2019-2020学年人教新版湖北省武汉市江夏区八年级第一学期期末数学试卷 含解析

一、选择题 1．分式A．x＝1

有意义的条件是（ ）

B．x≠1

C．x＝﹣1

D．x≠﹣1

2．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 C．（﹣ab）4＝a4b4

B．（x2）3＝x5 D．2xy•3x＝5x2y

3．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ） A．四边形

B．五边形

C．六边形

D．八边形

4．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（ ）

A．36° B．38.5° C．° D．77°

5．如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离到达C、D两地，若C与B的距离为a千米，则D与B的距离为（ ）

A．a千米 B．a千米 C．2a千米 D．无法确定

6．约分：的结果是（ ）

A． B． C． D．

7．已知如图，O为四边形ABCD内一点，若∠A＝50°且∠ABO＝20°，∠ADO＝30°，则∠BOD的度数是（ ）

A．70° B．80° C．90° D．100°

＝，点E、F

8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且

在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝20，则S△ABE+SCDF是多少？（ ）

A．9 B．12 C．15 D．18

ab的值为 （ ）

9．已知：（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣2a＝0且b＝2，则式子（ab2﹣2ab）•A．﹣

B．

C．﹣1

D．2

10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ） A．9个

B．7个

C．6个

D．5个

二、填空题[共6小题，每小题3分，共18分） 11．当x为 时，分式

的值为0．

12．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形？ ．

13．分解因式：x2y﹣4y＝ ．

14．等腰三角形有一个角等于30度，则底边上的高和腰上的高所在直线相交形成的锐角等于 度．

y＝8x3+2x2﹣15x，15．2x2＝x+3，已知；计算：（

﹣

）÷

的值是 ．

16．如图，△ABC是等边三角形，点P是AB的中点，点M在CB的延长线上，点N在AC上且满足∠MPN＝120°，已知△ABC的周长为18，设t＝2AC﹣CM﹣CN，若关于x的方程

＝t的解是正数，则n的取值范围是 ．

三、解答题（共8小题） 17．按要求完成下列各题

（1）计算：（2y）2•（﹣xy2） （2）分解因式：ax2+2a2x+a3

18．如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．

19．解方程：﹣＝0

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点B，若AB＝2，求PE的长．

21．先化简，再求值． （a﹣b+

）（a+b﹣

）÷（a﹣b），其中a，b满足a2+b2﹣a+b+

＝0．

22．已知：等边△ABC中．

（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求

的值；

（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．

（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求

的值．

A，23．网购是现在人们常用的购物方式，通常网购的商品为防止损坏会采用盒子进行包装，B均是容积为V立方分米无盖的长方体盒子（如图）．

（1）图中A盒子底面是正方形，B盒子底面是长方形，A盒子比B盒子高6分米，A和B两个盒子都选用相同的材料制作成侧面和底面，制作底面的材料1.5元/平方分米，其中B盒子底面制作费用是A盒子底面制作费用的3倍，当V＝576立方分米时，求B盒子的高．（温馨提示：要求用列分式方程求解）

（2）在（1）的条件下，已知A盒子侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米，求制作一个A盒子的制作费用是多少元？

x2﹣31x+a＝ ． （3）设a的值为（2）中所求的一个A盒子的制作费用，请分解因式：24．已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，A（x，0），其中x是方程﹣

＝

的解．

（1）求点A的坐标；

（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边△ACD，连DB并延长交y轴于点E，求∠BEO的度数；

（3）如图2，若点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连FB，以为边在第一象限内作等边△FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，GH﹣AF的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．

参

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案其中有且只有一个正确，请在答卷上将正确答案的代号涂黑． 1．分式A．x＝1

有意义的条件是（ ）

B．x≠1

C．x＝﹣1

D．x≠﹣1

【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案． 解：要使x﹣1≠0． 解得x≠1， 当x≠1时，故选：B．

2．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 C．（﹣ab）4＝a4b4

B．（x2）3＝x5 D．2xy•3x＝5x2y

有意义， 有意义，得

【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式乘单项式法则，对各选项进行逐一分析即可． 解：A、a2•a3＝a5，故本选项错误； B、（x2）3＝x6，故本选项错误； C、（﹣ab）4＝a4b4，故本选项正确； D、2xy•3x＝6x2y，故本选项错误． 故选：C．

3．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ） A．四边形

B．五边形

C．六边形

D．八边形

【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解． 解：设所求正n边形边数为n，由题意得 （n﹣2）•180°＝360°×2 解得n＝6．

则这个多边形是六边形． 故选：C．

4．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（ ）

A．36° B．38.5° C．° D．77°

【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可； 解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，

∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°， ∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°， 又∵AD＝DC，在三角形ADC中， ∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°． 故选：B．

5．如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离到达C、D两地，若C与B的距离为a千米，则D与B的距离为（ ）

A．a千米 B．a千米 C．2a千米 D．无法确定

【分析】先根据题意得到AB垂直平分CD，然后根据线段垂直平分线的性质可判断C，D到B的距离相等． 解：∵AB⊥CD，AC＝AD， ∴AB垂直平分CD， ∴BC＝BD＝a千米，

故选：A． 6．约分：

的结果是（ ）

A． B． C． D．

【分析】直接将分子分解因式进而化简得出答案． 解：故选：D．

7．已知如图，O为四边形ABCD内一点，若∠A＝50°且∠ABO＝20°，∠ADO＝30°，则∠BOD的度数是（ ）

＝

＝

．

A．70° B．80° C．90° D．100°

【分析】延长BO交AD于E，根据三角形内角与外角的性质可得∠OED＝∠A+∠ABO，∠BOD＝∠ADO+∠OED，再代入相应数值进行计算即可． 解：如图，延长BO交AD于E，

∵∠A＝50°，∠ABO＝20°， ∴∠OED＝50°+20°＝70°， ∵∠ADO＝30°，

∴∠BOD＝∠OED+∠ACO＝70°+30°＝100°． 故选：D．

8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且

＝，点E、F

在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝20，则S△ABE+SCDF是多少？（ ）

A．9 B．12 C．15 D．18

【分析】根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+SCDF＝S△

ACD，即可得出答案．

解：∵∠BED＝∠CFD＝∠BAC，∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠CFD＝∠FCA+∠CAF，

∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA， 在△ABE和△CAF中， ∵

，

∴△ABE≌△CAF（ASA）， ∴S△ABE＝S△ACF， ∴S△ABE+SCDF＝S△ACD ∵S△ABC＝20，∴S△ACD＝15， 故选：C．

9．已知：（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣2a＝0且b＝2，则式子（ab2﹣2ab）•A．﹣

B．

C．﹣1

ab的值为 （ ）

＝，

D．2

【分析】直接利用整式的除法运算法则化简得出a的值，进而代入求出答案．

解：∵（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣2a＝0， ∴4a2﹣2a+1﹣2a＝0， 故（2a﹣1）2＝0， 解得：a＝， （ab2﹣2ab）•＝a2b3﹣a2b2

把a＝，b＝2代入上式得： 原式＝×（）2×23﹣（）2×22 ＝﹣1 ＝﹣． 故选：A．

10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ） A．9个

B．7个

C．6个

D．5个

ab

【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形． 解：如图：

故选：B．

二、填空题[共6小题，每小题3分，共18分） 11．当x为 2 时，分式

的值为0．

【分析】根据题意知，分子3x﹣6＝0且分母x2+1≠0 解：由题意知，3x﹣6＝0，则x＝2， 当x＝2时，x2+1＝5≠0． 故x＝﹣2符合题意． 故答案是：2．

12．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形？ △ABD，△BDC，△ABC ．

【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．

解：∵∠A＝36°，∠DBC＝36°， ∴△ABD为等腰三角形，

∵∠BDC＝∠A+∠DBC＝26°+36°＝72°， 而∠C＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴△BDC为等腰三角形，

∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°， ∴∠ABC＝∠C， ∴△ABC为等腰三角形．

故答案为：△ABD，△BDC，△ABC． 13．分解因式：x2y﹣4y＝ y（x+2）（x﹣2） ．

【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解． 解：x2y﹣4y， ＝y（x2﹣4）， ＝y（x+2）（x﹣2）． 故答案为：y（x+2）（x﹣2）．

14．等腰三角形有一个角等于30度，则底边上的高和腰上的高所在直线相交形成的锐角等于 30或75 度．

【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案． 解：当底角是30°时，则它底边上的高和腰上的高所在直线的夹角是90°﹣60°＝30°；当顶角是30°时，则它底边上的高和腰上的高所在直线的夹角是90°﹣15°＝75°； 故答案为：30或75

y＝8x3+2x2﹣15x，15．2x2＝x+3，已知；计算：（

﹣

）÷

的值是 9 ．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据题意确定出x与y的值，代入计算即可求出值． 解：原式＝[

﹣

]•

＝[﹣]•

＝•

＝•

＝，

由2x2＝x+3，得到2x2﹣x﹣3＝0，即（2x﹣3）（x+1）＝0， 解得：x＝或x＝﹣1， 当x＝时， y＝8x3+2x2﹣15x ＝8×

+2×﹣15×

＝27+﹣＝27﹣18 ＝9， 此时原式＝

；

当x＝﹣1时， y＝8x3+2x2﹣15x ＝﹣8+2+15 ＝9， 故答案为：9．

16．如图，△ABC是等边三角形，点P是AB的中点，点M在CB的延长线上，点N在AC上且满足∠MPN＝120°，已知△ABC的周长为18，设t＝2AC﹣CM﹣CN，若关于x的方程

＝t的解是正数，则n的取值范围是 n＞﹣6且≠﹣4 ．

【分析】如图，过点P作PE∥BC交AC于E，由“ASA”可证△BPM≌△EPN，可得BM＝EN，可求t＝3，代入方程，可求x的值，解不等式可求解． 解：如图，过点P作PE∥BC交AC于E，

∴∠APE＝∠ABC＝60°，∠AEP＝∠ACB＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴AP＝AE＝PE， ∵点P是AB的中点， ∴AP＝PB， ∴PE＝BP，

∵∠ABC＝∠APE＝∠AEP＝60°， ∴∠MBP＝∠BPE＝∠PEN＝120°， ∴∠MPN＝∠BPE，

∴∠MPB＝∠EPN，且BP＝PE，∠MBP＝∠PEN， ∴△BPM≌△EPN（ASA） ∴BM＝EN，

∵△ABC的周长为18，

∴AB＝AC＝BC＝6，AP＝AE＝BP＝3， ∴CE＝3，

∵t＝2AC﹣CM﹣CN，

∴t＝12﹣BC﹣BM﹣CN＝12﹣6﹣EN﹣CN＝6﹣CE＝3， ∵关于x的方程

＝3的解是正数，

∴x＝n+6＞0，且x≠2， ∴n＞﹣6且≠﹣4； 故答案为：n＞﹣6且≠﹣4． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．按要求完成下列各题

（1）计算：（2y）2•（﹣xy2）

（2）分解因式：ax2+2a2x+a3

【分析】（1）先算积的乘方、再根据单项式乘单项式法则计算即可得到结果； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 解：（1）（2y）2•（﹣xy2） ＝4y2•（﹣xy2） ＝﹣4xy4； （2）ax2+2a2x+a3 ＝a（x2+2ax+a2） ＝a（x+a）2．

18．如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．

【分析】要证∠B＝∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出． 【解答】证明：在△ABE与△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠B＝∠C． 19．解方程：

﹣

＝0

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解：去分母得：5x﹣5﹣x﹣1＝0， 解得：x＝，

经检验x＝是分式方程的解．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点B，若AB＝2，求PE的长．

【分析】设CE＝x，则PE＝2x，PC＝AP＝x，根据直角三角形30度角的性质得BC

＝1，根据勾股定理得AC的长，列方程可得结论． 解：∵∠BAC＝30°，AD＝PD， ∴∠A＝∠APD＝∠CPE＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠PCE＝90°， ∴PE＝2CE，

设CE＝x，则PE＝2x，PC＝AP＝Rt△ABC中，AB＝2， ∴BC＝1， ∴AC＝∴2

x＝

， ，

x，

x＝， ∴PE＝2x＝1． 21．先化简，再求值． （a﹣b+

）（a+b﹣

）÷（a﹣b），其中a，b满足a2+b2﹣a+b+

＝0．

【分析】根据分式的额加减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a2+b2﹣a+b+＝0，求出a、b的值，再代入化简后的式子即可解答本题． 解：（a﹣b+

）（a+b﹣

）÷（a﹣b）

、＝＝＝a+b， ∵a2+b2﹣a+b+

•

•

•

•

＝0，

∴（a﹣）2+（b+）2＝0， ∴a﹣＝0，b+＝0， 解得，a＝，b＝﹣， ∴原式＝

（﹣）＝．

22．已知：等边△ABC中．

（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求

的值；

（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．

（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求

的值．

【分析】（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出BM＝2BN，AB＝2BM，设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，可求出答案；

（2）如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，根据AAS可证明△MGC≌△NBM，得出MG＝BN，则结论得证；

（3）如图3，过点P作PM∥CBC交AB于点M，根据AAS可证明△PCF≌△PME，得出CF＝ME，得出BF﹣BE＝解：（1）∵△ABC为等边三角形，

，则答案可求出．

∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，

∵点M是BC的中点，

∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°， ∵∠AMN＝60°， ∴∠BMN＝30°， ∴BM＝2BN，AB＝2BM， 设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x， ∴AN＝3x， ∴

；

（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，

∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°， ∴△AMG为等边三角形， ∴AM＝AG， ∴BM＝CG，

∵∠AGM＝∠ABC＝60°， ∴∠MGC＝∠NBM＝120°， ∵MG∥BC， ∴∠GMC＝∠MCB， ∵∠MNB＝∠MCB，

∴∠GMC＝∠MNB， ∴△MGC≌△NBM（AAS）， ∴MG＝BN，

∵△AMG为等边三角形， ∴AM＝MG， ∴AM＝BN；

（3）如图3，过点P作PM∥CBC交AB于点M，

∴△AMP为等边三角形， ∴AP＝MP，∠AMP＝60°， ∵P为AC的中点， ∴AP＝PC， ∴MP＝PC， ∵∠ACB＝60°，

∴∠EMP＝∠PCF＝120°， ∵∠AEP＝∠PFC，

∴△PCF≌△PME（AAS）， ∴CF＝ME，

∴BF﹣BE＝BC+CF﹣ME+MB， 又∵P为AC的中点，MP∥BC， ∴MB＝

，

，

∴BF﹣BE＝BC+BC＝∴

．

A，23．网购是现在人们常用的购物方式，通常网购的商品为防止损坏会采用盒子进行包装，

B均是容积为V立方分米无盖的长方体盒子（如图）．

（1）图中A盒子底面是正方形，B盒子底面是长方形，A盒子比B盒子高6分米，A和B两个盒子都选用相同的材料制作成侧面和底面，制作底面的材料1.5元/平方分米，其中B盒子底面制作费用是A盒子底面制作费用的3倍，当V＝576立方分米时，求B盒子的高．（温馨提示：要求用列分式方程求解）

（2）在（1）的条件下，已知A盒子侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米，求制作一个A盒子的制作费用是多少元？

（3）设a的值为（2）中所求的一个A盒子的制作费用，请分解因式：x2﹣31x+a＝ （x﹣16）（x﹣15） ．

【分析】（1）先以“B盒子底面的制作费用是A盒子底面制作费用的3倍”为等量关系列出分式方程，再解方程并检验，最后回答即可．

（2）先分别求出A盒子的底面积和四个侧面积，再求出各个面的制作费用之和即可． （3）先由（2）写出多项式，再用十字相乘法因式分解即可． 解：（1）设B盒子的高为h分米，由题意得：解得：h＝3

经检验，h＝3是原分式方程的解． 答：B盒子的高为3分米． （2）∵B盒子的高为3分米 ∴A盒子的高为：3+6＝9（分米） ∴A盒子的底面积为：∴A盒子的底边长为：

＝（平方米） ＝8（分米）

×1.5＝

×1.5×3

∴A盒子的侧面积为：4×8×9＝288（平方分米）

∵制作底面的材料1.5元/平方分米，侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米 ∴一个A盒子的制作费用是：×1.5+288×0.5＝240（元）

答：制作一个A盒子的制作费用是240元． （3）∵由（2）得a＝240 ∴x2﹣31x+a＝x2﹣31x+240 ＝（x﹣16）（x﹣15）

故答案为：（x﹣16）（x﹣15）．

24．已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，A（x，0），其中x是方程﹣

＝

的解．

（1）求点A的坐标；

（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边△ACD，连DB并延长交y轴于点E，求∠BEO的度数；

（3）如图2，若点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连FB，以为边在第一象限内作等边△FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，GH﹣AF的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．

【分析】（1）先求出方程的解为x＝3，即可求解；

（2）由“SAS”可证△CAO≌△DAB，可得∠DBA＝∠COA＝90°，由四边形内角和定理可求解；

（3）由“SAS”可证△ABG≌△OBF可得OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，可求∠OAH＝60°，可得AH＝6，即可求解． 解：（1）∵x是方程﹣解得x＝3

检验当x＝3时，6x﹣2≠0， ∴x＝3是原方程的解，

＝

的解．

∴点A（3，0）；

（2）∵△ACD，△ABO是等边三角形， ∴AO＝AB，AD＝AC，∠BAO＝∠CAD＝60°， ∴∠CAO＝∠BAD，且AO＝AB，AD＝AC， ∴△CAO≌△DAB（SAS） ∴∠DBA＝∠COA＝90°， ∴∠ABE＝90°，

∵∠AOE+∠ABE+∠OAB+∠BEO＝360°， ∴∠BEO＝120°；

（3）GH﹣AF的值是定值，

理由如下：∵△ABC，△BFG是等边三角形，

∴BO＝AB＝AO＝3，FB＝BG，∠BOA＝∠ABO＝∠FBG＝60°， ∴∠OBF＝∠ABG，且OB＝AB，BF＝BG， ∴△ABG≌△OBF（SAS）

∴OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°， ∴AG＝OF＝OA+AF＝3+AF， ∵∠OAH＝180°﹣∠OAB﹣∠BAG， ∴∠OAH＝60°，且∠AOH＝90°，OA＝3， ∴AH＝6，

∴GH﹣AF＝AH+AG﹣AF＝6+3+AF﹣AF＝9．