第二章 2.4 第一课时
人教A版 数学教案 必修5
第二章 数列 2.4等比数列
一、学习目标
1．知识与技能
（1）理解等比数列的定义．(重点)
（2）掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点) （3）熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 2.过程与方法
培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法． 3.情感、态度与价值观
让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣．
二．重点难点
重点：等比数列的概念．
难点：等比数列通项公式的推导过程及应用．
三．专家建议
通过学习等比数列，应用累乘法推导等比数列的通项公式，体会累乘法的意义并结合等比数列的定义给学生渗透指数式函数讨论的数学思想,通过学习等比数列分析讨论的方法培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法.
四．教学方法
自学----练习---点拨-巩固训练
五．教学过程
●新知探究
探究点：等比数列的概念及通项 1.如下图是某种细胞的模型：
思考1 请同学们讨论一下如果按照这种细胞方式，写出前5次的细胞数量，并观察
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有什么特点？
提示：前5次的细胞数目分别是：1，2，4，8，16. 特点：后一次与前一次的比值都相等，且都等于定值2.
2.我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.这样，每日剩下的部分都是前一日的一半.
思考2 “一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到的数列是怎样的呢？
1111提示：如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到的数列是1，,,,,…………
24816思考3 让我们共同观察这四组数列，找出它们的共同特征是什么？类比等差数列的定义可归纳出什么结论？
(1)1,2,4,8,16……
1111(2)1，,,,,…………
24816(3) 3，9，27，81，…；
1111(4)-, , -, ,...;
24816提示：通过观察，四个数列各项之间存在这样的共同特征：数列从第2项起，每一项与它
11的前一项的比都等于同一个常数，分别是2， ，3， - .
22结论：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示.
思考5 请同学们自己动手推导一下等比数列的通项公式是怎样的呢？ 方法一 递推法:
a2aa=q⇒a2=a1q,3=q⇒a3=a2q=a1q2,4=q⇒a4=a3q=a1q3 a1a2a3由此归纳，可得等比数列的通项公式：a1qn－1其中a1,q均不为0. 方法二 叠乘法:
a2aaaaa=q,3=q,4=q,5=q,n-1=q,n=q………… a1a2a3a4an-2an-1由此归纳，可得等比数列的通项公式：a1qn－1其中a1,q均不为0.
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● 典例分析
例1．已知数列an的通项公式为an32n，试问这个数列是等比数列吗？ 解：因为当n≥2时，
所以数列an是等比数列，且公比为2.
例2.已知等比数列an的公比为q，第m项为am，试求其第n项. 解：由等比数列的通项公式可知：
an=a1qn-1,am=a1qm-1.
两式相除得：
an=qn-m,所以an=amqn-m. am例3. 已知等比数列an中，a5=20,a15=5,求a20. 解：由a15=a5q10，得q10=因此a20=a15q5=11, 所以q5= 4255，或a20=a15q5=-. 22例4．数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且{anan＋1}是以3为公比的等比数列，记bn＝a2n－1＋a2n(n∈N*)．
(1)求a3，a4，a5，a6的值； (2)求证：{bn}是等比数列．
分析：(1)先求anan＋1的表达式再求a3，a4，…，(2)利用定义证明． 解析：(1)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列， ∴anan＋1＝a1a2·3n－1＝2·3n， 2·322·33
∴a3＝a＝6，a4＝a＝9，
232·342·35
a5＝a＝18，a6＝a＝27.
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(2)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列， ∴anan＋1＝3an－1an，即an＋1＝3an－1 ，
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∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…，与a2，a4，a6，…，a2n，…，都是公比为3的等比数列． ∴a2n－1＝2·3n－1，a2n＝3·3n－1， bn＝a2n－1＋a2n＝5·3n－1，
bn＋15·3n
∴b＝n1＝3.故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列．
n5·3－点评：判断一个数列是等比数列的常用方法
an＋1an1．定义法：a＝q(常数)(n∈N*)或＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列．
nan－12．等比中项法：a2an＋2且an≠0，n∈N*⇔{an}为等比数列． n＋1＝an·3．通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．
●课堂总结
1．在证明或判断等比数列时利用等比数列的定义是解决问题的关键．
2．在用等比数列通项公式时，以首项a1，公比q为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与结论的联系，往往使很多问题更容易解决．
3．等比中项在题目中会经常出现，要掌握符号问题
等比数列 1.等比数列定义 学习目标 （1）理解等比数列的定2.等比中项 3.通项公式 义．(重点) （2）掌握等比数列的通注意事项： 1 项公式及其应用．(重 2． 点、难点) 3． （3）熟练掌握等比数列 4. 的判定方法．(易错点) 七．当堂检测
典例分析 例1 例2 例3 例4 学生练习 小结： 作业 当堂检测反馈 1．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④公比q＞1，则数列为递增数列．正确的有( )
A．0个
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B．1个
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C．2个 D．3个
【解析】 公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确，②中只有a，b，c都不为0才正确，④也需要看首项是正还是负，∴只有③正确．
【答案】 B
2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于( ) A．9 B．3 C．－3
D．－9
【解析】 a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6， 由于a1，a3，a4成等比数列，则a23＝a1a4， 所以(a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝－9. 【答案】 D
3．(2013·临沂高二检测)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝( A．－12 B．－2 C．2
D.12
【解析】 ∵a2＝a1q＝2，① a5＝a1q4＝1
4，②
∴②÷①得：q3＝11
8，∴q＝2. 【答案】 D
4．等比数列{an}中，a3＝6，a4＝18，求a1＋a2. 【解】 由题意知q＝a418
a3
＝6＝3，
∴a1q2＝6，得a1＝2
3，
∴a2＝a1q＝223×3＝2，∴a1＋a2＝8
3＋2＝3
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