3. 一元二次方程
一、 选择题
1. (2017·广东)如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为( )
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
2. (2017·威海)若1－3是方程x2－2x＋c＝0的一个根，则c的值为( )
A. －2 B. 43－2 C. 3－3 D. 1＋3 3. (2017·温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是( )
A. x1＝1，x2＝3 B. x1＝1，x2＝－3 C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－1，x2＝－3
4. (2017·泰安)一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为( )
A. (x－3)2＝15 B. (x－3)2＝3 C. (x＋3)2＝15 D. (x＋3)2＝3
5. (2017·)一元二次方程式x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，其中a，b为整数，则a＋b的值为( )
A. 20 B. 12 C. －12 D. －20 6. (2017·凉山州)若关于x的方程
x2＋2x－3＝0
2
与x＋3
D
16. (2017·宁夏)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋3x－2＝0有实数根，则a的取值范围是( )
11A. a >－ B. a ≥－
88
11
C. a >－且a≠1 D. a ≥－且a≠1
88
9
17. (2017·齐齐哈尔)若关于x的方程kx2－3x－＝0有
4实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＝0 B. k≥－1且k≠0 C. k≥－1 D. k>－1
18. (2017·怀化)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0
1
＝0的根的情况4
的两个根，则x1·x2的值是( )
A. 2 B. －2 C. 4 D. －3
19. (2017·凉山州)一元二次方程3x2－1＝2x＋5两实根的和与积分别是( )
3223
A. ，－2 B. ，－2 C. －，2 D. －，2 233220. (2017·江西)已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是( )
5
A. x1＋x2＝－ B. x1·x2＝1
2
A
B
C
A. x2－2x＝0 B. x2－2x－1＝0 C. x2－2x＋1＝0 D. x2－2x＋2＝0
12. (2017·广州)已知关于x的一元二次方程x2＋8x＋q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A. q<16 B. q>16 C. q≤4 D. q≥4 13. (2017·兰州)如果一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为( )
98A. m> B. m> C. m＝ D. m＝
14. (2017·咸宁)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断
15. (2017·通辽)若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )
1
＝有一个解相同，则a的值为( ) x－a
A. 1 B. 1或－3 C. －1 D. －1或3 7. (2017·东营)若|x2－4x＋4|与2x－y－3的值互为相反数，则x＋y的值为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
8. (2017·益阳)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－1，那么下列结论一定成立的是( )
A. b2－4ac>0 B. b2－4ac＝0 C. b2－4ac<0 D. b2－4ac≤0 9. (2017·宜宾)一元二次方程4x2－2x＋是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断
10. (2017·河南)一元二次方程2x2－5x－2＝0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 11. (2017·上海)下列方程中，没有实数根的是( )
1
C. x1，x2都是有理数 D. x1，x2都是正数
21. (2017·)已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2，则另一个根是( )
A. －3 B. －2 C. 3 D. 6
22. (2017·烟台)若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为( )
A. －1或2 B. 1或－2 C. －2 D. 1 23. (2017·黔东南州)已知一元二次方程x2－2x－1＝0的11
两根分别为x1，x2，则＋的值为( )
x1x2
1
A. 2 B. －1 C. － D. －2
2
24. (2017·绵阳)已知关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为( )
A. －8 B. 8 C. 16 D. －16
25. (2017·呼和浩特)已知关于x的一元二次方程x2＋(a2
－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0
26. (导学号11744018)(2017·天门)若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( )
A. －13 B. 12 C. 14 D. 15 二、 填空题
27. (1) (2017·常州)已知x＝1是关于x的方程ax2－2x＋3＝0的一个根，则a的值为________；
(2) (2017·菏泽)关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2
－k＝0的一个根是0，则k的值是________．
28. (2017·贵阳)方程(x－3)(x－9)＝0的根是__． 29. (1) (2017·淮安)若关于x的一元二次方程x2－x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________；
(2) (2017·连云港)已知关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是________；
(3) (2017·泰安)已知关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋(k2－1)＝0无实数根，则k的取值范围为________．
30. (1) (2017·辽阳)若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是________；
(2) (2017·枣庄)已知关于x的一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________________；
(3) (2017·营口)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________________；
(4) (2017·白银)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x
＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__．
31. (2017·南京)已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝________，q＝________．
32. (1) (2017·张家界)已知一元二次方程x2－3x－4＝0的两根是m，n，则m2＋n2＝________；
(2) (2017·泰州)已知方程2x2＋3x－1＝0的两个根为x1，11
x2，则＋的值为________．
x1x2
33. (1) (2017·眉山)已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值是________；
(2) (2017·西宁)若x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0
2
的两个根，则x21x2＋x1x2的值是________．
34. (2017·内江)设α，β是方程(x＋1)(x－4)＝－5的两β3α3
实数根，则＋的值为________．
αβ35. (2017·盐城)若方程x2－4x＋1＝0的两根是x1，x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为________．
36. (2017·成都)已知x1，x2是关于x的一元二次方程 x2
2
－5x＋a＝0的两个实数根，且x2则a＝________. 1－x2＝10，
37. (2017·淄博)已知α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则α2＋αβ－3α的值为________．
38. (2017·镇江)已知实数m满足m2－3m＋1＝0，则代数式m2＋
19
的值为________． m＋2
2
39. (导学号11744019)(2017·岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．
三、 解答题 40. 解方程：
(1) (2017·德州)3x(x－1)＝2(x－1)；
(2) (2017·丽水)(x－3)(x－1)＝3.
2
41. (2017·滨州)根据要求解答下列问题： (1) ① 方程x2－2x＋1＝0的解为__； ② 方程x2－3x＋2＝0的解为__； ③ 方程x2－4x＋3＝0的解为__； …
(2) 根据以上方程及其解的特征，请猜想： ① 方程x2－9x＋8＝0的解为__；
② 关于x的方程________________的解为x1＝1，x2
＝n.
(3) 请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
42. (2017·湘潭)由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
例如分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1) 分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋______)(x＋______)； (2) 请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
43. (2017·北京)已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程有一根小于1，求k的取值范围．
＝0.
44. (2017·南充)已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
2
(2) 如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且x21＋x2－
x1x2＝7，求m的值．
45. (2017·黄石)已知关于x的一元二次方程x2－4x－m2(1) 求证：该方程有两个不等的实数根；
(2) 若该方程的两个实数根x1，x2满足x1＋2x2＝9，求m的值．
46. (导学号11744020)(2017·荆州)已知关于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0，其中k为常数．
(1) 求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
47. (2017·鄂州)已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1) 求实数k的取值范围．
(2) 设方程的两个实数根分别为x1，x2，存不存在这样
3
的实数k，使得|x1|－|x2|＝5？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
48. (2017·孝感)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2.
(1) 求m的取值范围；
(2) 若x1，x2满足3x1＝|x2|＋2，求m的值．
49. (导学号11744021)(2017·绥化)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0.
(1) 当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2) 若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
4
3. 一元二次方程
一、 1. B 2. A 3. D 4. A 5. A 6. C 7. A 8. A 9. B 10. B 11. D 12. A 13. C 14. B 15. A 16. D 17. C 18. D 19. B 20. D 21. A 22. D 23. D 24. C25. B 26. B
二、 27. (1) －1 (2) 0 28. x1＝3，x2＝9 29. (1) 351k<－(2) 1 (3) k> 30. (1) k<
445
1(2) a>－1且a≠0 (3) k>且k≠1 (4) k≤5且k≠1 31.
24 3 32. (1) 17(2) 3 33. (1) －4 (2) 15 34. 47 21
35. 5 36. 37. 038. 9 39. 2
4
2
三、 40. (1) x1＝1，x2＝ (2) x1＝0，x2＝4
341. (1) ① x1＝x2＝1 ② x1＝1，x2＝2 ③ x1＝1，x2＝3 (2) ① x1＝1，x2＝8 ② x－(1＋n)x＋n＝0 (3) 8181
移项，得x－9x＝－8；配方，得x－9x＋＝－8＋，即44
2
22
入②，得m＝－x1x2＝5，∴ m＝±5.∴ m的值为±5
46. (1) 在方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0中，Δ＝(k－5)－4(1－k)＝k－6k＋21＝(k－3)＋12.∵ (k－3)≥0，∴ (k－3)＋12>0，即Δ>0.∴ 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根 (2) 设方程的两个根分别是x1，x2.根据题意，得(x1－3)(x2－3)<0，即x1x2－3(x1＋x2)＋9<0.又∵ x1＋x2＝－(k－5)，x1x2＝1－k，代入，得1－k＋3(k－5
5)＋9<0，解得k<，∴ 此时k的最大整数值为2
2
47. (1) ∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ Δ＝[－1122
(2k－1)]－4(k－2k＋3)＝4k－11>0，解得k> (2) 假
4设存在满足题意的k值．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k－2k＋3＝(k－1)＋2>0.将|x1|－|x2|＝5两边平方，得x1－2|x1x2|＋x2＝5，即x1－2 x1x2 ＋x2＝5，∴ (x1＋x2)－4x1x2＝5.∴ (2k－1)－4(k－2k＋3)＝5.整理，得4k－11＝5，解得k＝4.∴ 假设成立．因此k的值为4
48. (1) ∵ 关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2，∴ Δ＝(－6)－4×1×(m＋4)＝20－4m≥0，解得m≤5.∴ m的取值范围为m≤5 (2) 由根与系数的关系，得x1＋x2＝6 ①，x1x2＝m＋4 ②.∵ 3x1＝|x2|＋2，∴ 当x2≥0时，有3x1＝x2＋2 ③.联立①③，解得x1＝2，x2＝4.代入②，得8＝m＋4，∴ m＝4.当x2<0时，有3x1＝－x2＋2 ④，联立①④，解得x1＝－2，x2＝8(不合题意，舍去)．∴ 符合条件的m的值为4
49. (1) ∵ 方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根，∴ Δ＝(2m＋1)－4(m－4)＝4m＋17>0，解得1717
m>－.∴ 当m>－时，方程有两个不相等的实数根 (2)
44设方程的两根分别为a，b.由根与系数的关系，得a＋b＝－2m－1，ab＝m－4.根据题意，得2a，2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，结合菱形对角线的性质，得a＋b＝5，即(a＋b)－2ab＝25，∴ (－2m－1)－2(m－4)＝25.整理，得m＋2m－8＝0，解得m1＝－4，m2＝2.∵ a>0，b>0，∴ a＋b＝－2m－1>0，ab＝m－4>0，即m<－2.∴ m＝－4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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22
2
2
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2
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2
2
2
2
2
x－922
499797＝；直接开平方，得x－＝或x－＝－，∴ x1
42222
＝1，x2＝8.因此猜想正确
42. (1) 2 4 (2) ∵ x2－3x－4＝0，∴ (x＋1)(x－4)＝0，解得x1＝－1，x2＝4
43. (1) ∵ 在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，Δ＝[－(k＋3)]－4×1×(2k＋2)＝k－2k＋1＝(k－1)≥0，∴ 方程总有两个实数根 (2) ∵ x－(k＋3)x＋2k＋2＝0，∴ x－(k＋3)x＋2(k＋1)＝0.将方程的左边分解因式，得(x－2)(x－k－1)＝0，∴ x1＝2，x2＝k＋1.∵ 方程有一根小于1，∴ k＋1<1，解得k<0.∴ k的取值范围为k<0
44. (1) 在x2－(m－3)x－m＝0中，∵ Δ＝[－(m－3)]－4×1×(－m)＝m－2m＋9＝(m－1)＋8>0，∴ 方程有两个不相等的实数根 (2) 根据根与系数的关系，得x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.∵ x1＋x2－x1x2＝7，∴ (x1＋x2)－3 x1x2＝7.∴ (m－3)－3×(－m)＝7，即m－3m＋2＝0，(m－1)(m－2)＝0，解得m1＝1，m2＝2.∴ m的值是1或2
45. (1) 在方程x2－4x－m2＝0中，Δ＝(－4)2－4×1×(－m)＝16＋4m.∵ m≥0，∴ 4m≥0.∴ 16＋4m>0，即Δ>0.∴ 该方程有两个不等的实数根 (2) ∵ 该方程的两个实数根分别为x1，x2，∴ x1＋x2＝4 ①，x1x2＝－m ②.∵ x1＋2x2＝9 ③，∴ 联立①③，解得x1＝－1，x2＝5.代
2
2
2
2
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