word 1.2.2 组合
第三课时
教学目标 知识与技能
理解排列组合的区别和联系，综合运用排列组合解决计数问题． 过程与方法
通过具体实例，经历把具体事例抽象为排列组合问题，利用排列、组合数公式求解的过程．
情感、态度与价值观
能运用排列组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力． 重点难点
教学重点：综合运用排列组合解决计数问题． 教学难点：综合运用排列组合解决计数问题．
教学过程
复习回顾
提出问题1：判断以下问题是组合问题还是排列问题？并求出以下问题的解． (1)在、某某、某某三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？ (2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？ (5)10个人互通一次，共打了多少个？ 活动设计：学生自主完成，教师提问． 活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．
(1)A3＝6；(2)C11＝55；(3)A23＝10 626；(4)A10＝90；(5)C10＝45.
1．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
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2．排列数公式：An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)． n！An
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝＝n－m.
(n－m)！An－m
mn
n
m
3．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
Ann(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！m
4．C＝m＝或Cn＝(n，m∈N，且m≤n)．
Amm！m！(n－m)！
mn
m
设计意图：回顾本单元基础知识，为本节课的学习服务．
典型例题
类型一：排数字问题
1(1)用0,1,2,3,4能组成多少个无重复数字的四位数？ (2)这四位数中能被3整除的数有多少个？
思路分析：可以从特殊元素或特殊位置入手直接分析，也可以从对立面间接排除． 解：(1)直接分类法：
①特殊元素分析法：分两类：选0，有A3A4＝72个；不选0，有A4＝24个．根据分类加法计数原理可得共有72＋24＝96个．
②特殊位置分析法：先考虑首位，可以从1,2,3,4四个数字中任取一个，共A4种方法，再考虑其他三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3个，即A4种方法．根据分步乘法计数原理共有A4A4＝96种方法，即96个无重复数字的四位数．
③间接排除法：先从五个数字中任取四个排成四位数：A5，再排除不符合要求的四位数，即0在首位的四位数：A4.那么共有A5－A4＝96个．
(2)能被3整除的四位数应该是四位数字之和为3的倍数的数．
分析：因为不含0时，1＋2＋3＋4＝10,10不是3的倍数，所以组成的四位数必须有0，即0,1,2,3或0,2,3,4，共有2(A4－A3)＝36个．
点评：对于有特殊元素和特殊位置的问题，往往有三种方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、间接排除法．
[巩固练习]
用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列．(1)第49个数是多
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word 少？(2)23 140是第几个数？
解：(1)首位是1,2,3,4组成的五位数各24个．所以第49个数是首位为3的最小的一个自然数，即30 124.
(2)首位为1组成A4＝24个数；
首位为2，第二位为0,1共组成2A3＝12个数．
首位为2，第二位为3，第三位为0的数共A2＝2个；首位为2，第二位为3，第三位为1，第四位为0的数有1个，为23 104.
由分类加法计数原理得：A4＋2A3＋A2＋1＝39.
按照从小到大的顺序排列，23 104后面的五位数就是23 140，所以23 140是第40个数．
类型二：分组分配问题
2(1)6本不同的书，按以下条件，各有多少种不同的分法： ①分给甲、乙、丙三人，每人两本； ②分成三份，每份两本；
③分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
④分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； ⑤分给5个人，每人至少一本；
(2)6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？ 思路分析：可以根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列数和组合数来解决这类问题．
解：(1)①分成三个步骤：第一步，选2本书分配给甲，有C6种方法；第二步，从剩下的4本书中选2本书分配给乙，有C4种方法；第三步，将剩下的2本书分配给丙，有C2种方法．根据分步乘法计数原理，共有C6C4C2＝90种方法．
C6C4C2
②在①的基础上去掉顺序即可，有3＝15种方法．
A3
③分成三个步骤：第一步，选1本书成为一组，有C6种方法；第二步，从剩下的5本书中选2本书成为一组，有C5种方法；第三步，剩下的3本书成为一组，有C3种方法．根据分
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word 步乘法计数原理，共有C6C5C3＝60种方法．
④在③的基础上，把三组书分配给三个人即可，有C6C5C3A3＝360种方法．
⑤分成两个步骤：第一步，分成5组，有C6种方法；第二步，将5组分配给5个人，有A5种方法．根据分步乘法计数原理，共有C6A5＝1 800种方法．
(2)分成两个步骤：第一步，分成3组，有C5种方法；第二步，将3组分配给3个人，有A3种方法．根据分步乘法计数原理，共有C5A3＝60种方法．
点评：在解决问题时，要先考虑分类还是分步完成，然后考虑是否有顺序，再确定方法． [巩固练习]
1．今有10件不同奖品，从中选6件分成三份，其中两份各1件，另一份4件，有多少种分法？
2．今有10件不同奖品，从中选6件分给甲乙丙三人，每人二件，有多少种分法？ 答案：1.C10C6＝3 150 2.C10C6C4C2＝18 900. [变练演编]
对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，直至区分出所有次品为止，假设所有次品恰好在第5次测试时全部发现，那么这样的测试方法有几种可能？
提示：因为在第5次测试时全部发现次品，所以第五次测试的一定是次品，前四次有三次出现次品．所以共有A4C6C1＝144种可能．
[达标检测]
1．把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，假设甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，那么不同的分法有____________种．
2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求X、王两人中至多有一个人参加，那么有不同的选法种数为________________．
3．要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，那么不同的选法种数为____________．(用排列数和组合数表示)
答案：1.9 2.9 3.C8C7＋C8C7
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课堂小结
1．知识收获：进一步复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理以及排列、组合的概
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word 念．
2．方法收获：(1)注意区别“恰好〞与“至少〞；(2)特殊元素(或位置)优先安排；(3)“相邻〞用“捆绑〞，“不邻〞就“插空〞；(4)混合问题，先“组〞后“排〞．
3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．
补充练习
[基础练习]
1．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有______个(用数字作答)．
2．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，那么不同的承建方案共有______种．
3．从集合{O，P，Q，R，S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是______．
答案：1.576 2.96 3.8 424 [拓展练习]
4．某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到某某，乙不到某某，共有多少种不同的派遣方案？
解：因为甲乙有条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①假设甲乙都不参加，那么有派遣方案A8种；
②假设甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A8种方法，所以共有3A8种方案；
③假设乙参加而甲不参加，同理也有3A8种方案；
④假设甲乙都参加，那么先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另两个城市有A8种，共有7A8种方法．所以共有不同的派遣方案总数为
A8＋3A8＋3A8＋7A8＝4 088.
设计说明
本节课是排列组合复习课，目的是总结综合应用排列组合的问题和方法．特点是教师总结题目，学生在解决的过程中总结方法，举一反三，达到灵活掌握的程度．
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word 备课资料
相同元素的分配问题隔板法：
1把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，那么有多少种不同的放法？
解：向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C16＝120种．
210个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C9＝84种．
变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有______种．
变式2：马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有________种．
3将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
解：(1)先从4个盒子中选三个放置小球有C4种方法．
(2)注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法．为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个、5个空档中分别插入两个板．各有C3、C4、C5种方法．
(3)由分步乘法计数原理可得C4C3C4C5＝720种．
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