第40卷 第3期2019年06月
大连大学学报
Vol.40 No.3
JOURNAL OF DALIAN UNIVERSITYJun. 2019关于丢番图方程
佟瑞洲
（朝阳师范高等专科学校，辽宁 朝阳 122000）
摘 要：利用初等方法给出了丢番图方程者关于
的结果。
当为奇素数时的全部正整数解，从而拓展了Mordell等学
关键词：丢番图方程；正整数解；两两互素。
中图分类号：O156.7 文献标识码：A 文章编号：1008-2395(2019)03-0006-04收稿日期：2019-04-11
作者简介：佟瑞洲（1962-），男，教授，研究方向：丢番图方程研究。
在文献[1~9]中，Mordell等学者对于丢番图方程
=程
的正整数解问题，获得了方程（1）的全部正整数解，例如程（1）有正整数解
定理：如果全部正整数解为：
（I）（II）
。其中
，且
。
， （1）
（为偶数）时
时方，……。
进行了大量研究，本文研究了时的情形，即研究了丢番图方
其中，（IV）。，
其中，（III）、（IV）中义相同。
。。从而拓展了Mordell等人的结果。我们有如下结果：
为奇素数，方程（1）的
；
与下面引理2意
为证上述定理，先述如下引理：引理1[10] 设无平方因数，则当丢番图方程
的所有正的本原解必可表为:
（i）
（ii）其中：
, , 时，
这里；若则。若则
。
。
两两互素且均为正整数。（III），。
第3期佟瑞洲：关于丢番图方程7引理2[11]
，
，，则。引理3 丢番图方程
（2）
的全部正整数解为：（i），，
。，。（ii），，
。。其中意义相同。证明 若，矛盾。若
方程（2）化为：
由引理1得上述方程的全部正整数解为：
（3）
或者 （4） (i)
故 。于是
，由，可以推出，故，由知
。。(ii)
因故
，
，且。由(i)同理可知
，故，。定理的证明：因
，
为奇素数，
，
令，（I）若
，则
，即方程（1）
有正整数解
。
（II）若，由方程（1）可化为
由引理1，上述方程的全部正整数解为：
（5）
由（5）中二式、三式有
（6） （i）若故，由引理1得
（6）的全部解为： （7）
由（5）中一式取模4得：
，令则。
代入前式得：
，
。
由引理1得：
（8）
由（7）、（8）中二式有
（9）
令，则由
（9）式有：
两两互素且均为正整数
（10）
把（7）中一式、（8）中二式代入（8）中
三式得：
由（10）式有：
（11）
由上式得
，令
，则8
大连大即，且满足
。
如果，则。否则，若
，由（10）试
知，由（11）式，与
矛盾。如果
，则
。否则，若，由（10）试知，由（11）式矛盾；若，，由（11）式
，即
，
由
知
，矛盾。此时方程（1）有正整数解
。（ii）若
故，由引理1
得（6）的全部解为：
（12）
（A）由（5）中一式，若
，则。令
，代入前式得：
因
，由引理1得：
（13）
把（12）中一式，（13）中二式代入（13）
中三式得：，由此知
，
矛盾。
（B） 由（5）中一式若
，此时
，令
，则。代入前式得：
，由引理
3得： （14）
学学报第40卷
或
(15)
其中。
把（12）中一式、（14）中三式代入（14）
中二式有：即
，此时方程 （1）有正整数解
把（12）中一式、（15）中三式代入（15）中二式有：
即 若由，则，矛盾。故。, 此时
方程（1）有正整数解 。例1：
时，方程（1）有正整数解，
，……。
解：由定理（I）知
，由定理（III），
因
取“+”， ，于是第3期佟瑞洲：关于丢番图方程92009, 36(2): 170-172.
。
等等。
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Study on Solutions of Diophantine Equation
TONG Rui-zhou
(Chaoyang Teachers College, Chaoyang 122000, China)
Abstract: When p,q is odd prime in the equation of Diophantine which is
studied by Mordell etc. are expanded
, all positive integer solutions to the equation of are solved by the elementary methods. Thus, the solutions of equation
Key words: diophantine equation; positive integer solution; prime to each other
