第７卷第２３期 黑龙江科学 Ｖ０１．７ ２０１６年１２月 ＨＥＩＬＯＮＧＪＩＡＮＧ ＳＣＩＥＮＣＥ Ｄｅｃｅｍｂｅｒ ２０１６ 均值不等式的应用与实践 赵 秀 （兴义民族师范学院数学科学学院，贵州兴义５６２４００） 摘要：均值不等式是不等式的一种特殊种类，在不等式之中处于核心地位，在解题及现实生活中有着广泛的应用，也是高考中的一 个重点。通过分析均值不等式的应用与实践，对学生逻辑思维能力及实践能力的培养有重要意义。 关键词：均值不等式；应用；实践 中图分类号：Ｇ６３４．６ 文献标志码：Ｂ 文章编号：１６７４－８６４６（２０１６）２３—００２５—０２ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｏｆ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ＺＨＡＯ Ｘｉｕ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｘｉｎｇｙｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ，Ｘｉｎｇｙｉ ５６２４００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｓ ａ ｓｐｅｃｉｌａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ．Ｉｔ ｉｓ ｗｉｄｅｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｎｄ ｒｅａｌ ｌｉｆｅ，ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ ａ ｋｅｙ ｐｏｉｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｇｅ ｅｎｔｒａｎｃｅ ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｎａａｌｙｚｅｓ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｏｆ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｉｍｐｏｒｔｎａｔ ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｃｅ ｔｏ ｔｈｅ ｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ａｂｉｌｉｔｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；Ｐｒａｃｔｉｃｅ １ 均值不等式及其推广 ＝（ ． ．１…１）÷≤ ， １．１均值不等式 （括号内为ｎ项积） 如果口，６是正数， ￣ｊ ．／ ａ ２＋ｂ≥ （当且仅当。＝ ２４ｒｎ－＋：——ｎ－２≤ 蔓 ：＿２＋１＝＝。 ｒｔ ｎ ｂ时取等号）。 １．２均值不等式推广（推广到有限个正数） 从而有０≤ 一１≤ ，由两边夹原则知， √凡 如果 ＝１，２，…哪Ｂ么 ≥ ｌｉＩＩ ＝１。 Ｊａｉａ２…ａ （当且仅当０ ＝口 ：…＝０ 时取等号）。 ２．２用均值不等式求最值 注意①０ ＞０，ｉ＝１，２，…ｎ； 例２，已知２ｂ 一ａ ＝１，求Ｙ＝ｌａ一２ｂｌ的最小值。 ②若口。＋口：＋…＋口 为定值时，就能确定 解：’．。Ｙ＝１ ａ一２ｂ Ｉ ·￣／０１口２…０ 的最大值； ．．Ｙ＝￣／Ｉ口一２ｂ Ｉ ＝￣／０ ＋４ｂ 一４ａｂ 若￣／０。０：…０ 为定值时，就能确定０ ＋口： ≥ ＋４ｂ 一２（口。＋ｂ。） ＋…＋口 的最小值； ：、 ：１． ③当且仅当ａ ＝ａ：＝…＝ａ 时，等式成立。 当且仅当ａ＝ｂ，２ｂ 一ａ ＝１，即口＝ｂ＝１或ａ＝ｂ＝ 总结：一正二定三相等。 一１时，Ｙ的最小值为１。 ２均值不等式在解题中的应用 ２．３用均值不等式求函数值域 例３，求 ）＝ 的值域。 ２．１用均值不等式求极限 例１，求极限ｌｉｍ 。 解 ＝ ＝ Ｊｌ—’∞ 解：由ｎ元均值不等式，有 ＝丢【（ ）＋击］’ 收稿日期：２０１６—１０—０９ 作者简介：赵秀（１９６７一），女，学士，副教授。 当 ＞１时， 一１＞０ ）≥÷（２ ）＝ ， 当且仅当（ 一１）＝ 时，即 ＝ ＋１时，等 ｌ 一ｌ Ｊ 号成立；当 ＜１时， 一１＜ｏ，厂（ ）≤ （一２ ）： 一 ． 综上所述，厂（ ）的值域为（一∞，一 ］ｕ ［ ，＋。。）。 ２．４用均值不等式比较大小 例４，若口＞６＞１，Ｐ：￣／—ｌｏｇａ￣—ｌｏｇｂ，Ｑ： １（１。ｇ口＋ ｌｏｇｂ），Ｒ：ｌｏｇ（ 譬），试判断Ｐ、Ｑ、Ｒ之间的大小 关系。 解：根据题意，可由均值不等式，得： Ｑ： （１。ｇ口＋ｌｏｇｂ）≥，／—ｌｏｇａ￣—ｌｏｇｂ：Ｐ， 即，Ｑ＞Ｐ， 又·．· ＞ ·．． ＝ｌｏｇ（ ） ｇ ＝ ｌｏｇ０６ ： （１。ｇ。＋ｌｏｇｂ）：Ｑ 即Ｒ＞Ｑ。 由于ａ＞ｂ，所以ａ≠６，所以不能取等号， 即Ｒ＞Ｑ＞Ｐ。 ３均值不等式在现实生活中的实践应用 罗丹曾说过：生活不是缺少美，只是缺少发现美的 眼睛。这句话同样适用于数学，生活中不是缺少均值 不等式的应用，只是缺少我们的细心观察。数学源于 生活，又高于生活，均值不等式在生活中有着广泛的应 用，例如，在机械铸造、建设投资、商品销售等问题上都 有均值不等式的身影。 ３．１ 运用均值不等式，解决机械铸造问题 例５，用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为 ２ ｍ 的正四棱锥形有盖容器，设容器高为ｈ（ｍ），盖子 边长为口（ｍ）。 １）求ａ关于ｈ的函数解析式； ２）设容器的容积为 ，则当ａ为何值时， 最大， 求最大值。 １ 解：根据题意得：口＝ １ （ｈ＞０），然而， ＝ √ｈ‘＋１ 争。。２ ＝ ＝ 。根据均值不等式可 。根据均值不等式司 得： １＿ ≤ ，当且仅当 ＝ 取等号。此时， ：ｌ，口： ，即 的最大值为 。 ３．２运用均值不等式，解决建设投资问题 例６，某单位决定投资３ ２００元建一仓库（长方体 状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁 栏，每１ｍ长造价４０元，两侧墙砌砖，每１ｍ长造价４５ 元，顶部每１ＩｒＩ２造价２０元。计算： １）仓库底面积Ｊｓ的最大允许值是多少？ ２）为使Ｉｓ达到最大，而实际投资又不超过预算， 那么正面铁栏应设计为多长？ 解：设铁栏长为ｘｍ，一堵砖墙长为ｙｍ，则有ｓ Ｘｙｏ 由题意得：４０ｘ＋２ ｘ４５ｙ＋２０ｘｙ＝３２００ 应用算术平均数与几何平均数定理，得： ３２００≥２＃＇４—０ｘ￣—９０ｙ＋２０ｘｙ ＝１２０√ ＋２０ｘｙ＝１２０ ｓ＋２０Ｓ， －．．Ｓ＋６ １６０， 即（ ＋１６）（ 一１０）≤０． ·．’ ＋１６１＞０， ·一．． １０￣＜０， 从而Ｓ≤１００． 因此，．ｓ的最大允许值是１００ ｍ ，取得此最大值的 条件是４０ｘ＝９０ｙ，而ｘｙ＝１００，由此求得 ＝１５，即铁栏 的长应是１５ｍ。 ４结语 处理均值不等式在解决实际应用问题应该按照以 下几点要求进行： 第一，读题和审题，读题时要对题目的条件及要求 有个粗略的了解，形成框架，审题时要明确题目的各个 条件（包括隐含条件），明确求解。第二，审完题后，设 出变量，建立数学模型，即抽象出函数关系式。第三， 在该问题有意义的自变量的取值范围内（即定义域）， 求出问题的解。第四，从数学模型之中还原到实际问 题之中，写出实际问题的解法和解答过程。
