Yy,

0,y1故f12,y>1Y(y)y

0,y151.设随机变量X的密度函数为

fX(x)=

1π(1x2), 求Y=13x的密度函数fY(y). 【解】FY(y)P(Yy)P(13Xy)P(X(1y)3)

1(1y)3π(1x2)dx1πarctgx(1y)31π

3π2arctg(1y)

(1995研考)

23

3(1y)2故fY(y)

π1(1y)652.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.

（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993

研考） 【解】（1）当t<0时，FT(t)P(Tt)0

当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有

FT(t)P(Tt)1P(Tt)1P(N(t)0)1et

1et,t0即FT(t)

0,t0即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。

e168（2）QP(T16|T8)P(T16)/P(T8)8e

e53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{1件下，X在{1，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}. (1997研考) 【解】显然当x<1时F（x）=0；而x≥1时F（x）=1

由题知P(1X1)1115 848x1 2当1P(X,1X1)P(Xx,X1)P(Xx,X1)P(Xx,1X1)P(Xx,x1)P(Xx|1X1)P(1X1)P(X1)x15151(x1)288168当x=1时，F(x)P(Xx)P(X1)故X的分布函数

1 8x10,51F(x)(x1),-1x<1

816x11,54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-

24

μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解：依题意

X1N(0,1)，

Y21N(0,1)，则

2P{X111}P{X1}，

11P{YY2121}P{2}.

2因为P{X11}P{Y21}，即

P{X111}，

1}P{Y1122所以有11，即12.

12

25