2019年高三数学(理科)最新信息卷5_含答案

2019年高考高三最新信息卷

理 科 数 学（五）

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．[2019·南洋模范中学] “12x1”是“不等式x11成立”的（ ） A．充分条件 B．必要条件

C．充分必要条件

D．既非充分也不必要条件

2．[2019·吉林调研]欧拉公式eixcosxisinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有 非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，

iπ表示的复数位于复平面内（ ）

e4iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．[2019·安阳一模]91sin2cos2的最小值为（ ） A．18

B．16 C．8

D．6

4．[2019·桂林一模]下列函数中是奇函数且有零点的是（ ） A．fxxx B．fxx1x C．fx1xtanx

D．fxsinxπ2

5．[2019·河南八市联考]如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）

A．84

B．7882

C．7682

D．8082

6．[2019·维吾尔二模]将函数fx的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线ylnx关于 直线yx对称，则fx（ ） A．lnx1

B．lnx1

C．ex1

D．ex1

7．[2019·河南联考]已知函数fx2sinxπ02，且f01，若函数fx的图象

关于x49π对称，则的取值可以是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．[2019·天一大联考]如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等． 某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为P1，P2，P3，P4， 则下列选项正确的是（ ）

A．P1P2

B．P1P2P3

C．P40.5

D．P2P42P3

9．[2019·虹口二模]已知直线l经过不等式组x2y10x3y40表示的平面区域，且与圆O:x2y216y20相交于A、B两点，则当AB最小时，直线l的方程为（ ） A．y20 B．xy40 C．xy20

D．3x2y130

10．[2019·凯里一中]已知△ABC是边长为a的正三角形，且AMAB，AN1ACR，设fBNCM，当函数f的最大值为2时，a（ ）

A．

423 B．42 C．433 D．43

．[2019·齐齐哈尔二模]已知椭圆E:x2y211a2b21ab0的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作

垂直x轴的直线交椭圆E于A，B两点，点A在x轴上方．若AB3，△ABF9π2的内切圆的面积为

16，则直线AF2的方程是（ ） A．3x2y30 B．2x3y20 C．4x3y40

D．3x4y30

12．[2019·西大附中]已知奇函数fx是定义在R上的单调函数，若函数gxfx2fa2x恰有4个零点，则a的取值范围是（ ） A．,1 B．1,

C．0,1 D．0,1

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．[2019·西城期末]在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．

某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．

14．[2019·天津毕业]已知aπ50sinxdx，则ax1x的二项展开式中，x2的系数为__________． 15．[2019·永州二模]在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A30，C45，c3，点P是平面ABC内的一个动点，若BPC60，则△PBC面积的最大值是__________．

16．[2019·甘肃一诊]已知定义在R上的偶函数fx，满足fx4fxf2，且在区间0,2上是增函数，

①函数fx的一个周期为4；

②直线x4是函数fx图象的一条对称轴；

③函数fx在6,5上单调递增，在5,4上单调递减； ④函数fx在0,100内有25个零点；

其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）[2019·攀枝花统考]已知数列an中，a11，anan112nnN*,n2．

（1）求数列an的通项公式； （2）设b1n4a，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn．

n1

18．（12分）[2019·呼和浩特调研]如图，平面四边形ABCD，ABBD，ABBCCD2，

BD22，将△ABD沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．

（1）证明：CD面ABC；

（2）若E为AD中点，求二面角EBCA的大小．

19．（12分）[2019·大联一模]某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照55,65，65,75，75,85，85,95分组）． 第一车间样本频数分布表

（1）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；

（2）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

（3）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

20．（12分）[2019·大兴一模]已知椭圆C:x2y21a2b21ab0的离心率为2，M是椭圆C的上

顶点，F1，F2是椭圆C的焦点，△MF1F2的周长是6． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）过动点P1,t作直线交椭圆C于A，B两点，且PAPB，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．

21．（12分）[2019·拉萨中学]已知fxlnxmxmR． （1）求fx的单调区间；

（2）若me（其中e为自然对数的底数），且fxaxb恒成立，求

b的最大值． a请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

xa1sint[2019·汉中联考]在直角坐标系xOy中，曲线C1：（a0，t为参数）．在以坐标

yacost原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

πR． 6（2）若直线C3的方程为y3x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N， 若△OMN的面积为23，求a的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·全国大联考]已知函数fxx2． （1）求不等式fx4x1的解集； 1（2）设a，b0,，若

21fab22f6，求证：a．

25b

绝密 ★ 启用前

2019年高考高三最新信息卷

理科数学答案（五）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A

【解析】不等式x11成立，化为1x11，解得0x2， ∴“

12x1”是“不等式x11成立”的充分条件．故选A． 2．【答案】A π【解析】∵e4icosπisinπ22i，∴iiπ2i22224422e4i222ii， 222i2此复数在复平面中对应的点2,222位于第一象限，故选A．

3．【答案】B

【解析】99cos2sin2sin1cos2sin2cos2912sin2cos2912sin2cos216， 故选B． 4．【答案】C

【解析】A．∵fxxx，∴fxxx，而fxxx，∴不是奇函数，排除A； D．∵fxsinπx2cosx，∴fxcosxfx，即fx为偶函数，排除D； B．∵fxx1x，∴fxx1xfx，∴函数fx是奇函数， 但令fx0，可知方程无解，即fx没有零点，∴排除B；

C．∵fx1xtanx，∴fx1xtanxfx，∴fx是奇函数，

又由正切函数的图像和反比例函数的图像易知，y1x与ytanx必然有交点，

因此函数fx1xtanx必有零点．故选C． 5．【答案】C

【解析】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4， ∴五棱柱的表面积为4412222442+2+224=76+82，故选C．

6．【答案】C

【解析】作ylnx关于直线yx的对称图形，得函数yex的图像，再把yex的图像向左平移一个单位得函数yex1的图像，∴fxex1．故选C． 7．【答案】C

【解析】∵fx2sinx，∴由f01，得sin12． 又∵0π2，∴π6，∴fx2sinxπ6．

又∵fx关于x49π对称，∴4ππ399π62kπ，44k，令k1，则3．故选C．

8．【答案】D

【解析】若设中心圆的半径为r，则由内到外的环数对应的区域面积依次为S1πr2，

S24πr2πr23πr2，S39πr24πr25πr2，S416πr29πr27πr2 S总πr23πr25πr27πr216πr2；

PiiSSi1,2,3,4，则P13571，P2，P3，P4， 总16161616验证选项，可知只有选项D正确．故选D． 9．【答案】D

【解析】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则APOP，

∴OP最长时，AB最小，

∵最小l经过可行域，由图形可知点P为直线x2y10与y20的交点3,2时，OP最长， ∵k2OP3，则直线l的方程为y232x4，即3x2y130．故选D． 10．【答案】C

【解析】由题得ABACa2cosπ132a2，

BNCMBAANCAAM1a2a21a211a212211a22222，

∴当=12时，f的最大值为348a22，∴a33．故选C．

11．【答案】D

【解析】设内切圆半径为r，则πr29π16，∴r34， ∵Fc,0，∴内切圆圆心为33c4,0，由AB3知A1c,2，

又F2c,0，∴AF2方程为3x4cy3c0，

33由内切圆圆心到直线AFr，即c43c32距离为324得c1， 42∴AF2方程为3x4y30．故选D． 12．【答案】D

【解析】∵gxfx2fa2xgx，∴gx是偶函数，

若gxfx2fa2x恰有4个零点，等价于当x0时，gx有两个不同的零点， ∵fx是奇函数，∴由gxfx2fa2x0，得fx2fa2xf2xa，

∵fx是单调函数，∴x22xa，即ax22x， 当x0时，ax22xx22x有两个根即可，

设hxx22xx121，要使当x0时，ax22x有两个根，则1a0，

即0a1，即实数a的取值范围是0,1，故选D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】D

【解析】通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D， 当甲乙两人中某人听报告D，则此人不能听报告B，C，E，F，

故听报告D最不合适，故答案为D． 14．【答案】80

55【解析】由题得acosxπ2，∴10axx12xx，

r设二项式展开式的通项为Tr5rr1C2x153r5xCr25r5x2， 令5322r2，∴r2，∴x2的系数为C52380．故答案为80． 15．【答案】938 【解析】∵A30，C45，c3，

∴由正弦定理

acc312sinAsinC，可得asinAsinC2322．

2又BPC60，∴在三角形PBC中，令PBm，令PCn，

m2n29由余弦定理可得cosBPC212mn2， ∴m2n2992mn2mn2，

（当且仅当mn322时等号成立） ∴mn92，∴S12mnsinBPC93938．故答案为8．

16．【答案】①②④

【解析】令x2得f24f2f2，即f20，由于函数为偶函数，

故f2f20．∴fx4fx，∴函数是周期为4的周期函数，故①正确．由于函数为偶函数，故f4xf4xf48xf4x， ∴x4是函数图像的一条对称轴，故②正确．

根据前面的分析，结合函数在区间0,2上是增函数，画出函数图像如下图所示．

由图可知，函数在6,4上单调递减，故③错误．

根据图像可知，f2f6f10f980，零点的周期为4，

共有25个零点，故④正确．综上所述正确的命题有①②④．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）ann2nN*；（2）Tnn2n1． 【解析】（1）当n2时，由于anan12n1，a11， ∴ananan1an1an2a2a1a1132n1n2，

又a11满足上式，故ann2nN*． （2）b1111n14a12n14n12n12n122n12n1．

∴T1111111n23352n12n112112n1n2n1． 18．【答案】（1）见解析；（2）45．

【解析】（1）证明：∵平面四边形ABCD，ABBD，ABBCCD2，BD22， 面ABD面BCD，ABBD，面ABD平面BCDBD，∴AB面BCD，∴ABCD， 又AC2AB2BC28，AD2AB2BD212，AD2AC2CD212， ∴ABBC，ABBD，ACCD， ∵ACABA，∴CD平面ABC．

（2）解：AB面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴， 以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，

则B0,0,0，A0,0,2，C2,2,0，D0,22,0，

∵E是AD的中点，∴E0,2,1，∴BC2,2,0，BE0,2,1，

令平面BCE的一个法向量为nx,y,z，则nBC2x2y0，取x1，得2yz0n1,1,2，nBE∵CD面ABC，∴平面ABC的一个法向量为CD2,2,0，

∴cosn,CDnCDnCD22，∴二面角EBCA的大小为45． 19．【答案】（1）60，300；（2）第二车间工人生产效率更高；（3）见解析． 【解析】（1）估计第一车间生产时间小于75 min的工人人数为200620=60（人）

． 估计第二车间生产时间小于75 min的工人人数为4000.0250.0510300（人）． （2）第一车间生产时间平均值约为x602+704+8010+904第一车间=20=78（min）

． 第二车间生产时间平均值约为x第二车间600.25700.5800.2900.0570.5（min）． ∴第二车间工人生产效率更高．

（3）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75 min的工人有6人，其中生产时间小于65 min的

有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，

X可取值为0，1，2，

PX0C032C4C342015，PX1C122C4C3123，PX2C212C4413． 66205C6205X的分布列为：

∴数学期望EX0131515251．

x2y220．【答案】（1）431；

（2）见解析． 【解析】（1）由于M是椭圆C的上顶点，由题意得2a2c6， 又椭圆离心率为

1c12，即a2，解得a2，c1， 222x2bac3，∴椭圆C的标准方程4y2又31．

（2）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为ytkx1，

联立3x24y212，得tkx134k2x28ktkx4tk2120，

y由题意，0，设Ax1,y1，Bx2,yk2，则x1x8kt234k2，

∵PAPB，∴P是AB的中点．即

x1x221，得8ktk34k22，34kt0， ① 又lAB，l的斜率为1k，直线l的方程为yt1kx1， ②

把①代入②可得y1kx14，∴直线l恒过定点14,0



．

当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x1，此时直线l为x轴，也过1

4,0

．

综上所述，直线l恒过点14,0



．

21．【答案】（1）见解析；（2）1e．

【解析】（1）由fxlnxmx，得fx11mxxmx， （ⅰ）当m0时，fx0恒成立，fx在0,上单调递增； （ⅱ）当m0时，解fx0得x1m， 当x0,1m1时，fx0，fx单调递增，当xm,时，fx0，fx单调递减．（2）当me时，fxlnxex，令gxlnxeaxb，则gx1xea，

由（1）可知，当ae时，gx在0,上单调递增，不合题意；

当ae时，gx在110,ae上单调递增，在ae,上单调递减， 当x1ae时，gx取得最大值；

∴g111ae0恒成立，即lnaeeaaeb0，整理得lnaeb10， 即blnae1，blnae1aa，

令halnae1a，haeaelnaea2ae，

令Haeaelnae，Halnae1，解Ha0得ae1e， 当a1e,ee时，Ha0，Ha单调递增；

当ae1e,时，Ha0，Ha单调递减；

当ae1e时，Ha取得最大值为H11eeee，

∵当ae时，Ha0，然而H2e0，

∴当ae,2e时，Ha0恒成立，当a2e,时，Ha0恒成立， ∴ha在e,2e上单调递增，在2e,上单调递减，

即函数ha的最大值为h2e1b1e，∴a的最大值为e．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）C1是以a,0为圆心，a为半径的圆，C1的极坐标方程2acos； （2）a2．

【解析】（1）由已知得x1sint22a平方相加消去参数t得到yx1yacostaa1，

即xa2y2a2，∴C21的普通方程：xay2a2， ∴C1是以a,0为圆心，a为半径的圆，

再将xcos，ysin带入C1的普通方程，得到C1的极坐标方程2acos． （2）C5π3的极坐标方程3R， 将π6，5π3代入2acos，解得13a，2a， 则△OMN的面积为1ππ3223aasin632a23，解得a2． 23．【答案】（1）35,22,；（2）见解析．

【解析】（1）fx4x1可化为x24x1，即x1x24， 当x1时，x1x24，解得x32；

当1x2时，x1x24，无解；

当x2时，x1x24，解得x52． 综上可得x35352或x2，故不等式fx4x1的解集为,22,．

（2）∵a，b2120,12，∴f1af2b1a2b26，即ab10，

∴b12ba2ab22a2ab22b2a2ab4， 当且仅当

b2a2ab，即a15，b25时取等号， ∴10abb224，即a25．