全国高中数赛模拟试题(三)
第一试
一、选择题(共36分)
2π4π6π
1. 化简cos＋cos＋cos的值为 ( )
777
11
A.－1 B.1 C.－ D.
22
Sn7n＋4
2. Sn和Tn分别是等差数列{an}和{bn}的前n项和,且对任意的自然数n都满足＝,
Tn4n＋27
a11
那么＝ ( )
b1147378A. B. C. D. 34271
3. 直线xcosθ＋y＋m＝0(式中θ是△ABC的最大角),那么此直线的倾斜角变化范围是
( )
1ππ2π
A.(－arctan,) B.[0,)∪(,π)
2443ππ1C.[0,] D.[0,]∪[π－arctan,π]
442
2222
4. 设实数m,n,x,y满足m＋n＝a,x＋y＝b,其中a,b为正常数且a≠b,那么mx＋ny的最
大值为 ( )
a＋bA. 2
B.ab
2abC. a＋b
a＋bD.
2
225. 如图,平面α中有△ABC和△A1B1C1分别在直线m的两侧,它们与m无公共点,并且关于m
成轴对称,现将α沿m折成一个直二面角,那么A,B,C,A1,B1,C1六个点可以确定的平面个数为 ( ) A.14 B.11 C.17 D.20
B 6. 以凸n边形的各边为直径作圆,使这个凸n边形必能
A C 被这n个圆面所覆盖,那么n的最大值为( ) m A.3 B.4 C.5 D.6 C1 A1
α B1 二、填空题(共54分)
π
7. 0＜x＜,logsinxcosx与logcosxtanx的首数均为零,尾数和为1,那么x＝_________.
28. 设2000＝2a12a22an,其中a1,a2,……,an是两两不等的非负整数,那么a1＋a2
＋…＋an＝___________.
32
9. 不等式a≤x－3x＋4≤6的解集为{x|a≤x≤b},其中0＜a＜b,那么b＝___________.
4
10. f(x)＝x＋(lga＋2)x＋lgb,且f(－1)＝－2,f(x)≥2x对一切x∈R都成立,那么a＋b
＝_____________. 11. 正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为25,AB＝8,A1B1＝4,那么异面直线A1B与B1C的距离为
____. 12. 方程(x－x－1)
2
2
x＋2
＝1的解集为_________________.
三、解做题(共计60分) 13. (20分)设f(x)＝(1＋x＋x
2
)n＝c0＋c1x＋c2x2＋……＋c2nx2n,那么c0＋c3
＋c6＋……＝c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝3n－1.
2
14. (20分)满足不等式lg(20－5x)＞lg(a－x)＋1的整数x只有一个,试求常数a的取值
范围.
15. (20分)设y＝f(x)是定义在R上的实函数,而且满足条件：对任意的a,b∈R,有f[af(b)]
＝ab,试求|f(2000)|.
第二试
一、(50分)如图,D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的点,
且∠FDE＝∠A,∠DEF＝∠B,又设△AFE,△BDF和△DEF均A 为锐角三角形,他们的垂心分别为H1,H2,H3.求证： (1)∠H2DH3＝∠FH1E； (2)△H1H2H3≌△DEF. F H1
E
H2
H3 B C
D
二、(50分)设C0,C1,C2,……是坐标平面上的一族圆(周),其定
义如下：
22
(1)C0是单位圆x＋y＝1；
(2)任取n∈Z且n≥0,圆Cn＋1位于上半平面y≥0内及Cn的上方,与Cn外切并且与双曲
22
线x－y＝1相切于两点,Cn的半径记为rn(n∈Z且n≥0) (1)证实：rn∈Z； (2)求rn.
三、(50分)称自然数为“完全数〞,如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和,例
如,6＝1＋2＋3,如果大于6的“完全数〞可以被3整除,证实,它一定可以被9整除.
全国高中数赛模拟试题(三)
参 第一试
一、选择题 1. C
62π4π6π162k12k2kcos＋cos＋cos＝cosRe[(cosisin)]
7772k17277k12π2π7
令z＝cos＋isin,于是z＝1
771123456
那么上式＝(z＋z＋z＋z＋z＋z)＝……＝－
22
2. A
a1121a11S217×21＋44＝＝＝＝ b1121b11T214×21＋2733. D
π11θ∈[,π),cosθ∈(－1,],那么斜率k∈[－,1)
322
4. B
22222
由柯西不等式ab＝(m＋n)(x＋y)≥(mx＋ny),当mx＝ny时取等号,
所以mx＋ny≤ab
5. B
三点确定一个平面,但需除去三组四点共面重复的个数,
3共确定平面个数为C363C4＋3＝11个
6. B
注意到：当且仅当∠C≥90°时,△ABC能被以AB为直径的圆覆盖.从而易证n≤4,当n＝4时,正方形满足条件. 二、填空题 7.arcsin
5－1
； 2
1
logsinxcosx＋logcosxtanx＝1 logsinxcosx＝ 2
22
∴ sinx＝cosx ∴ sin＋sinx－1＝0 ∴ sinx＝5－1
(负值舍去) 2
8.44；
10987
2000＝2＋2＋2＋2＋2＋2
9.4；
4
分情况讨论得：a＝,b＝4
3
10.110；
f(－1)＝1＋lgb－(2＋lga)＝－2
2
∴ lga＝lgb＋1,而(lga)－4lgb≤0
2
∴ (lgb－1)≤0 ∴ lgb＝1 ∴ b＝10,a＝100 41011.；
5
过B1作A1B的平行线交AB于E,转化为求B点到平面B1CE的距离. 12.{－2,－1,0,2}
2
假设x－x－1＝1,那么x＝2,－1
2
假设x－x－1＝－1且x＋2为偶数,得x＝0
2
假设x＋2＝0且x－x－1≠0得x＝－2 三、
13
13．令ω＝－＋i,那么有
22
f⑴＝c0＋c1＋c2＋c4＋c5＋……＋c2n＝3 …………………①
222n
f(ω)＝c0＋ωc1＋ωc2＋c3＋ωc4＋ωc5＋……＋ωc2n＝0…………………②
2224n
f(ω)＝c0＋ωc1＋ωc2＋c3＋ωc4＋ωc5＋……＋ωc2n＝0…………………③
n
①＋②＋③得3(c0＋c3＋c6＋……)＝3,
n－1
∴ c0＋c3＋c6＋……＝3.
②－①得c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……
n
于是c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝c0＋c3＋c6＋……＝3,
2
14．∵ 20－5x＞0,∴ |x|≤1,∴ x＝－1或0或1
1
x＝－1时,lg15＞lg(a＋1)＋1,∴ －1＜a＜
2
x＝0时,lg20＞lga＋1 ∴ 0＜a＜2
5
x＝1时,lg15＞lg(a－1)＋l ∴ 0＜a＜
2
又由于满足条件的整数x只有一个,
15
∴ a的取值范围是(－1,0]∪[,1]∪[2,)
22
15．令a＝1,那么f(f(b))＝b,∴ f(f(x))＝x
22
∴ f(f(f(x)))＝f(x)
22
∴ f(f(f(a)))＝f(a)
2
再令a＝f(b),那么f(f(b)＝bf(b)
22
∴ f(f(f(b)))＝f(bf(b))＝b.
22
∴ f(f(f(a)))＝a.
n
∴ f(a)＝a, ∴ |f(a)|＝|a| ∴ f(2000)＝2000
第二试
一、⑴∵ H1为△AEF的垂心,∴ ∠EH1F＝180°－∠A＝∠B＋∠C
∠H2DH3＝180°－∠H2DB－∠H3DC＝180°－(90°－∠B)－(90°－∠C)＝∠B＋∠C ∴ ∠EH1F＝∠H2DH3
⑵连结FH2,EH3,那么FH2⊥BD,EH3⊥BC
∴ FH2∥EH3 由⑴中所证∠EH1F＋∠EOF＝180° E,D,F,H1四点共圆. 同理,E,D,H1,H2四点共圆,H1,D,F,H3四点共圆,E,D,F,H1,H2,H3六点共圆. 二圆内接四边形EH2H3F中,EH2∥FH3, ∴ EF＝H2H3,同理,DE＝H1H3,DF＝H1H2, ∴ △H1H2H3≌△DEF.
二、⑴由对称性可知rn的圆心在y轴上,设rn的方程为
222
x＋(y－sn)＝rn,其中sn＝r0＋2(r1＋r2＋……＋rn－1)＋rn.
222222
将x＝y＋1代入其中得 y＋1＋y＋sn－2ysn－rn＝0
22222
△＝4sn8Sn＋8rn－8＝0 2rn＝Sn＋2 从而易得rn＝6rn－1－rn－2,
∵ r0＝1,r1＝3,∴ 对任意n∈N,有rn∈N (2)由特征根方程可得
rn＝A(3＋22)＋B(3－22),
将r0＝1,r1＝3代入其中,得
1nn
rn＝[(3＋22)＋(3－22)]
2
三、设“完全数〞等于3n,其中n不是3的倍数,于是3n的所有正约数(包括它自己)可以
分为假设干个形如d和3d的“数对〞,其中d不可被3整除,从而3n的所有正约数的
31
和(它等于6n)是4的倍数,因此是2的倍数.我们注意到,此时n,n,n和1是3n的互
22
不相同的正约数,但它们的和等于3n＋1＞3n,从而3n不可能是“完全数〞,得到矛盾.
n
n
22
