2022-2023学年江苏省南京市高一下六校联考3月月考
一．选择题（共8小题） 1．命题“A．C．
2．sin105°的值为（） A．
B．
C．
D．
”的否定是（）
B．
D．∀x＞0，x≤0或x≥1．
3．已知扇形的圆心角为A．π
，面积为3π，则该扇形的弧长为（） B．2π
C．3
D．6
4．已知角α的终边经过点P（﹣2，4），则sinα﹣cosα的值等于（） A．
B．
C．
D．
5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）
A．f（x）＝C．f（x）＝
B．f（x）＝D．f（x）＝xe
|x|
6．已知a＝ln，b＝（）A．a＞b＞c
，c＝ln（2e），则（）
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a
B．b＞a＞c
7．已知ω＞0且为正数，且，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1的图象如图所示，
A、C，D是f（x）的图象与y＝1相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间（a，b）上，f（x）有2020个零点，则b﹣a的最大值为（）
A．2020π
B．
C．
D．1012π
x
﹣x
8．已知函数f（x）＝[x]（[x]表示不超过实数x的最大整数），若函数g（x）＝e﹣e﹣2的零点为x0，则g[f（x0）]＝（） A．
B．﹣2
C．
D．
二．多选题（共4小题）
9．已知a，b，c∈R则下列结论正确的是（） A．若a＞b＞0，则B．若ac＞bc，则a＜b
a
2
2
b
C．若a＞0，b＞0，2+3a＝2+4b，则a＞b D．若a＞b＞0，则
10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）
A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[
，
]上单调递增
对称
C．g（x）的图象关于直线x＝
D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称
11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（） A．若
〉＝120°，则
B．点M（1，﹣1），N（﹣3，2），与向量C．若D．若向量
|≠0，则
同方向的单位向量为与
的夹角为60°
，则向量在向量上的投影向量为
12．已知函数
A．f（x）是奇函数
，则（）
B．f（x）的图象关于点（1，1）对称 C．f（x）有唯一一个零点
2
D．不等式f（2x+3）＞f（x）的解集为（﹣1，1）∪（3，+∞） 三．填空题（共4小题）
13．请写出一个同时满足下列两个条件的幂函数：f（x）＝ ． ①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上单调递减． 14．已知函数f（x）＝
，那么f（f（4））＝ ，若存在实数a，使得f
（a）＝f（f（a）），则a的个数是 ．
15．已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则是 ．
16．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M（3）是图象的一个最高点，N（有点的横坐标缩短到原来的
，
•
的范围
，0）是图象与x轴的交点，将函数f（x）的图象上所后，再向右平移
个单位长度，得到函数g（x）的图象，
则函数g（x）的单调递增区间为 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知集合A＝{x|a＜x＜a+1}，B＝{x|﹣2≤x≤0}． （1）若a＝1，求A∪B；
（2）在①A∪B＝B，②（∁RB）∩A＝∅，③B∪（∁RA）＝R，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 18．已知α是第四象限角，且（1）求tanα的值；
．
（2）求19．已知
＜α＜π，sin2α＝﹣．
的值．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
20．如图，在菱形ABCD中，（1）若（2）若|
，求3x+2y的值；
|＝6，∠BAD＝60°，求
．
．
21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放a（0＜a≤4且a∈R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y＝af（x），
其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投
放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．
（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？
（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值．
22．已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x﹣2e（1）求函数g（x）的解析式； （2）设m＞0，若对于任意围．
，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范
2
f（x）
．
2022-2023学年江苏省南京市高一下六校联考3月月考
参与试题解析
一．选择题（共8小题） 1．命题“”的否定是（）
A． B．
C．
D．∀x＞0，x≤0或x≥1．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题“
”等价于“∃x＞0，0＜x＜1”，
则其否定是：∀x＞0，x≤0或x≥1． 故选：D．
2．sin105°的值为（） A．
B．
C．
D．
【解答】解：sin105＝sin（45°+60°）＝sin45°cos60°+sin60°cos45°＝
．
故选：D．
3．已知扇形的圆心角为，面积为3π，则该扇形的弧长为（） A．π
B．2π
C．3
D．6
【解答】解：设扇形半径为r， ∵扇形的圆心角为，面积为3π，
∴S扇形＝＝3π，
解得r＝3，
∴该扇形的弧长为l＝＝2π． 故选：B．
4．已知角α的终边经过点P（﹣2，4），则sinα﹣cosα的值等于（） A．
B．
C．
D．
＝
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣2，4），∴sinα＝＝，cosα
＝＝﹣，
则sinα﹣cosα＝故选：A．
，
5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）
A．f（x）＝C．f（x）＝
B．f（x）＝D．f（x）＝xe
|x|
【解答】解：由图象可知，函数的定义域为R，而选项B中函数的定义域为{x|x≠0}，故可排除B；
又函数图象关于原点对称，为奇函数，而选项C不具有奇偶性，故可排除C； 又x→0时，f（x）→0，而选项D当x→+∞时，f（x）→+∞，故可排除D． 故选：A．
6．已知a＝ln，b＝（）A．a＞b＞c
，c＝ln（2e），则（）
C．b＞c＞a ＝
D．c＞b＞a
B．b＞a＞c
【解答】解：a＝ln＜0，b＝（）则c＞b＞a． 故选：D．
7．已知ω＞0且为正数，且
∈（0，1），c＝ln（2e）＞1，
，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1的图象如图所示，
A、C，D是f（x）的图象与y＝1相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间（a，b）上，f（x）有2020个零点，则b﹣a的最大值为（）
A．2020π
B．
C．
D．1012π
【解答】解：由题意和图易知， |AC|的长度为：则有进而又
因为0＜ω＜3， 所以ω＝2， 则T＝π，
相邻2个零点的距离有两种则当b﹣a为1010个故选：C．
8．已知函数f（x）＝[x]（[x]表示不超过实数x的最大整数），若函数g（x）＝e﹣e﹣2的零点为x0，则g[f（x0）]＝（） A．
B．﹣2
x
﹣x
，
，
，
或﹣6k﹣4，
和，
的和时最大为
．
与1011个
x﹣x
C． D．
【解答】解：因为函数g（x）＝e﹣e﹣2， 则易得函数g（x）为增函数，
又g（0）＝﹣2＜0，g（1）＝e﹣﹣2＞0， 由零点定理得： x0∈（0，1）， 又f（x0）＝[x0]＝0，
所以g（f（x0））＝g（0）＝﹣2， 故选：B．
二．多选题（共4小题）
9．已知a，b，c∈R则下列结论正确的是（） A．若a＞b＞0，则B．若ac＞bc，则a＜b
a
2
2
b
C．若a＞0，b＞0，2+3a＝2+4b，则a＞b D．若a＞b＞0，则
【解答】解：对于A，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴确；
对于B，若ac＞bc，则c＞0，∴a＞b，故B错误；
2
2
2
＝＜0，即，故A正
对于C，设f（x）＝2+3x，显然f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∵2+3a＝2+4b，2+4b＞2+3b， ∴2+3a＞2+3b，即f（a）＞f（b）， ∴a＞b，故C正确； 对于D，∵a＞b＞0，∴故选：AC．
10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）
＞0，∴a+＞b+，故D错误．
a
b
a
b
b
b
x
A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[
，
]上单调递增
C．g（x）的图象关于直线x＝D．g（x）的图象关于点（
对称
，0）成中心对称
，解得T＝π，
【解答】解：根据函数的图象：周期故ω＝2． 进一步求得A＝2． 当x＝所以φ＝
时，f（．
）， ）＝2sin（
+φ）＝﹣1，由于|φ|＜π，
所以f（x）＝2sin（2x+
函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移
个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（3x+
，故A正确；
，故函数g（x）在区间[
，
）的图象，
故对于A：函数的最小正周期为T＝对于B：由于x∈[
，
]，所以
]上单调递减，故B错误； 对于C：当x＝于直线x＝对于D：当x＝故选：AC．
11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（） A．若
〉＝120°，则
时，g（
）＝2sin（
）＝﹣2，故函数g（x）的图象关
对称，故C正确； 时，g（
）＝2，故D错误．
B．点M（1，﹣1），N（﹣3，2），与向量C．若D．若向量【
解
答
】
解|≠0，则
同方向的单位向量为与
的夹角为60°
，则向量在向量上的投影向量为：
对
于
A
，
因
为
，所以
故正确； 对于B，因为
，且
，所以与向量
，
同方向的单位
向量为，故正确；
对于C，因为，化简得
所以，
即
因为得
，所以，
，即，化简
所以，
因为
对于D，因为
，所以，故错误； ，所以向量在向量上的
投影向量为故答案为：ABD． 12．已知函数
A．f（x）是奇函数
，故正确．
，则（）
B．f（x）的图象关于点（1，1）对称 C．f（x）有唯一一个零点
2
D．不等式f（2x+3）＞f（x）的解集为（﹣1，1）∪（3，+∞） 【解答】解：函数不为奇函数，故A错误； f（2﹣x）＝
+
＝
+
，f（x）+f（2﹣x）＝（
+
）+
的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，可得f（x）
（+）＝2，
则f（x）的图象关于点（1，1）对称，故B正确； f（x）＝
+1+
，当x＞1时，f（x）递减；x＜1时，f（x）递减，
＞0，则f（x）在（﹣1，0）有
且x＞1时，f（x）＞0；f（0）＝﹣＜0，f（﹣1）＝且只有一个零点，故C正确；
由f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）内递减，且x＞1时，f（x）＞1；x＜1时，f（x）＜1．
不等式f（2x+3）＞f（x）等价为
2
或或
或，
解得x＞3或x∈∅或﹣1＜x＜1或x∈∅，即不等式f（2x+3）＞f（x）的解集为（﹣1，1）∪（3，+∞），故D正确． 故选：BCD． 三．填空题（共4小题）
13．请写出一个同时满足下列两个条件的幂函数：f（x）＝ x（x≠0）（答案不唯一） ． ①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上单调递减． 【解答】解：令f（x）＝x（x≠0）， 则f（x）是偶函数满足①；
f（x）在（0，+∞）上单调递减，满足②； 故答案为：x（x≠0）（答案不唯一）． 14．已知函数f（x）＝
，那么f（f（4））＝ 1 ，若存在实数a，使得f
﹣2
﹣2
﹣2
2
（a）＝f（f（a）），则a的个数是 5 ． 【解答】解：由f（4）＝﹣2， 那么f（f（4））＝f（﹣2）＝1． 设f（a）＝t，
由f（a）＝f（f（a）），那么t＝f（t）， 即图象与y＝x有两交点， 可得t＝1或t＝﹣1， 由图象可知：
当t＝1时，即f（a）＝1，可得a＝1或a＝﹣2，
当t＝﹣1时，即f（a）＝﹣1，可得a＝3或a＝0或a＝﹣1， 综上，存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是5个值， 故答案为1，5．
15．已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则是 [﹣2
+2，2
+2] ．
•
的范围
【解答】解：如图所示，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）． 设P（∴＝2
•
cosθ，
sinθ）．
cosθ+1，
sinθ+1）
＝（2，0）（•cosθ+2，
∵﹣1≤cosθ≤1， ∴
•
的范围是[﹣2
+2，2
+2，2+2]．
+2]，
故答案为：[﹣2
16．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M（3）是图象的一个最高点，N（有点的横坐标缩短到原来的
，
，0）是图象与x轴的交点，将函数f（x）的图象上所后，再向右平移
个单位长度，得到函数g（x）的图象，
． ．
则函数g（x）的单调递增区间为 为
【解答】解：依题意，故将
代入
；
f（x）中，可知；
不妨设k＝0，得
，故函数
后，得到
；
，
；
．
．
，故
，即T＝4π，
将函数f（x）的图象压缩为原来的再向右平移
个单位，得
要求函数的增区间，只需解得
故函数g（x）的单调递增区间为故答案为：
四．解答题（共6小题）
17．已知集合A＝{x|a＜x＜a+1}，B＝{x|﹣2≤x≤0}． （1）若a＝1，求A∪B；
．
．
（2）在①A∪B＝B，②（∁RB）∩A＝∅，③B∪（∁RA）＝R，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，集合A＝{x|1＜x＜2}， 因为B＝{x|﹣2≤x≤0}，
所以A∪B＝{x|﹣2≤x≤0或1＜x＜2}； （2）若选①：因为A∪B＝B，可得A⊆B， 所以
，解得﹣2≤a≤﹣1，
故实数a的取值范围为[﹣2，﹣1]． 若选②：因为（∁RB）∩A＝∅，可得A⊆B， 则
，解得﹣2≤a≤﹣1，
故实数a的取值范围为[﹣2，﹣1]． 若选③：因为B∪（∁RA）＝R，可得A⊆B， 则
，解得﹣2≤a≤﹣1，
故实数a的取值范围为[﹣2，﹣1]． 18．已知α是第四象限角，且（1）求tanα的值；
．
（2）求
【解答】解：（1）由题意知，
，
∴
；
的值．
（2）＝19．已知
＜α＜π，sin2α＝﹣．
．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【解答】解：∵＜α＜π，sin2α＝﹣，
∴sinα＞0，cosα＜0， 则sinα﹣cosα＝＝
sinα+cosα＝﹣＝
联立①②可得，sinα＝（1）tanα＝
；
．②
，cosα＝
．
＝
．①
（2）＝
＝＝．
20．如图，在菱形ABCD中，（1）若（2）若|
，求3x+2y的值；
|＝6，∠BAD＝60°，求
．
．
【解答】解：（1）因为在菱形ABCD中，故故（2）显然所以＝
因为菱形ABCD，且|所以故①式＝故
＝﹣9． ＝
……①， |＝6，∠BAD＝60°，故
． ＝﹣9．
，
．
＝
，
．
，所以3x+2y＝﹣1．
，
21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放a（0＜a≤4且a∈R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y＝af（x），其中
，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投
放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．
（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？
（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b个单位的营养液，要使接下来的2天
中，营养液能够持续有效，试求b的最小值． 【解答】解：（1）营养液有效则需满足y≥4， 则
或
，
即为1≤x≤2或2＜x≤5，∴1≤x≤5， ∴营养液有效时间可达5天；
（2）设第二次投放营养液的持续时间为x天，
则此时第一次投放营养液的持续时间为（x+4）天，且0≤x≤2；
设y1为第一次投放营养液的浓度，y2为第二次投放营养液的浓度，y为水中的营养液的浓度．
∴y1＝2[7﹣（x+4）]＝6﹣2x，y2＝b•y＝y1+y2＝6﹣2x+b•∴b≥（2x﹣2）•
，
≥4在[0，2]上恒成立， 在[0，2]上恒成立．
）+20， ＝20﹣8
，
令t＝3+x，t∈[3，5]，则b≥﹣2（t+又﹣2（t+当且仅当t＝∵
）+20≤20﹣2•2，即t＝
时，取等号．
．
个单位．
2
f（x）
∈[3，5]，∴b的最小值为20﹣8
答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b的最小值为20﹣
22．已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x﹣2e（1）求函数g（x）的解析式； （2）设m＞0，若对于任意围．
【解答】解：（1）由已知得f（1）＝ln（a+1）＝0， 故a+1＝1，得a＝0，故f（x）＝lnx；
（2）g（x）＝x﹣2e＝x﹣2x，该函数开口向上，对称轴为x＝1， 故当m＞0时，对于g（m）}，
，必有m≥1，且x∈
2
lnx
2
．
，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范
时，g（x）max＝max{g（），
又g（m）﹣g（）＝m﹣2m
2
＝（m﹣1）•
2
≥0，故g（m）≥g（），
所以若对于任意
2
，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），
2
只需g（m）＝m﹣2m＜﹣ln（m﹣1），即（m﹣1）+ln（m﹣1）﹣1＜0（m＞1）恒成立， 令t＝m﹣1＞0，则t+lnt﹣1＜0①，令h（t）＝t+lnt﹣1（t＞0），显然h（1）＝0， 易知y＝lnt，y＝t在（0，+∞）上都是增函数，
故要使①式恒成立，只需0＜t＜1即可，即0＜m﹣1＜1，解得1＜m＜2， 故m的取值范围是（1，2）．
2
2
2
