2021高考全国甲卷理科数学试题

2021年全国甲卷高考理科数学试题

（云南、广西、贵州、四川、）

1．设集合Mx0x4,Nx1x5，则MN（ ） 3A．x0x B．x131x4 C．x4x5 D．x0x5 32．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3．已知(1i)z32i，则z（ ） A．123333i B．1i C．i D．i 22224．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V的满足L5lgV．已知某同学视力的五分记录法

的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（10101.259） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

5．已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260,PF13PF2，则C的离心率为（ ） A．713 B． C．7 D．13 226．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）

A． B． C． D．

7．等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q0，乙：Sn是递增数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A,B,C满足AC由C点测得B点的仰角为15，B45，ABC60．BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为（31.732）（ ）

A．346 B．373 C．446 D．473 9．若0,πcos,tan2，则tan（ ） 22sinA．

551515 B． C． D．

5315310．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A．

1224 B． C． D． 353511．已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC,ACBC1，则三棱锥OABC的体积为（ ） A．3322 B． C． D． 12412412．设函数fx的定义域为R，fx1为奇函数，fx2为偶函数，当x1,2时，

9f(x)ax2b．若f0f36，则f（ ）

2A．9375 B． C． D． 4242二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线y2x1在点1,3处的切线方程为__________． x214．已知向量a3,1,b1,0,cakb．若ac，则k________．

x2y21的两个焦点，15．已知F1,F2为椭圆C：P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且PQF1F2，

1

则四边形PFQF12的面积为________． 16．已知函数

fx2cos(x)的部分图像如图所示，则满足条件

4f0的最小正整数x为________． 3f(x)7ff(x)4

三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．

17．（12分）

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

甲机床 乙机床 合计 一级品 150 120 270 二级品 50 80 130 合计 200 200 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

n(adbc)2附：K

(ab)(cd)(ac)(bd)2PK2k 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828 18．（12分）

已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列an是等差数列：②数列

S是等差数列；③an23a1．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 19．（12分）

已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，

D为棱A1B1上的点，BFA1B．

（1）证明：BFDE；

（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小? 20．（12分）

抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：x1交C于P，Q两点，且OPOQ．已知点

M2,0，且M与l相切．

（1）求C，

M的方程；

M相切．判断直线A2A3与M的位置关系，

（2）设A1,A2,A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与并说明理由． 21．（12分）

xa已知a0且a1，函数f(x)x(x0)．

a（1）当a2时，求fx的单调区间；

（2）若曲线yfx与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

22cos．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为1,0，M为C上的动点，点P满足AP程，并判断C与C1是否有公共点． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数f(x)x2,g(x)2x32x1．

2AM，写出P的轨迹C1的参数方

（1）画出yfx和ygx的图像； （2）若fxagx，求a的取值范围．