一元一次不等式组及其应用-中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练

一元一次不等式组及其应用

◆知识讲解

1．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．

2．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．

不等式组 （其中ax15x32 例1 关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是：（ ）

2x2xa3 A．-5≤a≤-

143 B．-5≤a<-≤-

143 C．-5143 D．-5143

【分析】本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解问题．其基本思路为先解关于x的一元一次不等式组的解集，•然后确定此解集包

含着四个整数解，由这些整数解可推断字母a的取值范围，•解原不等式组，得2-3a【点拨】有的学生尽管能顺利地从已知不等式组中解出2-3a

2x32x23143．

，然后由四个选项中索取不等式组有四个整数解的条件．此思路不但行不通，而且

违背了解不等式所运用的基本性质． 例2 仔细观察图，认真阅读对话：

根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？

【分析】根据对话找到下列关系：①饼干的标价+牛奶的标价>10元；②饼干的标价<10；③饼干标价的90%+牛奶的标价=10元-0.8元，然后设未知数列不等式组． 【解答】设饼干的标价为每盒x元，牛奶的标价为每袋y元．

xy10 则0.9xy100.8x10(1)(2) (3) 由（2）得 y=9.2-0.9x （4）

把（4）代入（1）得：9.2-0.9x+x>10，解得x>8． 由（3）综合得 8把x=9代入（4）得：y=9.2-0.9×9=1.1（元） 答：一盒饼干标价9元，一袋牛奶标价1.1元．

【点拨】①解决实际问题时，注意表示不等关系的关键词，如本题中的“有多的”和“不够”；②所求的结果应符合生活实际．

例3 （2004，江西赣州）某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2•分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5•分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的兑换方案．

【分析】这是一道方案设计题，•是涉及到方程和不等式联合起来解决的综合应用题．题目中包含的相等关系有：①所有硬币的总价值是3．50元；②共有硬币150枚．•不等关系有：①2分的硬币的枚数不少于20枚；②5分的硬币要多于2分的硬币．且硬币的枚数为整数，2分的硬币的数量是4的倍数．

【解答】设兑换成1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，依据题意，得

xyz150,x2y5z350,zy,y20,(1)(2)(3)(4)

由（1），（2）得 将y代入（3），（4）得z2004z,2004z20,

解得40x73,y36,z41.x76,y32,z42.x79,y28,z43,x82,y24,z44.x85,y20, z45.（另解）：设兑换成的1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，依据题意可得

xyz150,x2y5z350,zy(1)(2) (3) ∵y是4的倍数，可设y=4k（k为自然数）， ∵y≥20，∴4k≥20，即k≥5．

将y=4k代入（1），（2）可解得z=50-k， ∵z>y，∴50-k>4k，即k<10．

∴5≤k<10，又k为自然数，∴k取5，6，7，8，9．由此得出x，y的对应值，共有5

种兑换方案：

x73, y36,z41.x76,y32,z42.x79,y28,z43,x82,y24,z44.x85,y20, z45. 【点评】在关系复杂的实际问题中，要注意审题，要找到题目中的所有的相等关系或不等关系，并且要把握其中有些量的隐含条件．

◆强化训练 一、填空题

1．（2006，四川达州）不等式组3x10x11的解集是_______．

52(1x)2．（2006，四川成都）不等式组1的整数解的和是______． 2xx333．不等式1≤3x-7<5的整数解是______． 4．对于整数a，b，c，d，符号是____．

5．长度分别为3cm，•7cm，•xcm•的三根木棒围成一个三角形，•则x•的取值范围是_______． 6．如果a<2，那么不等式组集是空集．

xa27．（2006，山西）若不等式组的解集是-1b2x0xa032x1acbd 表示运算ac-bd，已知1<

acbd<3，则b+d的值

xax2的解集为________；当______时，不等式组xax2的解

8．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是______．

9．（2008，苏州）2008年6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元，2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3kg，5kg和8kg．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20kg散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市_______元．

二、选择题

10．已知03x12,11．（2008，义乌）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）

84x0

A B C D

x2y4k12．（2006，山东聊城）已知，且-12xy2k1 A．-112 B．012 C．01232x013．如果不等式组有解，则m的取值范围是（ ）

xm A．m<

32 B．m≤

32 C．m>

32 D．m≥

32

m2314．若1，化简│m+2│-│1-m│+│m│得（ ）

m53 A．m-3 B．m+3 C．3m+1 D．m+1

x3(x2)415．不等式组a2x无解，则a的取值范围是（ ）

x3 A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1

16．为了改善城乡人民生产，生产环境，我市投入大量资金治理清水河污染，在城郊建立了

一个综合性污水处理厂．设库池中存有待处理的污水at，又从城区流入库池的污水按每小时bt的固定流量增加．如果同时开动2台机组需30h处理完污水，同时开动4台机组需10h处理完污水．若要求在5h内将污水处理完毕，那么至少要同时开动机组的台数为（ ）

A．6台 B．7台 C．8台 D．9台 三、解答题

2(x2)3x317．（1）（2005，南京市）解不等式组xx1，并写出不等式组的整数解；

43

（2）（2004，太原市）解不等式组

18．（2006，湖北十堰）某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲，乙两种产

品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110产品 每件产品的产值 甲 乙

19．（2004，湖北省）如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，•则剩下9

个；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数少于3个，问共有几个儿童，•分了多少个橘子？

4.5万元 7.5万元 3x12(x1)2(x1)4x，并把它的解集在数轴上表示出来．

20．（2005，江苏省）七（2）班有50名学生，老师安排每人制作一件A型和B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg，乙种制作材料29kg，制作A，B两种型号的陶艺品用料情况如下表：

需甲种材料 需乙种材料 0.3kg 1kg 1件A型陶艺品 0.9kg 1件B型陶艺品 0.4kg （1）设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围；

（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数．

21．（2008，青岛）2008年8月，北京奥运会帆船比赛在青岛国际帆船中心举行，•观看帆

船比赛的船票分为两种：A种船票600/张，B种船票120/张．•某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A，B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半，若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：

（1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程； （2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？

22．（2006，青岛）“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出

租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60•座客车的租金每辆为460元．

（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？

（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），•而且要比单独租用一种车辆节

省租金．请你帮助学校选择一种最节省的租车方案．

23．（2005，深圳）某工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，•甲，

乙两工程队再合作20天完成． （1）求乙工程队单独做需要多少天完成？

（2）将工程分两部分，甲做其中的一部分用了x天，乙做另一部分用了y天，其中x，y

均为正整数，且x<15，y<70，求x，y．

24．（2005，苏州）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进

行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息： ①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租； ②每亩水面可在年初混合投放4kg蟹苗和20kg虾苗；

③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益； ④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益； （1）若租用水面n亩，则年租金共需______元；

（2）水产养殖的成本包括水面年租金，苗种费用和饲养费用，•求每亩水面蟹虾混合养殖

的年利润（利润=收益-成本）；

（3）李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，•用于蟹虾混合

养殖，已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，•并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元．

答案: 1．-2x13 2．0 3．3 4．3或-3 5．46．x>2，a≤2 7．1 8．-410．AC 11．A 12．D 13．B 14．B 15．B 16．A

17．（1）不等式组的解集为1≤x<3，故其整数解为：1，2． （2）不等式组的解集为-3≤x<1，数轴上表示如图：

18．设该公司安排生产新增甲产品x件，那么生产新增乙产品（20-x）件，由题意得： 110<4．5x+7．5（20-x）<120 ∴10403，依题意，得x=11，12，13

当x=11时，20-11=9；当x=12时，20-12=8；当x=13时，20-13=7．

所以该公司明年可安排生产新增甲产品11件，乙产品9件；或生产新增甲产品12件，乙产品8件；或生产新增甲产品13件，乙产品7件．

19．设共有x个儿童，则共有（4x+9）个橘子，依题意，得0≤4x+9-6（x-1）<3 解这个不等式组，得6故共有7个儿童，分了37个橘子． 20．（1）由题意得

0.9(50x)0.4x36 ①0.3(50x)x29② 由①得x≥18，由②得x≤20， 所以x的取值范围是18≤x≤20（x为正整数）． （2）制作A型和B型陶艺品的件数为

①制作A型陶艺品32件，制作B型陶艺品18件； ②制作A型陶艺品31件，制作B型陶艺品19件； ③制作A型陶艺品30件，制作B型陶艺品20件． 21．（1）由题意知B种票有（15-x）张．

15x,x 根据题意得 2600x120(15x)5000, 解得5≤x≤

203．

∵x为正整数，

∴满足条件的x为5或6． ∴共有两种购票方案：

方案一：A种票5张，B种票10张； 方案二：A种票6张，B种票9张．

（2）方案一购票费用为 600×5元+120×10元=4200元； 方案二购票费用为600×6元+120×9元=4680（元）． ∵4200元<4680元，∴方案一更省钱． 22．（1）385÷42≈9．2

∴单独租用42座客车需10辆，租金为320×10=3200元． 385÷60≈6．4，

∴单独租用60座客车需7辆，租金为460×7=3220元． （2）设租用42座客车x辆，则60座客车（8-x）辆，由题意得：

42x60(8x)385, 320x460(8x)3200. 解之得3

37≤x≤5

518．

∵x取整数，∴x=4或5．

当x=4时，租金为320×4+460×（8-4）=3120元； 当x=5时，租金为320×5+460×（8-5）=2980元． 答：租用42座客车5辆，60座客车3辆时，租金最少． 说明：若学生列第二个不等式时将“≤”号写成“<”号，也对． 23．设乙工程队单独做需要x天完成． 则30×

1x+20（

140+

1x）=1，解之得x=100．

经检验，x=100是所列方程的解，所以乙工程队单独做需要100天完成． （2）甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天，

所以

x40+

y100=1，即：y=100-

52x，又x<15，y<70，

5100x70,所以，解之得12（2）每亩的成本=500+20×（15+85）+4×（75+525）=4900 每亩的利润=20×160+4×1400-4900=3900（元）．

（3）设应该租n亩水面，向银行贷款x元，则4900n=25000+x，即x=4900n-25000． ① 根据题意，有

x25000(1400416020)n(25001.08x) 35000①②③ 将①代入②，得4900n-25000≤25000 即n≤

500004900≈10.2

将①代入③，得3508n≥33000， 即n≥

330003508≈9.4，∴n=10（亩），

x=4900×10-25000=24000（元）．

答：李大爷应该租10亩水面，并向银行贷款24000元．