第2卷总第2,期当代电大(教学]CONTE1996年第2期SumN050MPORARYTVUT《EACHING&LEARNING】N021996高等数学(下)学习辅导高等数学(下)包括空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学(重积分、线面积分)、傅里叶级数。本文依据教学大纲、教学荃本要求给出各部分的重、难点解析配上部分例题,期望对学员们学习有所帮助。第九章空间解析几何1这一章的盆点内容是向盈的数量积和向量积的定义,坐标表示,二向量平行,垂直的充要条件。平面的点法式方程和一般方程。空间直线的标准方怪参数方程,一般方程(两平面的交线)。平面间的夹角直线间的夹角点到平面的距离公式。常见二次曲面:球面、柱面(准线在xoy平面上)椭球面,旋转抛物面(绕Z轴旋转),圆锥面(以:轴为中心轴)的方程和图形。2注意以下几个方面21向量运算中重要的是向量的数量积和向量积数量积(点积)b么1a11bl期(a,b>=albz+aZbz+aob,向l的很多概念可通过数量积(点乘)表示,如Ia。。(单位向t),方向余弦,向量夹角及a=O充分必要条件是a上b。__向t积(叉积)】百歹又axb=!aa,a.{b:bZb,“,饥“xb成右手系,1axbl=1a1fb卜isn(a,b)axb上a且axblb,若axb=0骨a/b。22平面和直线都是向量的应用求平面方程的关键是找出平面上的一个点(x。,电大赵坚0y,劫)和它的法方向n,确定平面的法向往往是解题的难点。写出直线方程的关键也是直线的方向向量的确定,要注意解题中确定方向向量的各种方法。例1设a二Io121b=120一川求垂直于a、b的单位向量。解:由叉乘定义知axb一a且b,于是ù一120ùa100又4,,1;一2}}=一i十4一j一Zk二J}2}_`故所求为士17万’一’,4一名’。例2求通过下列两平面。厅一肠+少一z=2心五一勿一2Z十1二O的交线且与平面为:3x十勿+3z一6=O垂直的平面方程。解在二,与二:的交线!七十,一`“2一(3工一y2一22+1产任取两点M1(,1,1)和0(N一,一,,一子,寻影那么向量俞影在所求平面上,又平面心的法向量13,23}平行于所求平面,于是所求平面的法向量为}百歹一训一于引,一攀备替323故所求平面为1x7一为一112+3=口。,1:ù邵解!。求过点M(o一)2且与直线l,手二上子I__一`三_一芝二兰全垂直的直线方程。0一2井l所求的直线的方向向量应为百歹:::`一“`,一x{里J!又」10一21=31一j一Zh故所求直线方程为三_夕一1_z十23一一1一一2。第十章多元函数微分学1本章的,点内容一阶偏导数(含复合函数部分抽象函数,隐函数)的计算多元函数全微分的计算及简单函数的二阶偏导数计算。空间曲线在某一点处的切方向和曲面在某点处的法方向曲线在某点处的切线方程和法平面方程曲面在某点处的切平面方程和法线方程。条件极值的概念拉格朗日乘数法求解条件极值间题最大〔最小)值应用间题。上述三点既是重点也是难点。2注意下面几点偏导数的定义计算公式事实上都是对一个自变量的问题。因此,与一元函数的导数完全相同计算时把另一个变量视为常数把多元问题转化为一元间题。复合函数求偏导数是个难点其困难之处在于多元复合函数的中间变量也是多元的。例如z=(f。,)“二。(x刃。二试x刃,则函数关系式如图1赵—X钱图1aza日材aau二,-=二一f~二,一+二`f二,-夕x口“日x日v日xaz口fa“口fav二-=二二于~二-一十二d夕d“dy~二,-d.dy求在条件杯x刃二口之下函数y二f(xy)的极值即为条件极值。求解条件极值间题关键是列出极值函数和条件函数。所谓极值函数就是问题中所要求的最大(小)值的量条件函数就是向题中还要满足的约束条件。例’设一(f尹工’+户,求务落扬解令,二尹,v=扩+少于是一十鬓鑫会笑窦一二器(二)二十笑(、+、丫一尹十器x2鬓J君J`口“Jz日p石=丽十二,-二尸~d,dy一`场+鬓、鬓…zd二(、十筹x2笑)dx*(二。十、兴,d,纪例2在曲面xy二二上求一点,使该点法线垂直于平面x十为十:=牙,并写出该法线方程。解曲面在任一点上的法线方向向盈为{yx-川,又该向t平行于平面x十为1十:+夕=O的法向量{’3,’},有子二得三3解得x=一3夕=一1代入曲面z二yxz二3,故在点(一3一1,)3x+_,+名一处该点的法线方程为31_31一3一1例3在平面Zx一y+:=2上求一点使该点到原点和(十1口,2)的距离平方和最小。解设所求的点为(x,y)z且z二xZ+尹+z2+(二一1)2+犷+(二一2)z条件函数为Zx一y+:一2二O,作拉格朗日函数F(二,二孟)=二二+少+二二+(二一1)之+尹+(:一2);+决(2工一,+r一2)之、!!l||l丝为介以九丝二2二+2(x一I)+2入=0“勿十勿一人=口二22+2(z一2)+孟=0“2x一y十z一2二O~1。解山:x=不y=Uz=1`由于是唯一驻点又知一定存在平面上的点该点到原点和定点的平方和最小所以平面上的点(冬。.,〕八、、一`”、J、、”J’刀n、’~J’夕’…’~一~J~2一’一~到原点和(十10)2的距离最小。第十一章重积分1本章的皿点内容二重积分的概念及几何意义。二重积分的计算方法直角坐标系下二重积分的计算和极坐标系下二重积分的计算。利用二重积分计算空间曲面的面积,曲顶柱体的体积平面薄片的质量。三重积分的定义直角坐标系,柱坐标系球坐标系下三重积分的计算(化成三次积分其上、下限均为常数),各坐标系下三重积分的体积元素。2学习中要注意下面问题计算二重积分时对不同的间题,要恰当地选择直角坐标系下的积分公式或极坐标系下的积分公式。一般地,当被积函数为f(尹十尹)型且积分区域为圆或圈的一部分时考虑用极坐标系下的公式计算。如果选用极坐标计算在化为累次积分时要注意区分极点在积分区域的内部、边界、外部三种情况。如果选用直角坐标计算,在化成累次积分时要注意积分次序的选择同一个题目积分次序选择的不同不仅可能使积分计算的繁简不同而且还可能使积,二~二一831才允十一立一3二二—4一二一二-公22分计算不出来三重积分的计算中坐标系的选择既要考虑被积函数又要考虑到积分区域如果积分区域为圆柱圆锥或旋转抛物面时用柱坐标为好如果积分区域为球形区域或是球形区域的一部分时选用球坐标系为好。、。。。允台对于其它情形一般选直角坐标系计算。柱坐标系下的体积微元为,dgdrdz球坐标系下的体积微元为声sin甲dd6甲dp例1计算二重积分(,)厅d二d、刀为x一,及x一俨围成。侣二y(,)井(,+,)dXd,其中D为半圆域OxZ+(,一1)2簇1x》o解(1)积分区域D如图2石二图2对y求积分电汀卿dxd,二{’d二d,yJ口砂价粤公少口分求不出来(原函数不是初等函数)当然二分的积分值也求不出来。若先对x求积分则有J{,d二口{几鲤d二=夕犷yJ},(夕口通y,一口;;y期刃勿,is,Slny1+二哪,1二二Cc日1一1(2)D的区域如图3,利用极坐标计算极点在边界,则有o`6(于0`r簇2:`n“是积分得+井(,,’“`y=d`”’犷哎(r,;n。十,。,d:=3、犷(于尸。奋2)1;:,“d。=、犷(,普一。2,、nZ。)d。天图J例2计算曲面二二扩+犷与z二1围成的立体积分。解由二二护尹十少与二=1消去二得交线在“b沙面的投影为扩十“1用二重积分计算图4ù卜巴叮旧一人日曰O1门014|万V=一xZ十x尸口产J卫L(尹)〕ddy(用极坐标)。〔,一刀产,d一22李〕d。夸冗介叼二淇一’“图了例3改变二重积分。,`X了不乎丁!J。f(x,)d,若先发现此积重积于的次序解,首先根据已知的积分限画出积分区域。,的丁(XZ+,,dX+`X一少,勿A(o,草图如图积分区域为圆心在原点半径为1的上半圆图改变积分次序先对x求积分再对y求积分则积分区,其中曲线l的参数方程是由点的曲线尹=扩。)到点0B(1)1解解法1将曲线l:的参数方程域应为o(y簇1一,一。,了1二丁。_《,x《,二乎了了}ty`二一’、笛J代入原式则有所以原积分,j。d了不子(了不,f)d,第十二章i曲线积分与曲面积分。本章的皿点第二类曲线积分的计算方法格林公式的条件和结论曲线积分与路径无关的条件高斯公式及在简单情况下用高斯公式计算第二类曲面积分。。.。图石2学习中耍注意以下几点21第二类曲线积分一般与路径有关22曲线积分的计算一般有两种方法221.参数法把积分曲线的参数方程代入被积表达式化为定积原积分一J)夕口’+二蛋+(二一二卦乳豹dJ一二1;一3”芝,2十乏J1一不工解法2了工yy了工了x一)}`Q(x尸(x,,))=x一十少少=1二扩a尸育一口y瘾则r一。::厂丁夕`二、二二{洲,“、:`,aaQx,`+“(二,`),所以由弊口-X塑得出此曲线积分与路径无关则改八刀’」(p+(x(`)y夕(())t`x变积分路线为线段()`其参数方程为“Q(x(t)2))夕(t))dt`1Ly`三`x+X“引格林公式当l为封闭曲线时在l所围的区域D内尸(xQ(x刃有一阶连续偏导数则,22代入积分有,y)、原式=口仁|扣劫12xZ叮矛、`dxX十X一扩dX`厂步=二,,d二x+“`av二,d,’侣如果积分路径不封闭可添加辅助线段使之封闭通常添加辅助线段总是平行于坐标轴的(华汗口一x奖)a口y注意改变积分的路径不能改变积分路径的方向,。解法3,用格林公式加线段,AB,使l与AB构。成一封闭曲线于是有`平面曲线积分与路径无关的条件x若p(刃Q(x刃在单连通区域D内有一阶(?,)d?+Q`工,,d,与路径无关连续偏导数则厂,、,23。丁一`(XZ十,d!十`二`+一少,d,一+J丁丁AB一J,)ABdx一于勿十J。_JBA+的条件是:厂歹(二,)d二;+Q(二,,)d,一。。其中c为”内厅一侣=(,一f(扩,)d二十(二一尹)勿朋=a1x。任一封闭曲线在例D内恒有煌ax_一塑a夕。例2求由星形线图形的面积解利用对称性s一哪、,y=sain、所围成要知道以上充要条件是相互等价的1;计算曲线积分万aXd,其中为第一象限部分的区域,利用曲线积分计算.区域D可视为由OA(直线段y二oO(x《a)A刀〔星形线x=a哪今y=asin气,”(`(奋)及万万(直线段x=0,y:(1,一OD所围成。于是汀If刀d二工勺=了」产dy一洲x=步〔++探几肠=〔。。inZ:普广一+a:in一,t3acsoZ:sint〕dt一2`,;nZ,子d:犷8Oc=子广〔咖2:一哪4:〕d,图7(其中。)所以所求面^]o一。=蠕积为。J3。二哪日Tfd工dy之花厂诀JO赦-O第十四章傅里叶级数本章的盆点将以2二.12为周期的函数展成傅里叶级数的方法,及成立区间的确定。傅氏系数a。,a.,b,的计算公式。奇偶函数的傅氏系数及傅氏级数的特点。2这一章的掌习中应注愈的问题设f(二)是以2二为周期的函数,且f(二)在(一二,们上满足连续或最多只有有限个一类间断点;最多只有有限个极值点。则f(x)可以展成傅氏级数。警十汐`ocS二+”sin二’厅允一了一1介其中0a1月上à自加|e|J厂一一f(x)dx、f(x)csonxdxJ户`己.||卫勺n一2b,f(x)碗n肛d工且傅氏级数在f(x)的连续点处处收敛于f(x)在f(!)的间断点处收,到十奋(f(X。。)十f(X。一。))收敛于奋(f(犷一。)十f(一十。)〕。在x=士!处当f(的)x(,(,为卜,们上的奇函数时,有a,二O二=O1一2…)f(x为(一二,们上的偶函数时有b.=口二=12…),(二)一例1设}于一二镇x《O叹卫口(x《汀将f(x)展成傅氏级数,并写出成立区间。解~封{(fx)d二=毋叮xdx+打d?〕1_一二2一汀1!尹(fx)哪二dxO,七rù|门JO.ùI`xc06dx十犷叮一介哪nxd二〕I一口一O才口-工81n刀忿去sin,比dx+1ó左厅路允一Sln刀工一石里j陀一介一COS刀工J`、=1_、~气l一L一1)’)n丁介1rr0.二—!x),in万J一f(odx一工r。二in二d二十l“,;nnxdx]r7Jl,一.JO一1才o10+=”一-工COS月工工xdxn才{Cos1一雄厅—C08刀J一斋(。十!(一,)卜去〔(钾.\")一1)(一1)”+二+兰(,一(一1)砚)以f(x)二己O。二x+,二-十习(期nb,Znsi二)1二户4ù习.月+2上卉(1一(一1))哪。.+〔(一1)+’+鑫(2一(一,),〕Sln九工x〔(一,,0)U(0二)所
