加权费马点

费马点问题 费马点问题(Fermat problem)是著名的几何极值问题。费马(Fermat)曾提出一问题征解： “已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和为极小。” 它的答案是： 当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（△ABC 三条边的张角都等于120°，即满足∠APB =∠BPC =∠CPA = 120°的点 P）； 当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点。 在费马问题中所求的点被称为“费马点”。 费马点问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是纯几何解法。 几何方法解决费马点问题，其思想是把问题中的三条线段 PA、PB、 PC“加”在一起或者说拼接在一起，最好是把它们拼接成连接两个定点的一条折线。 因为两点之间线段最短，就能很快地确定 PA + PB + PC 的最小值。利用旋转变换能成功地把费马问题中的三条线段以一种非常自然的方式“加到一起”。 只要把△BPC绕点B旋转60°得到△B P'C'（如上图所示），设点P转到了点P'，点C转到了点C'，于是就有PC = P'C'， PB = PP' （因为 △PBP' 是等边三角形） 因此就有PA + PB + PC = PA + PP' + P'C'，上式的右边是连接点A和点C'的一段折线的距离，它一定大于或等于线段AC'的长度，所以我们就得到了不等式： PA + PB + PC = PA + PP' + P'C' ≥ AC' 显然，如果上面的不等式能取到等号，那么这时候的点P就是到点 A、 B、 C 距离之和最小的点，即所求的“费马点”。 如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们则把这类问题称为“加权费马点”问题，解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。 1

【类型一 单系数类】

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特殊角度，一种是旋转放缩。我们先看例题：

按照以上两种思路，还有其他旋转方法，请大家自己尝试。

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【类型二 多系数类】

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。经过尝试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？总结以下方法：

①将最小系数提到括号外；

②中间大小的系数确定放缩比例；

③最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。

【例1】中最小系数是1，就不用提了，后面的步骤按照上述方法去做即可。

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备注：

1. 费马点问题最早是由法国数学家费马在一封写给意大利数学家托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，因此这个点也称为托里拆利点。这一问题的解决极大推动了数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

2. 在三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于费马点。优化作法仅作—个等边三角形，用一个圆和-—条直线来确定费马。如图的圆(等边三角形A'BC的外接圆)与AA'的交点P就是所要求的点 。

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