吉林省松原市扶余一中2014-2015学年高一上学期9月月考数学试卷

2014-2015学年吉林省松原市扶余一中高一（上）9月月考数学

试卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，M={0，1，2}，N={0，1，2，3}，则（CUM）∩N=（ ） A． {0，1，2} B． {﹣2，﹣1，3} C． {0，3} D． {3}

2．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（ ） A． 1 B． 3 C． 4 D． 8

3．已知集合A={﹣1，3，5}，若f：x→2x﹣1是集合A到B的映射，则集合B可以是（ A． {0，2，3} B． {1，2，3} C． {﹣3，5} D． {﹣3，5，9}

4．已知f（x）=ax2

+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ） A． B． C．

D．

5．设

，则a，b，c的大小关系是（ ）

A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． b＞c＞a D． c＞b＞a

6．已知lga=2.31，lgb=1.31，则=（ ） A． B． C． 10 D． 100

7．已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=ax

+b的图象必定不经过（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 8．已知

，则f（3）为（ ）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

9．f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，a∈R，则（ ） A． f（a）＜f（2a） B． f（a2

）＜f（a）

C． f（a2+1）＜f（a） D． f（a2

+a）＜f（a）

10．已知f（x）=x5

+ax3

+bx﹣8，且f（﹣2）=10，那么f（2）等于（ ）

） A． ﹣26 B． ﹣18 C． ﹣10 D． 10

11．已知函数f（x）在[﹣5，5]上是偶函数，f（x）在[0，5]上是单调函数，且f（﹣3）＜f（﹣1），则下列不等式一定成立的是（ ）

A． f（﹣1）＜f（3） B． f（2）＜f（3） C． f（﹣3）＜f（5） D． f（0）＞f（1）

12．已知函数

，则函数y=f（x）的大致图象为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）

13．若2∉{x|x﹣a＜0}，则实数a的取值集合是 ． 14．已知f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且f（5）=m，f（7）=n，即f（175）= ．

15．若函数f（2x+1）=x﹣2x，则f（3）= ．

16．已知函数f（x）=

，则f[f（）]的值是 ．

2

三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．计算下列各式的值： （1）lg5lg20+（lg2）；

（2）（log32+log92）•（log43+log83）+（log33）+ln

18．函数f（x）在R上为奇函数，当x＞0时，f（x）=

x

2

2

﹣lg1．

，求f（x）的解析式．

19．已知函数f（x）=a（a＞0且a≠1）在x∈[﹣2，2]上恒有f（x）＜2，求实数a的取值范围．

20． 利用单调性定义判断函数f（x）=x+在[1，4]上的单调性并求其最值．

21．“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业

造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x（x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y（单位：元）．

22．已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立． 证明：

（1）函数y=f（x）是R上的减函数； （2）函数y=f（x）是奇函数．

2014-2015学年吉林省松原市扶余一中高一（上）9月月

考数学试卷

参与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，M={0，1，2}，N={0，1，2，3}，则（CUM）∩N=（ ） A． {0，1，2} B． {﹣2，﹣1，3} C． {0，3} D． {3}

考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 计算题．

分析： 先求出CUM，再求（CUM）∩N．

解答： 解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，M={0，1，2}，N={0，1，2，3}， 所以CUM={﹣2，﹣1，3}，（CUM）∩N={3} 故选D．

点评： 本题考查集合的简单、基本运算，属于基础题．

2．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（ ） A． 1 B． 3 C． 4 D． 8

考点： 并集及其运算．

分析： 根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案． 解答： 解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，

则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，

所以满足题目条件的集合B共有2=4个． 故选择答案C．

点评： 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想．

3．已知集合A={﹣1，3，5}，若f：x→2x﹣1是集合A到B的映射，则集合B可以是（ ） A． {0，2，3} B． {1，2，3} C． {﹣3，5} D． {﹣3，5，9}

考点： 映射． 专题： 计算题．

分析： 先利用应关系f：x→2x﹣1，根据原像判断像的值，像的值即是集合B中元素． 解答： 解：∵对应关系为f：x→2x﹣1，x∈A={﹣1，3，5}， ∴2x﹣1=﹣3，5，9共3个值， 则集合B可以是{﹣3，5，9}． 故选D．

点评： 本题考查映射的概念，像与原像的定义，集合A中所有元素的集合即为集合B中元素集合．

2

4．已知f（x）=ax+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ） A．

B． C．

D．

2

考点： 偶函数． 专题： 常规题型．

分析： 依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a．

解答： 解：依题意得：f（﹣x）=f（x），∴b=0，又 a﹣1=﹣2a，∴a=， ∴a+b=．

故选 B．

点评： 本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称， 定义域区间2个端点互为相反数． 5．设

，则a，b，c的大小关系是（ ）

A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． b＞c＞a D． c＞b＞a

考点： 指数函数单调性的应用． 专题： 证明题．

分析： 先利用指数函数y=

3

为R上的单调减函数，比较a、b的大小，再利用幂函

数y=x在R上为增函数，比较b、c的大小，即可得正确选项 解答： 解：考察函数y=∵a=，c=

3

3

3

为R上的单调减函数，∴

，∴a＞c，

3

3

，即a＜b，

=

考察幂函数y=x在R上为增函数，∴a＞c，

综合有b＞a＞c 故选B

点评： 本题主要考查了指数函数、幂函数的图象和性质，利用函数的单调性比较大小的方法和技巧，属基础题

6．已知lga=2.31，lgb=1.31，则=（ ） A．

B． C． 10 D． 100

考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用对数的运算法则求解． 解答： 解：∵lga=2.31，lgb=1.31，

∴lga﹣lgb=lg=2.31﹣1.31=1， ∴=10．

故选：C．

点评： 本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用．

7．已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=a+b的图象必定不经过（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 指数函数的图像变换．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

x

分析： 先考查 y=a的图象特征，f（x）=a+b 的图象可看成把 y=a的图象向下平移﹣b（﹣

x

b＞1）个单位得到的，即可得到 f（x）=a+b 的图象特征． 解答： 解：∵0＜a＜1，b＜﹣1，

∴y=a的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过（0，1），

xx

f（x）=a+b 的图象可看成把 y=a的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，

x

故函数f（x）=a+b的图象

经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限， 故选：A．

点评： 本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想． 8． 已知

，则f（3）为（ ）

x

xxx

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 函数的值． 专题： 计算题．

分析： 本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（5）、f（7）的值，然后经过转换，由此可以得到f（3）值． 解答： 解：由题意得： f（3）=f（5）=f（7） ∵7≥6，

∴f（7）=7﹣5=2． 故选A．

点评： 分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．

9． f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，a∈R，则（ ）

A． f（a）＜f（2a） B． f（a）＜f（a） C． f（a+1）＜f（a） D． f（a+a）＜f（a）

考点： 函数单调性的性质． 专题： 计算题．

分析： 先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．

解答： 解：因为a∈R，所以a﹣2a=﹣a与0的大小关系不定，没法比较f（a）与f（2a）的大小，故A错

222

而a﹣a=a（a﹣1）与0 的大小关系也不定，f（a）与f（a）的大小，故B错； 又因为a+1﹣a=

2

2

22

+＞0，

所以a+1＞a．又f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，

2

故有f（a+1）＜f（a）故C对D错． 故选C．

点评： 本题考查函数单调性的应用．当一个函数是减函数时，大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值．而当一个函数是增函数时，大自变量对应大函数值，小自变量对应小函数值．

10． 已知f（x）=x+ax+bx﹣8，且f（﹣2）=10，那么f（2）等于（ ） A． ﹣26 B． ﹣18 C． ﹣10 D． 10

考点： 奇函数．

专题： 计算题；转化思想．

53

分析： 函数f（x）不具备奇偶性，但其中g（x）=x+ax+bx是奇函数，则可充分利用奇函数的定决问题．

解答： 解：令g（x）=x+ax+bx，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数； 则f（x）=g（x）﹣8

所以f（﹣2）=g（﹣2）﹣8=10 得g（﹣2）=18

又因为g（x）是奇函数，即g（2）=﹣g（﹣2） 所以g（2）=﹣18

则f（2）=g（2）﹣8=﹣18﹣8=﹣26 故选A．

点评： 本题较灵活地考查奇函数的定义．

11． 已知函数f（x）在[﹣5，5]上是偶函数，f（x）在[0，5]上是单调函数，且f（﹣3）＜f（﹣1），则下列不等式一定成立的是（ ）

A． f（﹣1）＜f（3） B． f（2）＜f（3） C． f（﹣3）＜f（5） D． f（0）＞f（1）

考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 计算题．

53

53

分析： 偶函数f（x）在[0，5]上是单调函数，且f（﹣3）＜f（﹣1），故可知函数f（x）在[0，5]上是单调减函数，故易判断．

解答： 解：偶函数，f（x）在[0，5]上是单调函数，且f（﹣3）＜f（﹣1）， 可知函数f（x）在[0，5]上是单调减函数，所以f（0）＞f（1） 故选D．

点评： 本题主要考查偶函数的性质，偶函数在其对称区间上单调性相反，属于基础题．

12． 已知函数

，则函数y=f（x）的大致图象为（ ）

A． B． C． D．

考点： 函数的图象与图象变化． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除A、C，由x＞0时，函数值恒正，排除D．

解答： 解：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A、C， 又当x=﹣1时，函数值等于0，故排除D， 故选 B．

点评： 本题考查函数图象的特征，通过排除错误的选项，从而得到正确的选项．排除法是解选择题常用的一种方法．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）

13． 若2∉{x|x﹣a＜0}，则实数a的取值集合是 {a|a≤2} ．

考点： 集合关系中的参数取值问题． 专题： 计算题．

分析： 先将集合化简，再根据2∉{x|x﹣a＜0}，可求实数a的取值集合． 解答： 解：由题意，{x|x﹣a＜0}={x|x＜a}， ∵2∉{x|x﹣a＜0}， ∴a≤2

∴实数a的取值集合是{a|a≤2} 故答案为：{a|a≤2}

点评： 本题以集合为载体，考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是将集合化简．

14．已知f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且f（5）=m，f（7）=n，即f（175）= 2m+n ．

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 把x=5 y=7代入得f（5）+f（7）=f（35），从而m+n=f（35），把y=35代入得f（5）+f（35）=f（175），由此能求出f（175）=2m+n． 解答： 解：∵f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy）， 且f（5）=m，f（7）=n，

∴把x=5 y=7代入得f（5）+f（7）=f（35） ∴m+n=f（35），

把y=35代入得f（5）+f（35）=f（175）， ∴m+m+n=f（175），即2m+n=f（175）， ∴f（175）=2m+n． 故答案为：2m+n．

点评： 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

15． 若函数f（2x+1）=x﹣2x，则f（3）= ﹣1 ．

考点： 分析法的思考过程、特点及应用．

2

分析： 这是一个凑配特殊值法解题的特例，由f（2x+1）=x﹣2x，求f（3）的值，可令（2x+1）=3，解出对应的x值后，代入函数的解析式即可得答案．本题也可使用凑配法或换元法求出函数f（x）的解析式，再将 x=3代入进行求解． 解答： 解法一：（换元法求解析式） 令t=2x+1，则x=

2

则f（t）=∴

﹣2

=

∴f（3）=﹣1 解法二：（凑配法求解析式） ∵f（2x+1）=x﹣2x=∴

2

∴f（3）=﹣1 解法三：（凑配法求解析式） ∵f（2x+1）=x﹣2x 令2x+1=3 则x=1

此时x﹣2x=﹣1 ∴f（3）=﹣1 故答案为：﹣1

点评： 求未知函数解析式的函数的函数值，有两种思路，一种是利用待定系数法、换元法、凑配法等求函数解析式的方法，求出函数的解析式，然后将自变值，代入函数解析式，进行求解；（见本题的解法一、二）二是利用凑配特殊值的方法，凑出条件成立时的特殊值，代入求解．（见本题的解法三）

2

2

16． 已知函数f（x）=

，则f[f（）]的值是

．

考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．

分析： 先求，，故代入x＞0时的解析式；求出，再求值即可．

=﹣2，

解答： 解：

故答案为：

，

点评： 本题考查分段函数的求值问题，属基本题．求f（f（a））形式的值，要由内而外．

三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 17． 计算下列各式的值： （1）lg5lg20+（lg2）；

（2）（log32+log92）•（log43+log83）+（log33）+ln

考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用对数的性质和运算法则求解．

2

2

﹣lg1．

解答： 解：（1）lg5lg20+（lg2）

2

=lg 5lg（5×4）+（lg 2）

2

=lg 5（lg 5+lg 4）+（lg 2）

22

=（lg 5）+lg 5lg 4+（lg 2）

22

=（lg 5）+2lg 5lg 2+（lg 2）

2

=（lg 5+lg 2）=1．

（2）（log32+log92）•（log43+log83）+（log33）+ln=log98•log243++﹣0 =

•

+=+=2．

2

2

﹣lg1

点评： 本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要注意对数的性质和运算法则的合理运用．

18． 函数f（x）在R上为奇函数，当x＞0时，f（x）=，求f（x）的解析式．

考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 计算题．

分析： 要求函数的解析式，根据题意，只要求当x≤0，的函数解析式，由x＞0时，f（x）=，可先设x＜0，则﹣x＞0，结合f（﹣x）=﹣f（x），（0）=0，可求 解答： 解：设x＜0，则﹣x＞0，

∴f（﹣x）=+1，

∵f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x）即﹣f（x）=∴f（x）=﹣

﹣1，

+1，

∵f（x）是奇函数， ∴f（0）=0，

∴f（x）=

点评： 本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数的解析式，解题中要注意，不要漏掉定义域内f（0）的函数值的求解

19． 已知函数f（x）=a（a＞0且a≠1）在x∈[﹣2，2]上恒有f（x）＜2，求实数a的取值范围．

考点： 函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 当a＞1时，根据函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，可得f（2）＜2，求得a的范围．当 0＜a＜1时，函数f（x）在[﹣2，2]上单调递减，可得f（﹣2）＜2，求得a的范围．再把以上求得的两个a的范围取并集，即得所求．

x

解答： 解：当 a＞1时，函数f（x）=a在x∈[﹣2，2]上单调递增，要使f（x）＜2，必须使函数的最大值f（2）＜2，

即 a＜2，解得1＜a＜．

x

当 0＜a＜1时，函数f（x）=a在x∈[﹣2，2]上单调递减，要使f（x）＜2，必须使函数的最大值f（﹣2）＜2， 即 a＜2，a＞，由此解得 综上可得，a的范围为（1，

﹣2

2

2

x

＜a＜1． ）∪（

，1）．

点评： 本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

20． 利用单调性定义判断函数f（x）=x+在[1，4]上的单调性并求其最值．

考点： 函数单调性的判断与证明．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用单调性的定义设两个变量然后判断单调性，根据单调性求最值即可． 解答： 解：

∴当x=2时，f（x）取得最小值4，当x=1或x=4时，f（x）取得最大值5． 点评： 本题主要考查函数的单调性以及单调性的应用，属于基础题．

21． “水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x（x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y（单位：元）．

考点： 分段函数的应用． 专题： 应用题．

分析： 根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型． 解答： 解：由题意可知： ①当x∈[0，5]时 f（x）=1.2x

②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%； 即：当x∈（5，6]时

f（x）=1.2×5+（x﹣5）×3.6=3.6x﹣12 ③当x∈（6，7]时

f（x）=1.2×5+1×3.6+（x﹣6）×6=6x﹣26.4

∴f（x）=

点评： 本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力，解题时要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型，分段函数的意义和应用

22． 已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立． 证明：

（1）函数y=f（x）是R上的减函数； （2）函数y=f（x）是奇函数．

考点： 抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）设x1＞x2，由已知可得f（x1﹣x2）＜0，再利用f（a+b）=f（a）+f（b）及减函数的定义即可证明．

（2）令a=b=0，则可得f（0）=0；再令a=x，b=﹣x，即可证明f（x）是奇函数． 解答： 证明：（1）设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，∴f（x1﹣x2）＜0， 而f（a+b）=f（a）+f（b），

∴f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）＜f（x2） ∴函数y=f（x）是R上的减函数；

（2）由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x） 即f（x）+f（﹣x）=f（0），而令a=b=0可得f（0）=0 ∴f（﹣x）=﹣f（x），即函数y=f（x）是奇函数

点评： 本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．