信号检测与估计研究

信号检测与估计研究

——基于DFT相位的正弦波频率和初相的高精度估计方法

摘 要：本文学习了如何利用分段DFT频谱的相位差消除初相对频率估计的影响且避免相位模糊问题。理解了频率和初相估计的均方根误差计算公式。 关键词：频率估计；相位估计；雷达测距；DFT

The research of signal detection and estimate— the high precision estimation based on Sine wave frequency

and initial phase of phase DFT

Abstract：This paper studied how to make use of phase difference of subsection DFT spectrum to eliminate the influence of frequency estimation made by the initial phase and to avoid the problem of phase fuzzy .And in this paper ,I understand the RMS error calculation formulas of frequency and initial phase estimate.

Key words: Frequency estimation ; Phase estimates; Radar ranging ;DFT

1 引言

目前，高精度频率估计已经成功应用于雷达探测、声纳地震监测、桥梁振动检测以及电子通信技术中，因此，研究高精度频率估计算法，具有重要的理论意义和应用价值。

正弦波信号频率的估计是通信、雷达、声纳以及电子对抗等领域信号处理中的一个重要问题。基于参数模型的谱估计、最大熵谱估计等方法具有频率分辨率高的优点，但对于长序列，其运算量大，不利于实时处理。而基于DFT的谱分析方法，可采用快速算法，即FFT，因此运算速度快，特别适合于实时信号处理。但DFT的频率分辨力和频率估计精度取决于信号的测量时间长度，信号测量时间

过长不但给实时处理带来困难，而且在一些应用中信号的持续时间是有限的，不能任意延长，使得DFT的频率分辨力和估计精度受到，因此一般只利用DFT实现频率的粗测[1,2]，文献[3]提出了利用数值搜索方法提高DFT频率估计精度。由于栅栏效应DFT频谱在主瓣之内有2条谱线，利用这2条谱线的幅度可以实现频率插值以及提高频率测量精度[4]。文献[5]提出了直接在时域采用最小二乘线性回归的方法，利用瞬时相位估计信号频率和初相。为了避免直接测量瞬时相位的整周模糊问题，文献[6]提出了相位查分方法。在时域测量瞬时相位估计信号频率和初相的缺点是需要较高的信噪比。文献[7]提出了一种利用DFT频谱的相位和频率插值的综合算法提高频率测量精度的方法。本文学习了一种利用信号DFT频谱相位提高频率测量精度的新方法，利用分段DFT消除了相位测量中的整周模糊问题。理论分析表明，该方法的信噪比阈值比基于时域瞬时相位的频率估计方法低很多，在很低信噪比情况下，仍能得到很高的频率和初相估计精度，频率估计均方根误差接近CR下限。该方法还可以估计信号的初相，初相估计均方根误差高于CR下限的2倍。

2 FFT相位差法估计频率和初相原理

设观测信号为单一频率复正弦波信号

s(t)aexp[j(2f0t0)] (1)

其中，a、f0、0分别为信号的幅度、频率和初相。对上述信号进行采样，设信号的记录时间长度分为两个长度相同的序列，s1(n)对应前N/2点，则采样序列可记为

s(t)aexp[j(2f0t0)],n0,1,2,…,N-1 (2)

s2(n)对应后N/2点，则

s1(t)aexp[j(2f0t0)],n0,1,2,…,N/2-1 (3) s2(n)s1(n)exp(jf0T),n0,1,2,…,N/2-1 (4)

分别对s1(n)和s2(n)进行N/2点DFT，得到离散频谱

S1(k)Akexp(jk),k0,1,2,…,(N/2-1) (5) S2(k)S1(k)exp(jf0T),k0,1,2,…,(N/2-1) (6)

其中Ak和k分别为S1(k)的幅度项与相位项

Akasin[(kf0T/2)] (7)

sin[2(kf0T/2)/N]k0(12/N)(f0T/2k) (8)

根据式(6)知，S1(k)与S2(k)的幅度项完全一样。由式(7),幅度最大处值对应的离散频率为k0[f0T/2] ([x]表示取最接近x的整数)。利用DFT的最大谱线粗测

ˆkf，f2/T为DFT的频率分辨率。从式(8)可见，DFT最大谱线的频率为fk0相位包含信号频率与DFT最大谱线位置的偏差信息，但由于0未知，不能直接利用DFT的相位来估计频率。用1和2分别表示S1(k)和S2(k)在最大谱线处的相位，则两者的差值为

21f0T2k0 (9)

当f0在(k00.5)f范围内变化时，由式(9)知，在到之间变化。因此可以利用可以对f0与DFT最大谱线对应的频率k0f的偏差ff0k0f进行估计

ˆf (10) f2T也可以定义与T无关的相对频率偏差f/f，当f0在范围(k00.5)f内变化

ˆ/2。然后时，在0.5范围内变化，可以利用直接得到的估计值按下式计算f0的估值

ˆfˆfˆ(kˆ)f (11) f0k0由于首先利用DFT的最大谱线位置对频率进行了粗测，DFT相位差只用来估计信号频率在两条谱线之间的位置，因而相位测量不会出现模糊。将式(9)代入式(8),得

k0于是初相0估计为

N2 (12) 2N01当N较大时，上式可近似为

N23N2N212 (13) 2N2N2N3212012 (14)

3 噪声对测量精度的影响

在加性白噪声背景下，观测信号可表示为r(t)s(t)z(t)。其中s(t)为式(1)所表示的纯信号，z(t)为复白噪声，其均值为0，功率谱密度为N0。前N/2点采样序列记为r1(n)s1(n)z(n)。设系统的等效带宽为f，则z(n)的功率(方差)为z2fN0。采样后的信噪比为SNRIa2/z2。白噪声为平稳随机过程，不满足Fourier变换得绝对可积条件，不能对其进行Fourier变换，因此一般只分析其功率谱密度。但功率谱密度不包含相位信息，无法分析噪声对相位测量的影响。对于采样后的白噪声序列，可将其DFT变换看作是若干个随机变量的线性组合，每项DFT系数仍为随机变量，所以噪声序列的DFT仍为随机序列。因此我们可以定义噪声序列z(n)在概率意义上的N/2点DFT变换

N/21Z(k)z(n)exp(j4kn/N)bexp(j),k0,1,2,…,N/2 (15)

zn0上式只在概率意义上成立，因为对于z(n)的不同次实现，Z(k)的值是随机变化的。b和z分别表示Z(k)的幅度和相位，均为随机量。可以通过上式分析Z(k)的统计特性。当z(n)为高斯白噪声序列时，Z(k)也服从高斯分布，而且对于同一次DFT变换，不同的k，或同一个离散频率k不同次的DFT变换(每次DFT对不同的采样序列进行)，Z(k)均为不相关的，即也为高斯白噪声序列，易知Z(k)的均值为0，方差为var(Z)Nz2/2.

于是r1(n)的DFT可表示为

R1(k)S1(k)Z(k)Akexp(jk)bexp(jz) (16)

整理式(16)，得R1(k)的幅度和相位分别为

b22bR1(k)Ak12cos(zk) (17)

AKAkR(k)ktan1bsin(zk) (18)

Akbcos(zk)对于较大的DFT输出信噪比，上式可近似为

R(k)kbsin(zk) (19) AK由varbsin(zk)varbcos(zk)var(Z)/2，得DFT相位测量均方根误差为

Nz (20) 2Ak对于较大的N,在主瓣附近，Ak可近似为

Ak(N/2)asinc() (21)

式中sinc(x)sin(x)/(x)。当信噪比较大时，在DFT幅度最大值处，R(k0)仍近似为正态分布，其方差为var(R)var(Z)，所以，在幅度最大值处，DFT频谱的信噪比为

Ak2SNR0sinc2()(N/2)SNRzPGSNRz (22)

var(Z)式中PGSNR0/SNRZsinc2()(N/2)为N/2点DFT的信噪比增益。将式(21)和式(22)代入式(20)，DFT最大谱线处相位1的均方根误差可表示为

11 (23) NSNRzsinc()aSNR0对于平稳白噪声，第二段采样序列r2(n)的DFT的相位2的测量误差与1的测量误

差是统计的，而且方差相同，因此相位差的均方根误差为2。于是，相对频率偏差估计和初相估计的均方根误差分别为

1 (24)

2SNR05 (25)

2SNR00根据相对频偏的均方根误差便可得到f的均方根误差为2/T。由于

SNR0一般较大，DFT最大谱线位置错误造成的频率估计误差可以忽略，因此f0的估计误差主要取决于f的估计误差。由式(24)、(25)可见，频率与初相估计误差和被测信号频率与DFT最大谱线的偏差有关，当被测信号的频率正好位于最大谱线上时，频率和初相估计误差最小，分别为2/(NSNRi)/(T)和

5/(2NSNRi)，频率估计均方根误差略大于CR下限，初相估计均方根误差为CR下限的5倍。当被测信号的频率正好位于DFT两条离散谱线中间时，频率和初相估计误差最大，分别为1/(T(2NSNRi)和5/(8NSNRi)。当信号频率位于DFT两条谱线中间时，信号的DFT系数有两项幅度接近，信号的能量平均分布在两条谱线上。由于上面的相位估计方法只利用了信号的一条谱线，因此频率和初相估计的均方根误差均为最好情况的/2倍。信号在两个相邻离散谱线上的相位差180度，而噪声在两个频率上是不相关的，可以使相位及频率的估计均方根误差降低到原来的1/2，与最好情况接近。

4模拟结果

采用单频率的实正弦波信号迭加高斯白噪声对本文提出的频率和初相估计的FFT相位差法进行了Monte Carlo模拟。由于DFT对实信号的信噪比增益为对应的复信号的一半，因此实正弦信号频率及相位估计的方差为对应的复信号的2倍。所以，对于实信号，前面推导的计算频率和初相估计的均方根误差的公式都要乘上2。实信号的频率和初相估值均方根误差CR下限也为复信号CR下限的2倍。

模拟中信号的频率用DFT频率分辨率f的倍数表示，频率估计是对相对频率偏差

进行的，可利用f2/T将换算成频率估计的均方根误差。

对于不同的f0和0值的正弦信号在不同的信噪比好DFT长度条件下进行Monte Carlo模拟，模拟结果显示对于任意的0和从f到Nf/4的范围内变化的本文提出的相位差法可得到很好的频率和初相估计，估计误差与本文给出f0值，

的公式计算结果相吻合。表1列出的为一个DFT的频率分辨单元内的在若干个频率上，SNRi6dB,N256,经100次Monte Carlo模拟，频率偏差估计的均值和均方根误差。表1最后一行为将文献[7]中表1中同样情况下的RMS(f0)折算成的结果，可见两者基本相同，但本文的方法只需利用DFT系数的相位就可以对位于DFT离散谱线之间任意位置的频率进行估计，而不需利用DFT频谱 幅度估计频率。对于给定的参数，根据上面得到的公式，可以算出0时，0.0095，可见模拟解雇与理论计算结果基本吻合。表中最后两行括号内为0.3时加4项Blackman-Harris窗后的结果，加窗对DFT频率插值法估计误差影响较大，频率估计均方根误差约增加一倍，而对DFT相位差估计频率误差影响很小。

表2列出的是在N256,SNRi6dB,f0(51.1)f条件下，对若干个给定的0经100次Monte Carlo模拟得到的估计值的均值和均方根误差。按本文给出的公式计算，04.01，模拟结果与理论分析结果基本吻合。

5 结论及实际应用

本文学习了一种利用DFT频谱的相位估计正弦信号的频率和初相的新方法，在信噪比为6dB、数据长度为1024的情况下，频率估计均方根误差为对应的DFT的频率分辨率的1%，与文献[7]提出的利用DFT频谱的相位估计信号频率的方法相比，该方法避免了相位模糊问题，从而仅利用DFT最大谱线处的相位对位于两条谱线之间的任意位置的信号频率都能得到满意的估计，不需利用DFT频率插值法对相位法进行补偿，频率估计均方根误差接近CR下限，与文献[7]的综合方法基本相同。此外，这种方法可以估计信号的初相，初相估计均方根误差略高于CR下限的2倍。文中提到的频率和初相估计方法比文献[5]和[6]采用的基于信号瞬时相位的频率估计方法的信噪比阈值低很多，在低信噪比情况下，适当增加采样点数，计算机模拟显示仍能得到很好的频率和初相的估计。文中的的频率估计方法已在FMCW液位测量雷达中得到应用，该系统采用具有极高的频率稳定性和扫频线性度的集成微波组件作为扫频源，发射信号中心频率10GHz，扫描带宽1.5GHz,直接利用DFT频谱测量距离的分辨率为10cm。

通过这次的学习加固了信号检测和估计知识方面的学习。信号是信息的载体，信息的传输离不开信号，所以如何用信号更好更及时的传输有效信息是当前最为关注的问题，也是科学界一直研究有问题。为了实现信息的及时有效性，信号检测技术的改进还是需要在实验中加以研究和探讨。总之今后会继续在认真学习相关理论知识，并注重实践，努力奋斗！

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