2011年湖北省数学理科高考试题分析版

试卷类型：A

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数 学(理工农医类解析)

本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.

1i1.i为虚数单位，则1i2011 A.i B.1 C.i D.1 【答案】A

1i1i1i解析：因为，所以i1i1i21i22011i2011i45023i3i，故选A. 1,x2，则CUP x12.已知Uyylog2x,x1，PyyA. , B.0, C.0, D. ,0,

222【答案】A

解析：由已知U0,.P0,，所以CUP,,故选A.

2111123.已知函数fx3sinxcosx，xR，若fx1，则x的取值范围为 A. xkxk,kZ B. 3xkx2kx2k,kZ

35x2kx2k,kZ

66C. xk65,kZ D. 6

【答案】B

解析：由条件3sinxcosx1得sinx1，则 622k6x62k5，解得2kx2k，kZ，所以选B. 634.将两个顶点在抛物线y22pxp0上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则

A. n0 B. n1 C. n2 D. n3 【答案】C

解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 y 顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为30和150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n，n2，所以选C.

O D 00B C F x A 5.已知随机变量服从正态分布N2,2，且P40.8，则P02 A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】C 解析：

如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线x2对称，所以P20.5，并且 y P02P24 则P02P4P2 O 2 4 x 0.80.50.3

所以选C.

6.已知定义在R上的奇函数fx和偶函数gx满足fxgxaaxx2

a0,且a1，若g2a，则f2

A. 2 B. 【答案】B

解析：由条件f2g2aa2215172 C. D. a 442，f2g2a2a22，即

f2g2a2a22，由此解得g22，f2a2a2，

22所以a2，f22215，所以选B. 47.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为

A1

K

A2

A. 0.960 B. 0.8 C. 0.720 D. 0.576 【答案】B

解析：A1、A2至少有一个正常工作的概率为1PA1PA2

110.810.810.040.94，

系统正常工作概率为PK1PA1PA20.90.960.8，所以选B. 8.已知向量axz,3，b2,yz，且a⊥b.若x,y满足不等式xy1，则z的取值范围为

A. 2,2 B. 2,3 C. 3,2 D. 3,3 【答案】D

解析：因为a⊥b，2xz3yz0， 则z2x3y，x,y满足不等式xy1， D(-1,0) 则点x,y的可行域如图所示, 当z2x3y经过点A0,1时，z2x3y取得最大值3 当z2x3y经过点C0,1时，z2x3y取得最小值-3 所以选D.

9.若实数a,b满足a0,b0，且ab0，则称a与b互补，记

O y A(0,1) l1 x B(1,0) C(0,-1) l2 a,ba2b2ab，那么a,b0是a与b互补

A. 必要而不充分条件

B. 充分而不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C

解析：若实数a,b满足a0,b0，且ab0，则a与b至少有一个为0，不妨设b0，

则

a,ba2aaa0；反之，若a,ba2b2ab0，

a2b2ab0

2222两边平方得abab2abab0，则a与b互补，故选C.

10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：MtM02t30，其中M0为t0时铯137的含量，已知t30时，铯137的含量的变化率是10ln2（太贝克/年），则M60 ．．．

A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克 C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克

【答案】D

11/30解析：因为Mtln2M02，则M30ln2M023010ln2，

3030/t30解得M0600，所以Mt6002t30，那么M606002603060011504（太贝克），所以选D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分

115xx11.在展开式中含的项的系数为 .（结果用数值表示） 3x【答案】17 【解析】二项式展开式的通项公式为Tr1118rr11r18rr2C18xCx，令1833x2r18r11218rr15r2，含x15的项的系数为C1817，故填17.

2312.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已

过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】

28 145解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B，则A与B是对立事件，因为

25C27271328282713，所以PA1PB1，所以填. PB21529145145C30152912.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，

上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.

【答案】

67 66解析：设该数列an的首项为a1，公差为d，依题意

4

a7da1a2a3a434a16d313

，即，解得， aaa43a21d4717d

66

则a5a14da17d3d4216767，所以应该填. 366666614.如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系x/Oy/（其中y/轴与y轴重合）所在的平面为，xOx45. （Ⅰ）已知平面内有一点P/22,2，

则点P在平面内的射影P的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面内的曲线C的方程是 //

/0•P/ x/ y (y/) C/  x O x/2 22y/220，则曲线C/在平面内的 射影C的方程是 . 【答案】2,2,x1y21 2解析：（Ⅰ）设点P在平面内的射影P的坐标为x,y，

/•P/ x/ y (y/) C/ 则点P的纵坐标和P22,2纵坐标相同， /所以y2，过点P作PHOy，垂足为H， // P x O H 连结PH，则PHP45，P横坐标

/0 22， 2xPHP/Hcos450x/cos45022/

所以点P在平面内的射影P的坐标为2,2；

/x2x2//0//（Ⅱ）由（Ⅰ）得xxcos45x，yy，所以代入曲线C的方

/2yy程

x/222y/220，得

2x222y220x12y21，所以射影

C的方程填x12y21.

15.给n个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示： ．．．．

n=1

n=2

n=3

n=4

由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻着色方案共有 种，至少有两个黑色正方．．．．形相邻着色方案共有 种.（结果用数值表示） ．．【答案】21,43

解析：设n个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为an，由图可知， ．．．．

a12，a23，

a3523a1a2， a4835a2a3，

由此推断a5a3a45613，a6a4a581321，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有2222222种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21．．．．种，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有2143种着色方案，故分别填．．

621,43.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分）

设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a1，b2，cosC（Ⅰ）求ABC的周长； （Ⅱ）求cosAC的值.

1. 4

本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵cab2abcosC144∴c2

∴ABC的周长为abc1225.

22214 415112（Ⅱ）∵cosC，∴sinC1cosC1，

4442∴sinAasinCc15415 282∵ac，∴AC,故A为锐角，

157 ∴cosA1sin2A188∴cosACcosAcosCsinAsinC71151511. 84841617．（本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （Ⅰ）当0x200时，求函数vx的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）fxxvx可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（Ⅰ）由题意：当0x20时，vx60；当20x200时，设vxaxb，

1a200ab03显然vxaxb在20,200是减函数，由已知得，解得

20ab60b20030x20,60,故函数vx的表达式为vx=1

200x,20x200.30x20,60x,（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得fx1

x200x,20x200.3

当0x20时，fx为增函数，故当x20时，其最大值为60201200；

11x200x10000当20x200时，fxx200x， 33232当且仅当x200x，即x100时，等号成立．

10000． 3100003333， 综上，当x100时，fx在区间0,200上取得最大值3所以，当x100时，fx在区间20,200上取得最大值

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．

（Ⅰ）当CF1时，求证EFA1C；

（Ⅱ）设二面角CAFE的大小为，tan的最小值． 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力. 解析：

A1 B1 C1

A E B

C

19.（本小题满分13分）

已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1a(a0)，an1rSn (nN*，

rR,r1).

（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）若存在k N*，使得Sk1，试判断：对于任意的mN*，Sk，Sk2成等差数列，且m2，am1，am，am2是否成等差数列，并证明你的结论.

20. （本小题满分14分）

平面内与两定点A1(a,0)，A2(a,0)(a0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线. （Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；

（Ⅱ）当m1时，对应的曲线为C1；对给定的m(1,0)U(0,)，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点。试问：在C1撒谎个，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S|m|a2。若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数f(x)Inxx1，x(0,)，求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设a1,b1(k1,2„，n)均为正数，证明：

（1）若a1b1a2b2„anbnb1b2„bn，则a1ba2b„anb1； （2）若b1b2„bn=1，则

12n1b1ab2a„bnab12b22„bn2。 n`12

n