学而思 小升初专项训练_行程篇(1) 教师版

名校真题 测试卷4 （行程篇一）

时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________

1 （06年清华附中考题）

大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶，大货车先走1.5小时，小轿车出发后4小时后追上了大货车.如果小轿车每小时多行5千米，那么出发后3小时就追上了大货车.问：小轿车实际上每小时行多少千米？

2 （06年西城实验考题）

小强骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。由于途中有2千米正在修路，只好推车步行，步行速度只有骑车的1/3，结果用了36分钟才到学校。小强家到学校有多少千米?

3 （05年101中学考题）

小灵通和爷爷同时从这里出发回家，小灵通步行回去，爷爷在前

4的路程中乘车，车速是小灵通步行速度7的10倍．其余路程爷爷走回去，爷爷步行的速度只有小灵通步行速度的一半，您猜一猜咱们爷孙俩谁先到家？

4 （06年三帆中学考题）

客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的

3，甲、乙两城相距多少千米？ 4

5 (02年附中考题)

小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？

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【附答案】

1 【解】根据追及问题的总结可知：4速度差=1.5大货车；3（速度差+5）=1.5大货车，所以速度差=15，所以大货车的速度为60千米每小时，所以小轿车速度=75千米每小时。

2 【解】小强比平时多用了16分钟，步行速度：骑车速度=1/3：1=1：3，那么在2千米中，时间比=3：1，所以步行多用了2份时间，所以1份就是16÷2=8分钟，那么原来走2千米骑车8分钟，所以20分钟的骑车路程就是家到学校的路程=2×20÷8=5千米。

3 【解】不妨设爷爷步行的速度为“1”，则小灵通步行的速度为“2”，车速则为“20”．到家需走的路程为“1”．有小灵通到家所需时间为1÷2＝0.5，爷爷到家所需时间为

431616÷20+÷1＝．＜0.5，773535所以爷爷先到家

4 【解】客车速度：货车速度=4：3，那么同样时间里路程比=4：3，也就是说客车比货车多行了1份，多30千米；所以客车走了30×4=120千米，所以两城相距120×2=240千米。

5 【解】后一半路程和原来的时间相等，这样前面一半的路程中现在的速度比=3：1，所以时间比=1：3，也就是节省了2份时间就是10分钟，所以原来走路的时间就是10÷2×3=15分钟，所以总共是30分钟。

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第四讲 小升初专项训练 行程篇（一）

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一、小升初考试热点及命题方向

行程问题是历年小升初的考试重点，各学校都把行程当压轴题处理，可见学校对行程的重视程度，由于行程题本身题干就很长，模型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼，而这也是学校考察的重点，这可以充分体现学生对题目的分析能力。

二、2007年考点预测

2007年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查行程，命题的热点在于相遇和追及的综合题型，以及环形跑道上的二次相遇问题，注意这类题型多运用比例关系解题较为简捷。

三、基本公式

【基本公式】：路程＝速度×时间 【基本类型】

相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程； 追及问题：速度差×追及时间＝路程差；

流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响； 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速

静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 （也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个） 其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏； 【复杂的行程】

公式需牢记 1、多次相遇问题；

做题有信心！ 2、环形行程问题；

3、运用比例、方程等解复杂的题；

四、典型例题解析

1 典型的相遇问题

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【例1】（★★）甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米／秒，乙比原来速度减少2米／秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。

提示：环形跑道的相遇问题。

【解】：因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24秒，则相遇前两人和跑一圈也用24秒，方法有二。

法一：以甲为研究对象，甲以原速V甲跑了24秒的路程与以（V甲+2 ）跑了24秒的路程之和等于400米，24V甲+24（V甲+2 ）=400 易得V甲=71米/秒 3400，24法二：由跑同样一段路程时间一样，得到（V甲+2）=V乙 二者速度差为2；二者速度和（V甲+V乙）=典型和差问题。由公式得：（

4001－2）÷2=V甲 ， V甲=7米/秒

324

【例2】（★★）小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？

【解】：：因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少4分钟。（70×4）÷（90-70）=14分钟 可知小强第二次走了14分钟，他第一次走了14＋4=18分钟； 两人家的距离：（52+70）×18=2196（米）

【例3】（★★★）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米。甲车原来每小时向多少千米？ （13届迎春杯决赛题）

【解】：设乙增加速度后，两车在D处相遇，所用时间为T小时。甲增加速度后，两车在E处相遇。由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。于是，甲、乙不增加速度时，经T小时分别到达D、E。DE＝12＋16＝28（千米）。由于甲或乙增加速度每小时5千米，两车在D或E相遇，所以用每小时5千米的速度，T小时 走过28千米，从而T＝28÷5＝所以甲原来每小时行12÷

28282小时,甲用6－＝（小时），走过12千米，

5552＝30（千米） 5

2 典型的追及问题

【例4】（★★★）在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？

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【解】：甲实际跑100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑100/5=20（秒），休息10秒； 乙跑100/4=25（秒），休息10秒，甲实际跑100秒时，已经休息4次，刚跑完第5次，共用140秒； 这时乙实际跑了100秒，第4次休息结束。正好追上。 答：甲追上乙需要时间是140秒。

3 相遇与追及的综合题型

【例5】（★★）甲、乙两车的速度分别为 52千米／时和 40千米／时，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。

【解】：

方法1：甲乙两车最初的过程类似追及，速度差×追及时间＝路程差；路程差为72千米；72千米就是1小时的甲车和卡车的路程和，速度和×相遇时间＝路程和，得到速度和为72千米／时，所以卡车速度为72-40=32千米／时。

方法2: 52×6-40×7=32千米／时

【拓展】:甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。

39千米/小时。 提示:先利用甲，乙两车的速度及与迎面开来的卡车相遇的时间，求出卡车速度为24千米/小时

【拓展】:快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为24千米／时和19千米／时，求中速车的速度。

4 多次折返的行程问题

【例6】（★★★★）一个圆的圆周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头。如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒、„„，即是一个由连续奇数组成的数列。问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？

[方法一]：找路程规律

[思 路]：通过处理，找出每次爬行缩小的距离关系规律。

【解】：两只蚂蚁相距1.26÷2=0.63米=63厘米，相向爬行1秒距离缩小5.5+3.5=9（厘米），

如果不调头需要63÷9=7（秒）相遇。

第1轮爬行1秒，假设向上半圆方向爬，距离缩小9×1厘米；

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第2轮爬行3秒，调头向下半圆方向爬，距离缩小9×（3-1）=9×2厘米； 第3轮爬行5秒，调头向上半圆方向爬，距离缩小9×（5-2）=9×3厘米；„„ 每爬行1轮距离缩小9×1厘米，所以爬行7轮相遇，时间是7×7=49（秒） 答：它们相遇时，已爬行的时间是49秒。

[方法二]：

[思 路]：对于这种不断改变前进方向的问题，我们先看简单的情况：

在一条直线上，如上面图形，一只蚂蚁先从0点出发向右走，然后按照经过1秒、3秒„„改变方向.

由于它的速度没有变化，可以认为蚂蚁每秒钟走一格. 第一次改变方向时，它到A1，走1格，OA1=1格； 第二次改变方向时，它到A2，走3格，OA2=2格； 第三次改变方向时，它到A3，走5格，OA3=3格； 第四次改变方向时，它到A4，走7格，OA4=4格； 第五次改变方向时，它到A5，走9格，OA5=5格.

我们不难发现，小蚂蚁的活动范围在不断扩大，每次离0点都远了一格.当两只蚂蚁活动范围重合时，也就是它们相遇的时候. 另外我们从上面的分析可知，每一次改变方向时，两只蚂蚁都在出发点的同一侧.这样，通过相遇问题，我们可以求出它们改变方向的次数，进而求出总时间.

【解】：由前面分析知，每一次改变方向时，两只蚂蚁之间的距离都缩短：5.5+3.5=9厘米. 所以，到相遇时，它们已改变方向： 1.26×100÷2÷9=7次.

也就是在第7次要改变方向时，两只蚂蚁相遇，用时： 1+3+5+7+9+11+13=49秒.

5 上山下山的行程问题

【例7】（★★★★）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

【解1】：甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的1*1.5+1/2=2倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。

两人相遇时走了1小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了1小时，所以甲下山要用1/2小时。

甲一共走了1+1/2=1.5（小时） 【解2】：相遇时甲已经下山600米，走这600米的时间，如果甲用上山速度只能走600/1.5=400米，所以上山速度一小时甲比乙多走600+400=1000米。

乙到山顶时甲下到半山腰，甲走1/2下山路的时间，如果用来上山，只能走1/2/1.5=1/3的上山路，所以乙走完上山路的时间里，甲可以走上山路的1+1/3=4/3倍，说明上山速度甲是乙的4/3倍。

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甲上山速度是1000/（4/3-1）=4000（米），下山速度是4000*1.5=6000（米），上山路程是4000-400=3600（米），出发1小时后，甲还有下山路3600-600=3000（米），要走6000/3000=0.5（小时） 一共要走1+0.5=1.5（小时）

6 流水行船问题

关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；

顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速

静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 必须熟练运用：水速顺度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个量求另外2个量

【例8】（★★）一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。求水流的速度。

【解】：两次航行都用16时，而第一次比第二次顺流多行60千米，逆流少行40千米，这表明顺流行60千米与逆流行40千米所用的时间相等，即顺流速度是逆流速度的1.5倍。将第一次航行看成是16时顺流航行了120＋80×1.5＝240（千米），由此得到顺流速度为240÷16＝15（千米／时），逆流速度为15÷1.5=10（千米／时），最后求出水流速度为（15－10）÷2＝2.5（千米／时）。

【例9】（★★★）某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。

【解】：物体漂流的速度与水流速度相同，所以甲船与物体的速度差即为甲船本身的船速（水速作用抵消），甲的船速为1÷

1=15千米/小时；乙船与物体是个相遇问题，速度和正好为乙本身的船速，所以相遇时15间为：45÷15=3小时

【拓展】甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站顺水向下游的B站驶去，与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶来。7.2时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。已知甲轮船与自漂水流测试仪2.5时后相距31.25千米，甲、乙两船航速相等，求A，B两站的距离。 【解】：因为测试仪的漂流速度与水流速度相同，所以若水不流动，则7.2时后乙船到达A站，2.5时后甲船距 A站 31.25千米。由此求出甲、乙船的航速为31.25÷2.5＝12.5（千米／时）。 A，B两站相距12.5×7.2=90（千米）。

【例10】（★★★）江上有甲、乙两码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下驶，5小时后货船追上游船。又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？

【解】：此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中，两者的追及距离是15千米，共用了5小时，故两者的速度差是15÷5=3千米。由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是3千米。在紧接着的1个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距3*1=3千米。这时货船上的东西落入水中，6分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度*1/10千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速度之

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和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度*1/10÷货船的静水速度=1/10小时。按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10千米，两者到相遇共用了1/10小时，帮两者的速度和是每小时33/10÷1/10=33千米，这与它们两在静水中的速度和相等。（解释一下）又已知在静水中货船比游船每小时快3千米，故游船的速度为每小时（33-3）÷2=15千米。

【例11】（★★★）一只小船从甲地到乙地往返一次共用2时，回来时顺水，比去时每时多行驶8千米，因此第2时比第1时多行驶6千米。求甲、乙两地的距离。 【解1】：下图中实线为第1时行的路程，虚线为第2时行的路程。

由上图看出，在顺水行驶一个单程的时间，逆水比顺水少行驶6千米。

距

【解2】：：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图

第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米. 为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.考虑第二小时从B到

A过程，D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此

顺水速度∶逆水速度=5∶3.

由于两者速度差是8千米.立即可得出

A至B距离是 12＋3=15（千米）.

答：A至B两地距离是15千米.

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1）典型的相遇问题。参见例1，2，3 2）典型的追及问题。参见例4

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3）相遇与追及的综合题型。参见例5 4）多次折返的行程问题。参见例6 5）上山下山的行程问题。参见例7

6）流水行船问题。参见例8，9，10，11

【课外知识】

美国作家欧；亨利在他的小说《最后一片叶子》里讲了个故事：病房里，一个生命垂危的病人从房间里看见窗外的一棵树，在秋风中一片片地掉落下来。病人望着眼前的萧萧落叶，身体也随之每况愈下，一天不如一天。她说：“当树叶全部掉光时，我也就要死了。”一位老画家得知后，用彩笔画了一片叶脉青翠的树叶挂在树枝上。最后一片叶子始终没掉下来。只因为生命中的这片绿，病人竟奇迹般地活了下来。

温馨提示：人生可以没有很多东西，却唯独不能没有希望。希望是人类生活的一项重要的价值。有希望之处，生命就生生不息！

作业题

（注：作业题--例题类型对照表，供参考）

题1，6，7—类型1；题2，4，5—类型3；题3，8—类型2； 1、（★★★）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ ①乙丙相遇时间：

（60＋75）×2÷（67.5—60）=36（分钟）。 ②东西两镇之间相距多少米？

（67.5＋75）×36=5130（米） 2、（★★）在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？ 设用字母a表示甲速，用字母b表示乙速（a＞b）。 （a+b）×4=（a—b）×12

a∶b=2∶1（甲、乙速度比是2∶1）

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3、（★★★）晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走60米，则要迟到5分钟，如果每分钟走75米，则可提前2分钟到校.求晶晶到校的路程？（盈亏问题） （60×5+75×2）÷（75—60）=30（分钟），60×（30+5）=2100（米） 4、（★★★）小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追，把书包交给他后立即返回家。小马虎接到书包后又走了10分钟到达学校，这时爸爸也正好到家。如果爸爸的速度是小马虎速度的4倍，那么小马虎从家到学校共用多少时间？

50分。

解：由下图看出，爸爸把书包交给小马虎后，小马虎到学校用10分，爸爸返回家用10分，这段路小马虎走了40分。所以小马虎从家到学校共用10＋40=50（分）。

5、（★★★）某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？ 7倍

解：由下图看出，汽车追上骑车人后10分遇到步行人，此时骑车人到达B地；又过10分，步行人与骑车人在B点相遇。所以，汽车10分的路等于步行10分加骑车20分的路，也等于步行10＋20×3＝70（分）的路。所以汽车速度是步行速度的70÷10=7（倍）。

6、（★★）甲、乙同时从 A， B两地相向走来。甲每时走 5千米，两人相遇后，乙再走10千米到A地，甲再走1.6时到B地。乙每时走多少千米？ 4千米。

提示：从起点到相遇所用时间 10÷5=2小时 乙的速度 5×1.6÷2=4千米/小时 7、（★★）甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。

176千米。

8、（★★★）甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？

680米。提示：先求长跑运动员的速度。

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