2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二（下）期末数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．已知集合M={1，0，﹣1}，N={1，2}，则M∪N= ．
2．命题“若实数a满足a≤3，则a＜9”的否命题是 命题（填“真”、“假”之一）．
3．函数f（x）=xlnx的减区间是 ．
4．若函数f（x）= 5．曲线
6．已知函数f（x）满足f（1）=2，f（x+1）== ．
7．已知函数f（x）=a﹣x+2﹣2a（0＜a＜1）的零点x0∈（k﹣1，k）（k∈Z），则k= ．
8．对于函数f（x），若存在区间M=（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列3个函数：
x
①f（x）=e； ②f（x）=lnx+1；
3
③f（x）=x，
其中不存在“稳定区间”的函数有 （填上正确的序号）．
9．已知函数f（x）=|2x﹣3|，若0＜2a≤b+1，且f（2a）=f（b+3），则M=3a+2b+1的取值范围为 ．
10．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上，则实数m的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共8小题，共110分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．请用逆矩阵的方法求二元一次方程组
的解．
2
x
2
是奇函数，则f（x）≥的解集为 ．
上以（1，2）为切点的切线方程是 ．
，则f（1）×f（2）×f（3）×…×f（2011）
12．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．
（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l和圆C的位置关系．
13．若m∈R，命题p：设x1，x2是方程x﹣ax﹣3=0的两个实根，不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立，命题q：函数f（x）=x+mx+（m+
3
22
）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，求使p且￢q
为真命题，求实数m的取值范围．
14．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若η=aξ+b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．
15．已知函数f（x）=
+lnx．
（1）若函数f（x）在（2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围； （2）当a=1时，求f（x）在
上的最值．
16．如皋市某电子厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，正品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：
（注：正品率，如P=0.9表示每生产10件产品，约有9件为合格品，其余为次品．）
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量，
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数； （2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？ 17．设函数
，
（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项； ②若
，且a1=﹣12，求
；
（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N）．
*
18．设x=3是函数f（x）=（x+ax+b）e，（x∈R）的一个极值点． （1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间； （2）设
成立，求a的取值范围．
，若存在ξ1，ξ2∈，使得
2
3﹣x
2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二（下）期末数学试卷（理科）
参与试题解析
一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．已知集合M={1，0，﹣1}，N={1，2}，则M∪N= {1，2，0，﹣1} ．
考点： 并集及其运算． 专题： 集合． 分析： 由M与N，求出两集合的并集即可． 解答： 解：∵M={1，0，﹣1}，N={1，2}， ∴M∪N={1，2，0，﹣1}， 故答案为：{1，2，0，﹣1} 点评： 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2．命题“若实数a满足a≤3，则a＜9”的否命题是 真 命题（填“真”、“假”之一）．
考点： 四种命题． 专题： 简易逻辑． 分析： 写出该命题的否命题并判断真假．
2
解答： 解：命题“若实数a满足a≤3，则a＜9”的否命题是
2
“若实数a满足a＞3，则a≥9”，
2
它是真命题，因为a＞3时，a＞9， 2
∴a≥9成立． 故答案为：真． 点评： 本题考查了四种命题之间的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题目．
3．函数f（x）=xlnx的减区间是 ．
2
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： 先求定义域，再令导数≤0解不等式，取交集可得． 解答： 解：由题意函数的定义域为（0，+∞）， 求导数可得f′（x）=x′lnx+x（lnx）′ =1+lnx，令f′（x）=1+lnx≤0， 解之可得x≤ 故函数的减区间为：故答案为：
点评： 本题考查导数法研究函数的单调性，注意定义域是解决问题的关键，属中档题．
4．若函数f（x）=
是奇函数，则f（x）≥的解集为 （a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，
则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列3个函数：
x
①f（x）=e； ②f（x）=lnx+1；
3
③f（x）=x，
其中不存在“稳定区间”的函数有 ③ （填上正确的序号）．
考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对三个函数逐一进行判断，即可得到答案．
x a
解答： 解：①对于函数f（x）=e，若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有e=a，b
e=b，
xxx
即方程e=x有两个解，即y=e和y=x的图象有两个交点，这与即y=e和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”． ②对于 f（x）=lnx+1，若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有lna+1=a，且lnb+1=b，即方程lnx+1=x有两个解，
即y=lnx+1和y=x的图象有两个交点，这与y=lnx+1和y=x的图象有且只有一个公共点相矛盾，故②不存在“稳定区间”．
3 3
③对于f（x）=x存在“稳定区间”，如 x∈时，f（x）=x∈．故③存在“稳定区间”． 存在稳定区间区间的函数有 ③． 故答案为：③． 点评： 本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于中档题
9．已知函数f（x）=|2x﹣3|，若0＜2a≤b+1，且f（2a）=f（b+3），则M=3a+2b+1的取值范围为
2
≤M＜1 ．
考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由题意可得|4a﹣3|=|2b+3|，故4a﹣3和2b+3互为相反数，解得b=﹣2a，代入要求的式子可得 M=3a+2b+1=3a﹣4a+1（0＜a≤），结合二次函数的图象和性质，可得M=3a+2b+1的取值范围 解答： 解：∵f（x）=|2x﹣3|，f（2a）=f（b+3），也就是|4a﹣3|=|2b+3|．
因为 0＜2a＜b+1，所以4a＜2b+2，4a﹣3＜2b+3，所以必须有4a﹣3和2b+3互为相反数． ∴4a﹣3+2b+3=0，故 b=﹣2a．
再由0＜2a≤b+1可得 0＜2a≤﹣2a+1，即 0＜a≤．
∴M=3a+2b+1=3a﹣4a+1的图象是开口朝上，且以直线a=为对称轴的抛物线，
2
2
2
2
2
此函数在（0，]上是减函数， 所以M（）≤T＜T（0）， 即
≤M＜1，
≤M＜1．
故答案为：
点评： 本题主要考查带有绝对值的函数，利用二次函数的单调性求它在某区间上的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
10．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上，则实数m的取值范围是 （﹣∞，5） ．
考点： 函数恒成立问题． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．
解答： 解：f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，
即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，
又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5， ∴m的取值范围是（﹣∞，5）． 故答案为：（﹣∞，5）． 点评： 本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，是中档题．
二、解答题：本大题共8小题，共110分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．请用逆矩阵的方法求二元一次方程组
考点： 逆矩阵的意义． 专题： 计算题；矩阵和变换．
的解．
分析： 记A=，写出其逆矩阵，再由=，即可解得原方程组的解．
解答： 解：记A=，则A=
﹣1
．
两边左乘A
﹣1
可得：X=A•B=
﹣1
=，
所以，原方程组的解为．
点评： 本小题主要考查逆变换与逆矩阵的计算、系数矩阵的逆矩阵解方程组等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
12．已知直线l的参数方程：
（t为参数）和圆C的极坐标方程：
．
（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l和圆C的位置关系．
考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： （1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，把圆C的极坐标方程化为普通方程即可；
（2）根据圆心C到直线l的距离d与半径r的关系，判断直线和圆的位置关系． 解答： 解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程2x﹣y=﹣3， 即2x﹣y+3=0； 圆C的极坐标方程为化简得，ρ=2
2
化为普通方程是
，
+2
cosθsin
，
sinθcos
即ρ=2ρsinθ+2ρcosθ，
22
化为普通方程是x+y=2y+2x，
22
∴（x﹣1）+（y﹣1）=2；
（2）圆心C（1，1）到直线l的距离为 d=
=
=
＞
，
∴d＞r，
∴直线l和圆C相离． 点评： 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆的位置关系的应用问题，是基础题目．
13．若m∈R，命题p：设x1，x2是方程x﹣ax﹣3=0的两个实根，不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立，命题q：函数f（x）=x+mx+（m+为真命题，求实数m的取值范围．
考点： 复合命题的真假． 专题： 简易逻辑．
3
22
）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，求使p且￢q
分析： 对于p，先求出|x1﹣x2|∈，再根据不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立，得到|m+1|≥4，解得m的范围，
对于q，函数f（x）=x+mx+（m+
3
2
）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，则f′（x）=3x+2mx+（m+
2
）
=0有实根，根据判别式求出a的范围，
由于p且￢q为真命题，得到p真，q假，问题得解． 解答： 解：若命题p为真命题，
2
∵x1，x2是方程x﹣ax﹣3=0的两个实根 ∴x1+x2=a，x1x2=﹣3， ∴|x1﹣x2|=∵a∈，
∴|x1﹣x2|∈，
∵|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立， 则只要|m+1|≥|x1﹣x2|max在a∈成立即可 ∴|m+1|≥4
∴m+1≥4或m+1≤﹣4， ∴m≥3，或m≤﹣5， 若命题q为真命题， ∵f（x）=x+mx+（m+∴f′（x）=3x+2mx+（m+
3
2
23
2
=，
）x+3， ），
）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，
∵函数f（x）=x+mx+（m+∴f′（x）=3x+2mx+（m+∴△=4m﹣12m﹣40≥0，
解得m≤﹣2，或m≥5， ∵p且￢q为真命题， ∴p真，q假， ∴
解得3≤m＜5，
，
2
2
）=0有实根，
实数m的取值范围为时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，]上单调递增，
∴f（x）在区间上有唯一极小值点，故f（x）min=f（x）极小值=f（1）=0
又f（）=1﹣ln2，f（）=﹣+ln，f（）﹣f（）=1﹣ln2+﹣ln=﹣ln3， ∵e＞27
∴f（）﹣f（）＞0，即f（）＞f（）
，4
∴f（x）在区间上的最大值f（x）max=f（）=1﹣ln2．
综上可知，函数f（x）在上的最大值是1﹣ln2，最小值是0． 点评： 此题是个中档题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好的考查了学生的计算能力．
16．如皋市某电子厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，正品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：
（注：正品率，如P=0.9表示每生产10件产品，约有9件为合格品，其余为次品．）
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量，
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数； （2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？
考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）通过每天的赢利T=日产量（x）×正品率（P）×盈利（A）﹣日产量（x）×次品率（1﹣P）×亏损（），列出表达式、整理即可； （2）通过（1）可知只需考查f（x）=A（x﹣解答： 解：（1）依题意，T=x•P•A﹣x•（1﹣P）• =xPA﹣xA
）的单调性即可，进而计算可得结论．
=；
（2）由（1）可知，只需考查1≤x≤c时的情况即可． 记f（x）=A（x﹣
），则f′（x）=A•
，
令f′（x）=0，解得：x=84，
且当x＜84时f′（x）＞0、当x＞84时f′（x）＜0， ∴当c≤84时，日产量为c时利润最大；
当84＜c＜96时，日产量为84时利润最大．
点评： 本题考查了利润函数模型的应用，并且利用导数方法求得函数的最值问题，也考查了分段函数的问题，注意解题方法的积累，属于中档题． 17．设函数
，
（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项； ②若
，且a1=﹣12，求
；
（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N）．
*
考点： 二项式定理的应用；二项式系数的性质． 专题： 综合题；二项式定理．
分析： （1）①m=2时，f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可； ②由二项式的展开式的通项公式，结合题意求出m的值，再计算
n
的值；
（2）根据题意，构造函数f（x）=（1﹣x），利用二项式定理展开并求导数， 两边再同乘x，求导数，利用特殊值x=1，即可求得结果． 解答： 解：（1）①当m=2时，f（4，y）=共有5项，二项式系数最大的项为第三项， ∴T3=
•1•
2
的展开式中
=；
②f（6，y）= 的通项公式为
Tr+1=
••（﹣1）•
r
=（﹣1）•
r
•2
6﹣r
•m
2r﹣6
•，
且f（6，y）=a0+
+…+，
﹣4
∴的系数为a1=﹣6×32×m=﹣12， 解得m=2；
∴f（6，y）= 的通项公式为
Tr+1=（﹣1）•∴ar=（﹣1）•
2
3r
r
•2
6﹣r
•2
2r﹣6
•=2，
r
，
•2
6﹣r
•2
6
2r﹣6
∴=2+2+2+…+2
==2﹣1 =127； （2）∵
7
=﹣
n
0
1
+2•
22
2
﹣3•
33
2
+4•
2
+…+（﹣1）•n•
n
nn
n2
∴设f（x）=（1﹣x）=Cn﹣Cnx+Cnx﹣Cnx+…+（﹣1）•Cnx…①， ①式两边求导得：
﹣n（1﹣x）=﹣Cn+2Cnx﹣3Cnx+…+（n﹣1）•（﹣1）②的两边同乘x得：
n﹣1
1
22
33
n﹣1
1
2
32
n﹣1
•Cn
n﹣1n﹣2
x
+n•（﹣1）•Cnx
n
nnn﹣1
，…②
﹣nx（1﹣x）=﹣xCn+2Cnx﹣3Cnx+…+（n﹣1）•（﹣1）③式两边求导得：
﹣n（1﹣x）﹣n（n﹣1）x（1﹣x）﹣2 2nnn﹣1
+n•（﹣1）•Cnx，…④， ④中令x=1，得﹣
+2•
2
n﹣1
n﹣2
1
2
2
2
n﹣1
•Cn
n﹣1n﹣1
x
+n•（﹣1）•Cnx，…③，
2
n﹣1
nn
=﹣Cn+2Cnx﹣3Cnx+…+（n﹣1）•（﹣1）
32
•Cn
n﹣1n
x
﹣3•
2
+4•
2
+…+（﹣1）•n•
n2
=0．
点评： 本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数的导数应用问题，考查了赋值法求
值问题，是综合性题目．
18．设x=3是函数f（x）=（x+ax+b）e，（x∈R）的一个极值点． （1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间； （2）设
，若存在ξ1，ξ2∈，使得
2
3﹣x
成立，求a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．
分析： （1）由已知中函数f（x）=（x+ax+b）e（x∈R）的一个极值点是x=3．我们根据函数在某点取得极值的条件，易得f′（3）=0，进而构造方程求出a与b的关系式，分析函数在各个区间上的符号，即可得到答案．
（2）根据g（x）的表达式，利用导数法确定函数的单调性，再根据（1）的结论，我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
解答： 解：（1）f′（x）=﹣e，（1分）
﹣33
由f′（3）=0，得﹣e=0，即得b=﹣3﹣2a，（2分）
3﹣x
则f′（x）=﹣（x﹣3）（x+a+1）e．
令f′（x）=0，得x1=3或x2=﹣a﹣1，由于x=3是极值点，∴﹣a﹣1≠3，即a≠﹣4，（4分） 当a＜﹣4时，x2＞3=x1，则在区间（﹣∞，3）上，f′（x）＜0，
f（x）为减函数；在区间（3，﹣a﹣1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在区间（﹣a﹣1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数． （5分） 当a＞﹣4时，x2＜3=x1，则在区间（﹣∞，﹣a﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间（﹣a﹣1，3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在区间（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
（2）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减， 由于f（x）连续，而f（0）=﹣（2a+3）e＜0，f（4）=（2a+13）e＞0，f（3）=a+6， 那么f（x）在区间上的值域是：， 又g（x）=
5﹣x
3
﹣1
23﹣x
3﹣x
=（x+a+1）e
5﹣x
，（a＞0，x∈），
g′（x）=﹣e（x+a）＜0，
5
∴g（x）在区间上是减函数，而g（0）=（a+1）e，g（4）=（a+5）e， ∴它在区间上的值域是：，
∴只需e（a+5）﹣（a+6）＜5e﹣6即可，解得：a＜5e， ∴a的范围是：（0，5e）． 点评： 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知中的函数的解析式，结合导数公式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．
2
