贵州省遵义航天高级中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题

高二数学（理科）试题

考试时间：120分钟 满 分：150分

第Ⅰ卷：选择题

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填写在答题卡上．） 1．集合M{x|lgx0}，N{x|x24}，则MN （ ）

A. (0,2) B. [1,2) C. (0,2] D. (1,2] 2．设i为虚数单位，则复数

A．12i

3. 阅读右侧程序框图，输出的结果i的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．9

i2=( ) iB．12i C．12i D．12i

开始S1i3是4．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A．12种 B．10种 C．种

D．种

输出iS100?否SS2i5．设a为实数，函数f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x)，且f(x)是偶函数， 则曲线：yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为（ ）

A. 9x结束ii2y160 B. 9xy160 C. 6xy120 D. 6xy120

6．在平面直角坐标系中，已知向量a(1,2),a（ ）

1b(3,1),c(x,3),若(2ab)//c，则x=2D．-1

A．-2 B．-4 C．-3

7.已知等比数列{an}满足an0,n1,2,,且a5·a6=2，则log2a1+ log2a2+…+ log2a10=（ ）A．2

B．4 C．5

D．2

5

x2y28.已知双曲线C ：2-2=1的焦距为10 ，点（P2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为（ ）

abx2y2x2y2x2y2x2y2A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=19．已知某个几何体的

20520805208020三视图如下，

根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

1A．cm3

3正视图 侧视图 俯视图

248 B．cm3 C．cm3 D．cm3

33310．如图，长方形的四个顶点为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2)，曲线yx经过点B，现

将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ） A．

11．将函数f（x）＝3sin（4x＋

5123 B． C． D． 12234）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个66单位长度，得到函数ygx的图象．则ygx图象的一条对称轴是（ ） A．x＝

 B．x＝ 126C．x＝

 3D．x＝

2 312．已知函数f(x)定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)ex(x1)，给出下列命题： ①当x0时，f(x)ex(1x); ②函数f(x)有2个零点

③f(x)0的解集为(1,0)(1,) ④x1,x2R，都有|f(x1)f(x2)|2 其中正确命题个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

213．在(2x15)的二项展开式中，x的系数为 xx2y23aP为直线xF2PF114．设F1，F2是椭圆E:221(ab0)的左、右焦点，上一点，

2ab是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为



xy1015. 设变量x,y满足约束条件x2y20，则zxy的最大值是

2xy7016.下列4个命题：

①xR,x2x10；

②已知随机变量X服从正态分布N（3，2），P（X≤6）=0．72，则P（X≤0）=0．28; ③函数f(x)alog2|x|xb为奇函数的充要条件是ab0；

aea2e,则a在e方向上的投影为④已知e是单位向量，1， 2其中正确命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤并写在答题卡指定位置。 17. （本小题满分12分）

已知向量m(sinA,sinB)，n(cosB,cosA)，mnsin2C，其中A、B、C为

ABC的内角.

(1)求角C的大小；

(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA(ABAC)18，求AB的长.

18.（本小题满分12分）

为迎接2016年奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：

（1）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个得分与其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；

（2）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值的分布列与期望.

甲

8

5 4 5 4 1

1

7 8 9

乙

9

4 4 6 7 4 1

19．（本小题满分12分）

如图5所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,点E在线段PC上,PC平面BDE. (1)证明:BD平面PAC;

(2)若PA1,AD2,求二面角BPCA的正切值.

20．（本小题满分12分）

x2y23已知椭圆221（ab0）的焦距为23，离心率为.

ab2（1）求椭圆方程；

（2）设过椭圆顶点B(0,b)，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，

且BD,BE,DE成等比数列，求k2的值.

21.（本小题共12分）

已知函数f(x)xalnx，g(x)1a, (aR). x（1）若a1，求函数f(x)的极值；

（2）设函数h(x)f(x)g(x)，求函数h(x)的单调区间；

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OAOB,CACB,⊙O交直线OB于E，D，连接EC,CD．

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

E O D 1（2）若tanCED,⊙O的半径为3，求OA的长．

2

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

A C B 2x3t2在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，在极坐

2y5t2标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为 ρ＝25sin θ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.

24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲

已知函数f(x)|x1|

(1)解不等式f(x)f(x4)8；

(2)若|a|1,|b|1，且a0，求证：f(ab)|a|f().

ba

2014--2015学年第二学期期末联考

高二数学（理科）答案

一、选择题： 题号 1 答案 D 2 A 3 C 4 A 5 A 6 D 7 C 8 A 9 C 10 C 11 C 12 B （2）填空题：13．-40 14． 三、解答题：

3 15． 5 16．②④ 417．解：(Ⅰ)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB) ………………………(2分)

对于ABC,ABC,0Csin(AB)sinC，

mnsinC.

………………………(4分)

1sin2CsinC,cosC,C.23 ………………………(6分) 又mnsin2C，

,得2sinCsinAsinB， (Ⅱ)由sinA,sinC,sinB成等差比数列由正弦定理得2cab.

………………………(8分)

CA(ABAC)18,CACB18，

即abcosC18,ab36.

222……………………(10分)

2由余弦弦定理cab2abcosC(ab)3ab，

c24c2336,c236，c6. ……………(12分)

18.（本小题满分12分）

解:（1）有茎叶图可知，甲运动员七轮比赛的得分情况为：78，81，84，85，84，85，91．

所以甲每轮比赛的平均得分为

x17881848584859184

7显然甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共有5个，分别为81，

84，85，84，85，

3C42其中81分与平均得分的绝对值大于2，所求概率P3。………6分

C55（2）设甲、乙两名运动员的得分分别为x,y，则得分之差的绝对值为xy。

显然，由茎叶图可知，的可能取值为0，1，2，3，5，6．

11C2C6当=0时，xy84，故P013; 1C5C52511C2C8当=1时，x85,y84或y86，故P114; 1C5C525

112C2C4当=2时，x84,y86或x85,y87，故P2111;

C5C5251111C1C3C2C11当=3时，x81,y84或x84,y87，故P3; 11C5C5511C1C1当=5时，x81,y86，故P511; 1C5C52511C1C1当=6时，x81,y87，故P611;所以的分布列为： 1C5C525 0 1 2 3 5 6 168411 P 5252525252568411142E012356.………12分

252525525252519. 解:

(1)因为PC平面BDE,BD平面BDE,所以PCBD.又因为PADBD平面ABC,D所以PA平面ABC,B.D而

PCPAP,PC平面PAC,PA平面PAC,所以BD平面PAC. ---------5分

(2)由(1)可知BD平面PAC,而AC平面PAC,所以BDAC,而ABCD为矩形,

所以ABCD为正方形,于是ABAD2.

以A点为原点,AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系ABDP.则

P0,0,1、C2,2,0、B2,0,0、D0,2,0,于是BC0,2,0,PB2,0,1.

2y0n1BC0设平面PBC的一个法向量为n1x,y,z,则,从而, 2xz0n1PB0令x1,得n11,0,2.而平面PAC的一个法向量为n2BD2,2,0.

所以二面角BPCA的余弦值为cosn1,n2n1n2n1n2=210, 52210于是二面角BPCA的正切值为3. ----------12分 20、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知2c23，

c3. ……………2分 a2E D y B x O 解得a2,c3， ……………4分 所以bac1，

222x2y21. ……………5分 椭圆的方程为4（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B点的直线为ykx1，

x22y1,22由4 得(4k1)x8kx0， ……………6分 ykx1,14k28k所以xD，所以yD， ……………7分

14k214k21依题意k0，k.

22因为BD,BE,DE成等比数列，所以BEBDDE，

所以b(1yD)yD，即(1yD)yD1， ……………9分

2当yD0时，yDyD10，无解， ……………10分 2当yD0时，yDyD10，解得yD215， ……………11分 214k215252所以，解得， k214k24所以，当BD,BE,DE成等比数列时，k2２１. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,)， 当a1时，f(x)xlnx，f(x)125. ……………12分 4x f(x) f(x) (0,1) — 1 0 极小 1x1 ， xx (1,) +

所以f(x)在x1处取得极小值1. （Ⅱ）h(x)x1aalnx， x1aax2ax(1a)(x1)[x(1a)] h(x)1222xxxx

①当a10时，即a1时，在(0,1a)上h(x)0，在(1a,)上h(x)0， 所以h(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,)上单调递增； ②当1a0，即a1时，在(0,)上h(x)0，

所以，函数h(x)在(0,)上单调递增.

22证明：（Ⅰ）如图，连接OC,OA =OB,CA=CB,OCAB

OC是圆的半径，AB是圆的切线． （3分） （Ⅱ）ED是直径，ECD90,EEDC90

又BCDOCD90,OCDOCD,BCDE,又CBDEBC,

BCD∽BEC,BCBDBC2BD.BE （5分） BEBCCD1tanCED,

BC2

BDCD1 （7分） BCEC22设BD=X，则BC=2X，BC2=BD BE  BD=2…（9分） （2）=（+6）OAOB=BD+OD=2+3=5 （10）分

BCD∽BEC,23. （本小题满分10分）

解：(1)由ρ＝25sin θ，得x2＋y2－25y＝0，

即x2＋(y－5)2＝5. -----------5分 (2)法一：将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程， 得(3－

222

t)＋(t)2＝5， 即t2－32t＋4＝0. 22

由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，

t1＋t2＝32，

所以

t2＝4.t1·

又直线l过点P(3，5)，

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.-----------10分 (2)法二：因为圆C的圆心为(0，5)，半径r＝5， 直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋5.

x＋y－5＝5，

由得x2－3x＋2＝0. y＝－x＋3＋5.x＝1，x＝2，解得：或 

y＝2＋5.y＝1＋5.

不妨设A(1,2＋5)，B(2,1＋5)， 又点P的坐标为(3，5)，

故|PA|＋|PB|＝8＋2＝32. -----------10分

22

－2x－2，x＜－3，

－3≤x≤1， 24.（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝4，

2x＋2，x＞1．

当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；

当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立； 当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3．

所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}． …………5分

b

（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|． …………6分

a因为|a|＜1，|b|＜1，

22222222

所以|ab－1|－|a－b|＝(ab－2ab＋1)－(a－2ab＋b)＝(a－1)(b－1)＞0， 所以|ab－1|＞|a－b|．

故所证不等式成立． ……………10分