考研数学知识点总结归纳

考研数学考点与题型归类分析总结

1高数部分

1.1 高数第一章《函数、极限、连续》

求极限题最常用的解题方向： 1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则 0型和型直接用洛必达法则 0 0、0、1型先转化为0型或型，再使用洛比达法则； 0xx1、lim(1x)xe、lim(113.利用重要极限，包括lim)e； xx0sinxx0x14.夹逼定理。 1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第三章《不定积分》提醒：不定积分f(x)dxF(x)C中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章： 对于 对于

f(x)dx的结果可以写f(x)dxF(x)C中的那个C,漏掉了C也就

aaf(x)dx型定积分，若f(x)是奇函数则有f(x)dx=0；

aa

2 若f(x)为偶函数则有

aaf(x)dx=2f(x)dx；

0a0f(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用tx的代换是常用方法。

2

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所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质奇函数0、偶函数2偶函数。在处理完积分上下限的

aa0aaa问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。

1.3 高数第五章《中值定理的证明技巧》

用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式AE、(AB)C、(CDE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。 为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。 正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB)M等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(AB)M，因为其中涉及了题目所给的3个条件中的2个，但这恰恰走不通；2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(AB)C，如果不知道或弄错则一定无法得出结论。反方向入手证明时也会遇到同样的问题。 通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。 so，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。

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“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(CDE)F再倒推想到(AB)C、AE就可以证明了。

如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型： 条件 欲证结论 可用定理 介值定理（结论部分为：存在一个使得存在一个满足某个式子 关于闭区间上的连续函A 数，常常是只有连续性已知 f()k） 零值定理（结论部分为：存在一个使得f()0） B 存在一个满费马定理（结论部分为：足f(n)()0 f(x0)0） f( )0）罗尔定理（结论部分为：存在一个使得拉格朗日中值定理（结论部分为：存在一个使得条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导 存在一个满足f(n)()f()k f(b)f(a)ba） C 柯西中值定理（结论部分为：存在一个使得f()g()f(b)f(a)g(b)g(a)） 另还常用构造辅助函数法，转化为费马或罗尔定理。 面对这一部分的题目时，如果把欲证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处——so要“牢记定理的结论部分”。

综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能”。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明欢迎共阅

题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。

1.4 高数第六章《常微分方程》

历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。 解题套路：“辨明类型→套用对应方法求解” 先讨论一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型的方法最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为f(x)dx=f(y)dy的形式，再积分得到答案。 对于可分离变量型方程f1(x)g1(y)dxf2(x)g2(y)dy0 yyf()齐次方程x 变形为f1(x)dx=-g2(y)dy，再积分求解 f2(x)g1(y)做变量替换uyx，则y化为uxdu dx原方程就化为关于u和x的可分离变量方程，变形积分即可解 对于一阶线性方程yCepxdx（epxdxqxdx+C） yp(x)yq(x) 全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy 因为其有条件xx0MyNx，而且解题时直接套用通解公式M(x,y0)dxyy0N(x,y)dyC. 所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。

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对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于y知函数Z，则

(n)f(x)型方程，就是先把y(n1)当作未

(n2)y(n)Z原方程就化为dzf(x)dx的一阶方程形式，积分即得；再对y、

y(n3)依次做上述处理即可求解；

yf(x,y)叫不显含y的二阶方程，解法是通过变量替换yp、yp(p为x的函数)

将原方程化为一阶方程；yf(y,y)叫不显含x的二阶方程，变量替换也是令yp（但此中的p为y的函数），则ydpdydydxpdpdypp，也可化为一阶形式。 yx所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换程yp(x)yq(x)yn就用变量替换zy方程就用变量替换1nu”，“求解贝努利方”一样，在这里也要记住“求解不显含y的二阶yp、yp”、“求解不显含x的二阶方程就用变量替换yp、

ypp”。 大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆： 若y1(x)、y2(x)是齐次方程若齐次方程组Ax=0的基础解系有(n-r)个线性无关的解向量，则齐次方程组的通解为yp(x)yq(x)y0的两个线性无关的特解，则该齐次方程的通解为xk1y1k2y2knrynr (x)c1y1(x)c2y2(x) 非齐次方程yp(x)yq(x)yf(x)的通解为yc1y1(x)c2y2(x)y1(x)，其中非齐次方程组Ax=b的一个通解等于Ax=b的一个特解与其导出组齐次方程Ax=0的通解之和 y1(x)是非齐次方程的一个特解，c1y1(x)c2y2(x)是对应齐次方程yp(x)yq(x)y0的通解 若非齐次方程有两个特解应齐次方程的一个解为y1(x)y2(x)，则对若1、r2是方程组Ax=b的两个特解，则(1-r2)是其对应齐次方程组Ax=0的解 rr欢迎共阅 y(x)y1(x)y2(x) 可以说本章难就难在记忆量大上。

1.5 高数第七章《一元微积分的应用》

本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分f(t)dt单

ax独分离到方程的一端形成“f(t)dt＝∽”的形式，在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对ax应解法求解。 对于导数应用，有以下一些小知识点： 1. 利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断，判定极、最值时则须注意以下两点： A.极值的定义是：对于x0的邻域内异于x0的任一点都有f(x)＞f(x0)或f(x)＜f(x0),注意是＞或＜而不是≥或≤；B.极值点包括图1、图2两种可能， 所以只有在f(x)在x0处可导且在x0处取极值时才有f(x)0。 讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零点定理（结论部分为f()0）、罗尔定理（结论部分为f()0）；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。 2. 理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件： A.若函数f(x)在区间I上的f(x)0，则f(x)在I上是凸的； 若f(x)在I上的f(x)0，则f(x)在I上是凹的；

B.若f(x)在点x0处有f(x)0且f(x0)0，则当f(x0)0时f(x0)为极大值，当f(x0)0时f(x0)为极小值。

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其中，A是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，f(x)是f(x)的变化率，f(x)是

f(x)的变化率。f(x)0可以说明函数是增函数；f(x)0可以说明函数f(x)的变化率在区间I

上是递减的，包括以下两种可能： 同样，f(x)0也只有两种对应图像：

所以，当f(x)0时，对应 当f(x)0时，对应或的函数图像，是凸的；

或的函数图像，是凹的。 相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了“f(x)0且

f(x0)0”，这从图像上也很容易理解：满足f(x)0的图像必是凸的，即或，

当f(x)0且f(x0)0时不就一定是的情况吗。 对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。 关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格： 求平面图形面积 求旋转体体积（可用微元法也可用公式） 绕x轴旋转体的体积Vxa绕bf2(x)dx， by轴旋转体得体积Vy2axf(x)dx 绕x轴旋转体的体积Vx[f22(x)f1(x)]dx， b2a绕已知平行截面面积求立体体积 求平面曲线的弧 y轴旋转体得体积Vy2x[fba2(x)f1(x)]dx 欢迎共阅 长 1.6 高数第八章《无穷级数》

本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”、“级数求和函数”和“函数的幂级数展开”。其中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问出现，求和与展开则都是大题。

对于级数判敛部分，主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。其中比较判敛法有一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般形式有以下典型例子： 1.已知级数a2n收敛，判断级数|an|n2|an|n2的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式21，再应用比较法的一般形式即可判明。其实这种“知一判一”式的题目是有局限12(ann2)性的——若已知级数收敛，则所要求判敛的级数只能也是收敛的，因为只有“小于收敛级数的级数必收敛”这一条规则可用，若待判敛级数大于已知收敛级数，则结果无法判定。所以考研真题中一般只会出成选择题“已知某级数收敛，则下列级数中收敛的是（）”。 2．上一种题型是“知一判一”，下面的例子则是给出级数某些性质要求判断敛散性，方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系，再应用比较法一般形式判断。举例如下：已知单调递减数列an满足limana,a0，判断级数(an11)n的敛散性。关键步骤是：由x0n1an11a11n得到(a11)n(a1，再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般1)也不会超出“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。 幂级数求和函数与函数的幂级数展开问题是重点内容，也是每年都有的必考题。在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加注意，对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、展开”这样必出大题的知识点，更是要紧抓不放。因为这种知识点对“复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终生受益”的意思，花时间来掌握很划算。

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另外，“求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可循。这种规律是建立在对6个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此6个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样，对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部分，而且要能够区别相似公式，将出错概率降到最小。公式如下： 1.11u1uuuun（-1，1） 2nn02.11u1uuu(1)u(1)nun（-1，1） 23nnn0122133nun1n13.ln(1u)uuu(1)(1)nun1 (,) n1n04.e1uuuun!(,) u12!21n!nnn015.sinuu3!u(1)2n1(2n1)!u2n1(1)nn0u2n1(2n1)!(,) 6.cosu1uu(1)12!14!24n1(2n)!u2n(1)nn0u2n(2n)!(,) 这六个公式可以分为两个部分，前3个相互关联，后3个相互关联。 2n1式是第一部分式子的基础。1uuu不就是一个无穷等比数列吗，在|u|1时

1的求和公式s1u正是函数展开式的左端。所以这个式子最好记，以此为出发点看式子2：1式左

端是1u，2式左端是1u；1式右端是un，2式右端也仅仅是变成了交错级数(1)nun,故可以

n011n0通过这种比较来记忆式子2；对于3式来说，公式左端的ln(1u)与2式左端的1u存在着关系“[ln(1u)]11u1n”，故由1u的展开式可以推导出ln(1u)的展开式为(1)n0un1n11。这三个式子中

的u(1,1)，相互之间存在着上述的清晰联系。

后3个式子的u(,)，相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似性。这一部分的基本式是公式4：eun0unn!与之相比，sinu的展开式是(1)nn0u2n1(2n1)!，cosu的展开式

欢迎共阅 是(1)nn0u2n(2n)!。一个可看成是将e展开式中的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将e展

uu开式中的偶数项变成交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此处恰好都是比较顺的搭配：sinu、cosu习惯上说“正余弦”，先正后余；而sinu的展开式对应的是奇数项，cosu的展开式对应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。

在已知幂级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分(前3式)的展开式都不带阶乘，其中只有1u的展开式不是交错级数；第二部分（后3式）的展开式都带阶乘，其中只有e的展开式不是交错级数。由题目给出的幂级数的形式就可以看个不离十了，比如给出的幂级数带阶乘而不是交错级数，则应该用公式4，因为幂级数的变形变不掉阶乘和u1(1)n；若题目给出的幂级数不带阶乘而且是交错级数，则必从2、3两式中选择公式，其它情况也类似。 对于函数的幂级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相对来说更为简单。在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂级数展开）、四则运算（用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）。

对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幂级数法，即利用变换anlimanxn求得幂级x1n0n0数anxn的和函数s(x)以后代入极限式即可。其中的关键步骤是选择适当的xn，一般情况下如果n0n、(2n1)这样的项在分子中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的xn应为x()1的形式，x(2n1)1，如x(n)1、以方便先积分；若题目有1(2n1)、(3n1)这样的项，则xn应为x()的形式，如x(2n1)、1x(3n1)，便于先求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。

1.7 高数第十章《多元函数微分学》

复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。 极限 二元函数的极限要求点二元函数 相似 不同 一元函数 一元函数的极限与路径无关， (x,y)以任何方向、任何路径趋向P(x0,y0)时均有欢迎共阅 f(x,y)A（xx0、不相等，则可断定yy0xx0yy0xx0limf(x,y)由等价式limf(x)Axx0即可判断。 ）。如果沿不同路径的yy0f(x0)f(x0)Alimf(x,y)不存在。 二元函数z连续性 xx0f(x,y)在点P(x0,y0)处连续性判断条件为：存在且等于一元函数相似 件为yf(x)在点x0处连续性判断条limf(x,y)f(x0,y0) xx0limf(x)且等于f(x0) yf(x)的导数定义：yy0（偏）导数 二元函数zf(x,y)的偏导数定义：f(x0x,y0)f(x0,y0) zlimlimx0xx0x一元函数相似 x0limf(x0x)f(x0) ylimxx0x分段函数在分界点处求偏导数要用偏导数的定义 分段函数在分界点处求导数需要用导数定义 简化定义为：对于函数zf(x,y)，若其在点P(x0,y0)处的增量z简化定义为：若函数量y可表示为yyf(x)在点x处的增Axd，其中d是可表示为全微分 zAxByo()，其中o()为的高阶无相似 穷小，则函数f(x,y)在P(x0,y0)处可微，全微分为AxBy，zxx的高阶无穷小，则函数在该点可微，即dyAx，一般有dyf(x)dx 连续可导 不同 可微 一般有可微、可导、连续 可微 dzdxzydy 连续可导 一元函数没有“全导数”这个概念，但是左边多元设全导数 则zf(u,v,w)，ug(t)，vh(t)，wk(t)且都可导，函数的全导数其实可以从“一元复合函数”的角度不同 理解。一元复合函数是指yf(u)、ug(x)时z对t的全导数dzfdtdufdvfdw udtvdtwdt有dydydu。与左边的多元函数全导数公式比较dxdudx就可以将二式统一起来。 复合函数微分法 求由方程F(x,可用公式：y,z)0确定的隐含数ZZ(x,y)的偏导数，链式求导 相似 一元复合函数求导公式如上格所示，与多元复合函数求导公式相似，只需分清式子中dz与z的不dx同即可 x不仅“形似”，一元复合函数、参数方程微分法 对一元隐函数求导常采用两种方法： 1.公式dy隐函数微分法 F(x,y,z) F(x,y,z)，zzyxxFz(x,y,z)yFz(x,y,z)对于由方程组F(x,y,z)0确定的隐含数G(x,y,z)0yy(x)、zz(x)可套用且在相当大程度上相通 dxFx(x,y) Fy(x,y)2.将y视为x的函数，在方程两边同时对x求导 一元参数方程微分法：若有xx(t)则dyy(t) dxx(t)yy(t)方程组FxFydydzFz0 dxdxdydzGxGGz0ydxdx极值定义：函数z极值 f(x,y)在点P(x0,y0)的邻域内有定义，且对于其中f(x,y)f(x0,y0)或相似 极值定义：函数yf(x)在点x0的邻域内有定义且对于其中异于该点的任一点恒有异于P点的任一点Q(x,y)，恒有f(x,y)f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为f(x,y)的极小/大值，方程f(x)f(x0)或f(x)f(x0)，则称f(x0)欢迎共阅 组fx(x,y)0的解称为函数的驻点。 fy(x,y)0为yf(x)的极小/大值，方程f(x)0的解称为函数的驻点。 函数zf(x,y)在点P(x0,y0)的邻域内有连续二阶偏导，且满足函数2yf(x)在点x0的邻域内可导，且满足(x0,y0)]fx(x0,y0)0、fy(x0,y0)0、[fxy取极值的充分条件 若若fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，f(x)0、f(x)0，则： fx(x0,y0)0或fy(x0,y0)0则P(x0,y0)为极小值点； fx(x0,y0)0或fy(x0,y0)0则P(x0,y0)为极大值点。 相似 若f(x)0，则f(x0)为极小值； f(x)0，则f(x0)为极小值 大纲对于多元函数条件极值的要求为“会用拉格朗日乘数法求条件极值”，是一种比较简单而且程式化的方法。一元函数则无对应的内容。 若1.8 高数第十章《重积分》 大纲对于本章的要求只有两句：1.理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） 在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧 2 线性代数部分 2.1 线代这门课的特点 线性代数与高数和概率相比，特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多；但线代更重要的特点在于知识点间的联系性很强。这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。 所以我们在复习线代的策略中，有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通”。“融会”可以理解为设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”可以理解为掌握前后知识点之间的顺承关系。这样做的目的就在于——当看到题目的条件和结论、推测出其中涉及到的知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识点队列，从而大大提高解题效率、增加得分胜算。

出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的内容结合起来出题，比如在历年真题中出现频率很高的性质“齐次方程组是否有零解对应于A的列向量组是否线性相关；非齐次方程组Ax=b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示”。

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再如一个貌似考察向量组线性无关的题目，做起来以后才发现实际考的是矩阵秩或行列式的内容，题眼就在于性质“方阵A可逆|A|=0A的列向量组线性无关r(A)=n”，依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点间的联系。

2.2 线代第一章《行列式》、第二章《矩阵》

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。第一章行列式的核心内容是求行列式 具体行列式的计算 低阶 n阶 化为上下三角行列式求解 应用行列式按行\\列展开定理 行列式的定义、|A|12n、行列式的性质 抽象行列式的计算 考点不在求行列式，而在于AT、A、A1等的相关性质 第二章矩阵中的知识点很细碎，但好在每个小知识点包括的内容都不多，没有什么深度。由历年考研真题可见，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、AT、A、A1的性质、矩阵可逆的判定条件、矩阵秩的性质、某些结构特殊的矩阵和矩阵初等变换技巧等。 所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致，一些做题时用到的性质和方法结合具体的题目就题论题才有最佳的效果： 转置矩阵行列式性质 特征值性质（为矩阵A的特征值） 运算性质 秩的性质 AT 逆矩阵A1 有特征值1  伴随矩 阵A 数乘矩 阵kA、有特征值|A| 1AT、A、A三者之间有一个即好记又好用的性质 kA有特征值k，AB0则有：r(A)r(B)n aAbE有特征若A可逆则有欢迎共阅 矩阵之积AB及矩阵之和AB 2.3 线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》

值ab 同样，若B可r(AB)r(B)；逆则有r(AB)r(A) 线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核心内容，相比之下，前两章行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对，可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。

向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 a11x1a12x2a1nxnb1解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组a21x1a22x2a2nxnb2的

axaxaxbm22mnnnm11系数矩阵是m行n列的，其有两种形式，一种是矩阵形式Axb；其中A是系数矩阵a1ia11a12a1nx1b1aa,x,b；另一种是向量形式x1a1x2a2xnanb，其中i1,2n。向aa21222n22xbai2ianiam1am2amnxnbn量就这样被引入了。 先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组x1a1x2a2xnan0可以直接看出是一定有解的，因为当x1x2xn0式等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性质“0向量可由任何向量线性表示”，即当k1a1k2a2knan中的0时一定存在一组数k1,k2kn使等式成立，至少在ki全为0时可以满足。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1.有唯一零解；2.有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式x1a1x2a2xnan0中的xi只能全为0才能使等式成立，而第

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三章向量部分中判断向量组a1,a2an是否线性相关\\无关也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为：设a1,a2an为一组向量，如果存在一组不为零的数k1,k2kn使得等式

k1a1k2a2knan0成立，则称向量组a1,a2an线性相关；如果等式当且仅当

k1k2kn0时成立，则称向量组a1,a2an线性无关。故向量与线性方程组在此又产生了联

系：齐次线性方程组

Ax0是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性相关。

假如线性相关\\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的，那同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组a1,a2an组成的矩阵A有r(A)n说明向量组的极大线性无关组中有n个向量，即a1,a2an线性无关，也即等式k1a1k2a2knan0只有0解。所以，经过“秩→线性相关\\无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，由r(A)n就可以判定齐次方程组x1a1x2a2xnan0只有0解。当r(A)n时，按照齐次线性方程组解的判定法则，此时有非零解，且有n-r个线性无关的解向量。这又与另一条性质相和：如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方程组Ax0的系数矩阵是m行n列的，则方程个数小于未知量个数时有m欢迎共阅

a1,a2an线性无关，而a1,a2an,b线性相关，则向量b可由向量组a1,a2an线性表示，且表示方法唯一”。

以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间的内在联系，这样做不仅仅是为了透彻理解知识点，更是为了有效应对考试题。

线代部分的题目难就难在考点的跨度大，而我们如果仅仅掌握零散知识点，那怕对这些孤立的点掌握的再透彻，在作题时也会被题目给弄的晕头转向。 矩阵→线性方程组→向量 解→线性相关/无关→秩 三个双重定义： 1. 秩的定义 a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数 b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个数 2.线性相关\\无关的定义： a. 对于一组向量a1,a2an，若存在不全为零的数k1,k2kn使得k1a1k2a2knan0成立，则相量组线性相关，否则向量组线性无关，即上述等式当且仅当ki全为0时才成立。 b. 向量组a1,a2an线性相关向量组中至少存在一个向量可由其余n-1个向量线性表出；

线性无关向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。

2. 线性方程组的两种形式：

a. 矩阵形式：Axb

b. 向量形式：x1a1x2a2xnanb

两条性质：

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1.对于方阵Ann有：方阵A可逆存在方阵B使得ABBAE|A|0A的行\\列向量组均线性无关r(A)nAxb可由克拉默法则判断有唯一解，而Ax0仅有零解。 对一般矩阵Amn则有：r(A)nA的列向量组线性无关Ax0仅有零解，Axb有唯一解。

2.齐次线性方程组Ax0是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组Axb是否有解对应于b是否可以由A的列向量组线性表出。 以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁： 行列式线性相关线性方程组

性质1中的“|A|≠0A的列向量组线秩 性质性质1中的“r(A)=nA的列向量组线性无另外，线性代数部分在考试时会经常直接考一些“虽不要求掌握、但却可以用要求掌握的一些定理推论推导出来”的性质和结论，所以有必要扩大一些知识面，说不定在考试时就会有意外收获： 1. 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。如果向量组a1,a2am可由向量组1,2n线性表示，则有r(a1,a2am)r(1,2n)。 等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量； 任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。 2. 100常见的线性无关组：齐次方程组的一个基础解系；0、1、0这样的单位向量组；不100同特征值对应的特征向量。 3.

关于秩的一些结论：

r(Amn)min{m,n}；

r(A)1r(A)n1；

r(AT)r(A)r(ATA)；

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r(AB)min{r(A),r(B)}；

r(AB)r(A)r(B)； 若有Amn、Bns满足AB0，则r(A)r(B)n；

若A是可逆矩阵则有r(AB)r(B)；同样若B可逆则有r(AB)r(A)。

非齐次线性方程组Axb有唯一解则对应齐次方程组Ax0仅有零解，若Axb有无穷多解则

Ax0有非零解；若Axb有两个不同的解则Ax0有非零解； 若A是mn矩阵而r(A)m则Axb一定有解，而且当mn时是唯一解，当mn时是无穷多解，而若r(A)n则Axb没有解或有唯一解。 2.4 线代第五章《特征值和特征向量》 相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点，历年考研真题都有相关题目，而且最有可能是综合性的大题。 特征值和特征向量之所以会得到如此青睐，大概是因为解决相关题目要用到线代中的大量内容——即有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”；着重考察这样的知识点，在保证了考察面广的同时又有较大的出题灵活性。本章知识要点如下： 1.特征值和特征向量的定义及计算方法。 记牢一系列公式如Axx(x0)、xAx0、(EA)x0和|EA|0。 历年真题中常用到下列性质：若n阶矩阵A有n个特征值12n，则有|A|12n；

若矩阵A有特征值，则kA、A2、aAbE、f(A)、A1、A分别有特征值k、2、ab、f()、1、|A|，且对应特征向量等于所对应的特征向量，而若1、2分别为矩阵A、B的特征

值，则12不一定为AB的特征值。 2.相似矩阵及其性质。定义式为BP1AP，需要区分矩阵的相似、等价与合同：

矩阵A与矩阵B等价（AB）的定义式是PAQB，其中P、Q为可逆矩阵，此时矩阵A可通过初等变换化为矩阵B，并有r(A)r(B)；

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当PAQB中的P、Q互逆时就变成了矩阵相似（AB）的定义式，即有BP1AP，此时满足

r(A)r(B)、|A||B|、|EA||EB|，并且A、B有相同的特征值。

矩阵合同的定义是PTAPB，其中P为可逆矩阵。

由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若A与B合同或相似则A与B必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。

3.矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两个充分条件。 充要条件:n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量A的任意k重特征根对应有k个线性无关的特征向量； 充分条件:1是A有n个互不相同的特征值；充分条件2是A为实对称矩阵。 4.实对称矩阵极其相似对角化。 n阶实对称矩阵A必可正交、相似于对角阵，即有正交阵P使得P1APPTAP而且正交阵P由A对应的几个正交的特征向量组成。 其实本章的内容从中也可以找到类似于第三章向量与第四章线性方程组之间的那种前后印证、相互推导的关系：以求方阵的幂Ak作为思路的起点，直接乘来求Ak比较困难，但如果有矩阵P使得Ak111k1满足P1AP（对角阵）的话就简单多了，因为此时APPPPPPPP，a而对角阵b的幂ckak就等于bkk代如上式即得Akc。而矩阵相似对角化的定义式正是P1AP。所以可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂，引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且P1AP中的P、也分别是由A的特征向量和特征值决定的。

求An→相似对角化→特征值和特征向量

2.5 线代第六章《二次型》

本章内容较少，大纲要求包括掌握二次型及其矩阵表示和掌握用正交变换化二次型为标准型的方法。

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在理年真题中本章知识点出现次数不多，但也考过大题。本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵P使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在A为实对称矩阵时的应用。

将本章与上一章中相似对角化部分的内容作比较会有助于理解记忆“化二次型为标准型”的步

骤及避免前后混淆，但因为大纲对本章要求不高，所以不必深究。 3

概率部分 3.1 概率这门课的特点 概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。 对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。 记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难拿到了。

3.2 概率第一章《随机事件和概率》 本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如P(AB)P(AB)、P(B|A)P(B|A)、P(ABC)这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能考到。 在“概率事件的关系及运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题。 区别互斥、互逆、对立与不相容：事件A与事件B互斥也叫A与B不相容，即AB，事件A与事件B对立就是A与B互逆，即为A与A的关系。

公式组P(AB)P(A)P(AB)(1)P(AB)P(A)P(B|A)(2)P(AB)P(A)P(B)(A,B相互)(3)在历年考研真题中频繁用到，很多题利用这三个公式间的相互转化关系很容易求得答案。

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当A、B相互时，也就是指事件A与事件B的发生互不影响，此时应该有P(B|A)P(B)、

P(A|B)P(A)所以P(AB)P(A)P(B|A)P(A)P(B)由（2）式即可得出（3）式。

3.3 第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》、第四章《大数定律和中心极限定理》

对于这一部分的复习可说的东西不多，因为在考试中出现的概率题目其实有相当大一部分难度是被解题所用的繁杂公式“分走”了。所以对于概率部分的复习，有两个步骤即可：首先是牢记公式，然后是把题做熟,在练习过程中透彻理解概念公式和性质定理。 对于第二章的大表格也可以利用各部分之间的联系来对照复习，比如说二维分布的性质基本上与一维分布的性质一一对应（类似于二重积分和定积分性质之间的关系），二维边缘分布的内容与一维分布本质上也是相通的，离散型和连续型分布的各知识点也可互相对比、区别记忆。也就是“一维和二维相联系、离散和连续相对比、随机变量分布和随机变量函数的分布相区别”。 同时对于重要分布如二项、泊松、正态、均匀、指数分布必需记得非常牢，因为考试时会直接拿这些分布做题干来考察各章知识点，万一出现“由于题干中的分布函数不会写或写错而导致整道大题知道怎么做也没法做”的情况将是非常可惜的。 本章的一维连续分布和二维离散分布在历年真题中出现频率最高，最常考分布是均匀、指数和正态分布。对于一维连续型分布的性质可借助图像理解F(x)b因为分布函数(x)dxP{Xx}，所以P{Xx}P{axb}分别可用图中的阴影部分表示，容易看出多x2条性质，包括(x)dx1、P(x1xx2)(x)dxF(x2)F(x1)等；而且在具体做题时用图像辅x1助理解也很有效，比如频繁在真题中出现的正态分布，作图辅助解题的效果更为明显。

第三章《随机变量的数字特征》也用表格说话的，同样需要认真记好。本章在历年真题中最常出现的题目考察点是几个重点公式，尤其是式子D(X)E(XE(X))2E(X2)E2(X)，大\\小题都可能利用这一式子的左端或右端出题而以另一端设置答案。还有数学期望EX与方差DX的定义及性质也是考察重点，可由下表对比记忆：

欢迎共阅 数学期望EX 方差DX EXx(x)dx x（连续型） 若X、Y相互，则有D(X Y)D(X)D(Y)、D(XY)D(X)D(Y)（真题不止一次利用这个点作陷阱） 若X、Y相互，则有DX无对应性质 E(XY)E(X)E(Y) 若X、Y相互则同时具有以下4条性质： 1.E(XY)E(X)E(Y)2.D(XY)D(X)D(Y)3.(x,y)04.cov(x,y)0 本章所有的大数定理都是指在同分布且存在数学期望的条件下若干随机变量的平均值依1P概率收敛到均值的期望，即1XiE(Xi)。因为Xi同分布，所以有E(Xi)，故有ni1nnni1n1n1公式右侧E(Xi)nE(X)，应有limP(1Xi)1，即为辛钦大数定律；若用Yn表

nni1nni1示在n重伯努利试验中事件YA的发生次数则可得到伯努利大数定律limP(nP)1。 nn3.4 概率第五章《数理统计的基本概念》、第六章《参数估计》、第七章《假设检验》 数理统计部分在考研数学试卷中占有概率部分1/3的分值，这一部分考点较少，参数估计最为重要，其次是样本与抽样分布，假设检验部分则很少考到。 对于参数估计部分，需要记清楚据估计和极大似然估计各自的步骤，然后通过足量做题来熟练掌握；对于样本与抽样分布，重要的是2分布、t分布和F分布各自的条件和结式，在历年真题中考察过；

概率这门课的全称是概率论和数理统计，数理统计是对概率论的实际应用，而概率论则充当了理论基础的角色。数理统计中的统计量如样本均值、样本方差等的概念性质都能在概率论中找到出发点。其实，数理统计就是一个先对随机变量做实际观测得到一系列具体数据，再利用“样本与抽样分布”部分的公式归纳出样本均值、方差等统计量，在此基础上利用参数估计等方法推断出随

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机变量整体分布和数学特征的过程。参数估计中的矩估计法就是令总体矩与样本矩相等，建立等式以求出总体矩；极大似然估计中的似然函数L()就是指样本(X1,X2,Xn)取观察值(x1,x2,xn)的概率P(X1x1,X2x2,Xnxn)，自然应等于

f(x,)ii1n，其值越大就说明越有利于使者组样本值出

现，故极大似然估计法要求求出使L()取最大值的作为参数的估计量。 考纲要求的重难点:

1、在微积分部分。主要是:微积分各项基本概念的背景、转换和延伸；基本运算，包括极限运算、导数、偏导数的运算，积分、二重积分的运算，以及数三要求的级数、微分、差分方程的运算，常见的题型，应注意防范的错误；常见经济函数的结构，经济应用的基本题型，优化问题及变形，边际和弹性的概念及相关问题，供求平衡及价格变化模型等；微分中值定理中关于中值存在性的证明一个中值ξ、两个中值ξ，η、和两个不等中值ξ，η；导数的应用，包括函数性质的讨论、等式与不等式的证明、方程有几个解的讨论、最值的讨论等；几何应用，平面图形的面积、旋转体体积以及引出的综合问题。 2、线性代数部分。主要有:矩阵、矩阵方程的运算，化简和求解，矩阵与行列式相互关系的转换，利用矩阵计算行列式等；向量组线性相关性的判别和证明，常见的形式包括，利用线性方程组的解的状况推断，利用矩阵条件推断，利用方程组解的条件推断，利用向量组之间关系推断，矩阵的秩的计算；线性方程组解的讨论，尤其有关两个线性方程组有公共解、同解、一个方程组的解是另一方程组的解的讨论，矩阵的特征值与特征向量，包括:矩阵定未知常数，矩阵对角化的讨论，求解可逆阵P，使PAP为对角阵，及实对称矩阵性质等；一些特殊矩阵相关的题型，如A，由两个向量构造的方阵A=αβ，初等矩阵，AB=O等。

3、概率论与数理统计部分。主要是:重要随机事件关系的概念及利用集合运算描述随机事件；随机变量的分布，离散型随机变量概率函数的运算、分布列和联合分布的生成和结构、以及在此基础上的随机变量函数的分布，一元和二元连续型随机变量的密度函数与分布函数的关系、随机变量函数的密度函数的计算，若干同分布随机变量之和的分布及概率计算；随机变量的期望、方差、协

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方差及相关性的讨论、应用；随机事件的概率计算，尤其常见概型、是复合型随机事件的概率，正态分布随机变量的计算等；对于数三，还应有重要统计量的分布矩法和最大似然估计法等。 在进行实战模拟时，最好举一反三，不只是为做题而做题，注意知识点之间的联系。应掌握一些常用的变量替换、辅助函数的做法，来增强解题的技巧性。对于一些有代表性的题目，不仅要理解更应当牢记解题的突破口和思路。