不等关系与不等式(优质课)教案

教学目标：

教学重点： 掌握实数的大小比较方法、不等式的性质的运用 教学难点： 理解不等式性质的证明范围

教学过程：

1. 不等式

（1） 用数学符号\"\"\"\"\"\"\"\"\"\" 连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。 （2） 含有不等号的式子，叫做不等式。 2. 实数的大小关系

（1） 实数集与数轴上的点集一一对应；

（2） 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；

（3） 对于任意两个实数a和b，在ab,ab,ab三种关系中有且仅有一种关系成立； （4） 在数学中，两个实数的大小可以通过作差比较

ab0abab0ab

ab0ab3. 不等式的性质

（1） 对称性：如果ab，那么ba；如果 ba，那么ab； （2） 传递性：如果ab且bc，则ac； （3） 加法法则：如果 ab，则acbc；

（4） 乘法法则：如果ab,c0，则acbc；如果ab,c0，则acbc

类型一： 不等式表示不等关系及实数的大小比较 例1.用不等号表示下列关系 （1）a与b的和是非负数 （2）实数x不小于3

解析：（1）ab0 （2）x3 答案：（1）ab0 （2）x3 练习1.（1）实数m小于5，但不小于-2

（2）x与y的差的绝对值大于2，且小于或等于6 答案：（1）2m5 （2）2xy6

练习2.已知a,b分别对应数轴上的A,B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立

的是（）

A.ab0 B.ab0 C.ab D.ab0 答案：D

例2.比较x22x与x2的大小 解析：

x22xx2x1x2当

x10x20 或

x10x20 即x1或x2时，

此时x22xx2；当2x1时，此时x22xx2 x1x20，x1x20，答案：x1或x2时，x22xx2；当2x1时，x22xx2 练习3.比较aabb与abba（a,b为不相等的正数）的大小

abba答案：abab

a2b2ab练习4.已知ab0，则2 _________ （填,,）

abab2答案：

类型二： 不等式性质的证明应用 例3.已知ab0,cd0,求证解析：

ab dccd0,cd0又ab0,acbd0,acbd又

cd0,cd0答案：见解析

acbdab,即 cdcddc练习5.已知cab0,求证

ab cacbcab0,ca0,cb0,ab,0cacb答案： 11ab0,ab0,cacbcacb练习6.已知ab0,cd0,求证3答案：

a3b dc11abababcd0,cd00,ab00,33,33 cddcdcdc类型三： 利用不等式的性质求取值范围 例4.已知1ab5,1ab3

（1） 求a,b的范围； （2） 求3a2b的范围。

11abab,b1ab5,1ab3, abab2210abab8,2abab6,0abab4 211abab3,0a4,1b3 2解析：（1）a（3） 设3a2bmabnabmn3mn2m115523a2babab

22n21ab51ab3,215abab10, 23a2b10 22答案：（1）0a4,1b3（2）23a2b10 练习7.已知,满足11,123 （1） 求的范围 （2） 求3的范围

答案：（1）04 （2）137 练习8.若,满足答案：,22,则2的取值范围____________

32 2练习9.设变量x,y满足答案：3,3 练习10.已知答案：

1xy11xy1则2x3y的取值范围_____________

22 则

2的取值范围是___________

,0 2

1. 实数m不超过2，是指( )

A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2 答案：D

2. 设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )

A．M>N B．M＝N C．M3. 已知a＝2－5，b＝5－2，c＝5－25，那么下列各式正确的是( ) A．a4. 已知a、b、c、d均为实数，有下列命题

cd

①若ab＜0，bc－ad＞0，则－＞0；

abcd

②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；

abcd

③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0.

ab其中正确命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3 答案： C

5. 若a1111A．> B．2a>2b C．|a|>|b| D．()a>()b

ab22答案：B

6. 设a＋b<0，且a>0，则( )

A．a2<－ab7. 已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )

A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞a C．－a＞a2＞a＞－a2 答案：B

D．a2＞－a＞a＞－a2

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

基础巩固

1. 已知a0

B．b2－4ac＝0

C．b2－4ac<0 答案：A

D．b2－4ac的正负不确定

1

2. 已知P＝2，Q＝a2－a＋1，则P、Q的大小关系为( )

a＋a＋1A．P>Q C．P≤Q 答案：C

1

3. 已知|a|<1，则与1－a的大小关系为( )

a＋1A．

1

<1－a a＋1

1B．>1－a

a＋11D．≤1－a

a＋1B．P1C．≥1－a

a＋1答案：C

4. 若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( ) bb＋1A．>

aa＋111

C．a＋>b＋ ba答案：C

cd

5. 已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>aD．以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能

ab成立的不等式命题________．

①①②⇒③，⇒②，⇒①中任选两个即可． 答案：

②③③

6. 实数a、b、c、d满足下列两个条件：①d>c；②a＋d7. 设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m、n的大小关系是________． 答案：m≥n

8. 若(a＋1)2>(a＋1)3(a≠－1)，则实数a的取值范围是________． 答案：a<0且a≠－1

9. 某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．

答案：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意，得

11

B．a＋>b＋

ab2a＋ba

D．>

a＋2bb

10×6x＋6×8y≥3600≤x≤40≤y≤7x∈Ny∈N

x＋y≤9

5x＋4y≥300≤x≤4，即0≤y≤7

x∈Ny∈N

x＋y≤9

cc

ab

10. (1)已知c＞a＞b＞0.求证：＞.

c－ac－b

a＋ma

(2)已知a、b、m均为正数，且a＜b，求证：＞.

b＋mb答案：(1)∵c＞a＞b＞0∴c－a＞0，c－b＞0，

11

由a＞b＞0⇒＜ab⇒a＜b c＞0

c－ac－b⇒＜

ab c－a＞0 c－b＞0

ab

⇒c－a＞c－b. 

a＋mamb－a

(2)证法一：－＝，

bb＋mbb＋m

mb－aa＋ma

∵0＜a＜b，m＞0，∴＞0，∴＞.

bb＋mb＋mba＋ma＋b＋m－ba－bb－a

证法二：＝＝1＋＝1－＞

b＋mb＋mb＋mb＋mb－aa

1－＝.

bb

a＋ma证法三：∵a、b、m均为正数，∴要证＞，

b＋mb只需证(a＋m)b＞a(b＋m)， 只需证ab＋bm＞ab＋am， 只要证bm＞am，

要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a， ∴原不等式成立.

能力提升

11. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？( ) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种

答案：C

12. 如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是( )

A．a＞4b

a＞4bC．

a＋4b＋4＝200

B．(a＋4)(b＋4)＝200

a＞4b

D．

4ab＝200

答案：C

13. 已知a、b为非零实数，且aππ

14. 若－<α<β<，则α－β的取值范围是( )

22

A．(－π，π) B．(0，π) C．(－π，0) D．{0} 答案： C

15. 已知函数f(x)＝x3，x1、x2、x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )

A．一定大于0 C．等于0 答案：B

11ba

16. 若＜＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.其中正确的有( )

ababA．1个 B．2个 C．3个 D．4个

B．一定小于0 D．正负都有可能

11ba

< D．< ab2a2bab

答案：B

17. 若a>0，b>0则a＋b________a＋b(填上适当的等号或不等号)． 答案：>

b＋ma＋nba

18. 设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝，q＝，r＝，s＝的大小顺序是________________．

aba＋mb＋n答案：p＜r＜s＜q

19. 若a>b，则a3与b3的大小关系是________．

答案：a3>b3

20. 若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________． 答案：x＜y

21. 已知a、b为正实数，试比较ab

＋与a＋b的大小． ba答案：解法一：(

a－bb－aa－ba－babab

＋)－(a＋b)＝(－b)＋(－a)＝＋＝ bababaaba＋ba－b2

＝.

ab∵a、b为正实数，∴a＋b>0，ab>0，(a－b)2≥0. a＋ba－b2∴≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．

ab∴ab

＋≥a＋b，当且仅当a＝b时取等号． baab2a2b2

解法二：(＋)＝＋＋2ab，

baba(a＋b)2＝a＋b＋2ab，

22a3＋b3－aba＋bab2ab

∴(＋)－(a＋b)2＝＋＋2ab－(a＋b＋2ab)＝

baabba

a＋ba2－ab＋b2－aba＋b

＝

aba＋ba－b2＝.

ab

a＋ba－b2

∵a、b为正实数，∴≥0，

ab∴(

ab

＋)2≥(a＋b)2. baab

＋>0，a＋b>0， ba又∵

∴

ab

＋≥a＋b，当且仅当a＝b时取等号 ba22. 设f(x)＝1＋logx 3，g(x)＝2logx 2，其中x>0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小． 答案：f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2

3x＝logx(3x)－logx4＝logx.

4

43x

(1)当x>时，logx>0，故f(x)>g(x)；

3443x

(2)当x＝时，logx＝0，故f(x)＝g(x)；

3443x

(3)当134所以f(x)3x

(4)当00，

4所以f(x)>g(x)．

4

综上知：当x>或0g(x)；

34

当134

当x＝时，f(x)＝g(x)．

3

x

23. 如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及的取值范围．

y答案： 46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32；

∴－18＜x－2y＜10；

11130x42

∵3024y1624y165x21

即＜＜. 4y8

24. 已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an1b＋abn

－

－1

的大小．

答案：(an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)＝(a－b)(an－1－bn－1)，

(1)当a＞b＞0时，an－1＞bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0， (2)当0＜a＜b时，an－1＜bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，

∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(an－1－bn－1)＞0.∴an＋bn＞an－1b＋abn－1.

25. 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享

受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．

答案：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，

3134

则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝xn，

4445134

y1－y2＝x＋xn－xn

445111n

＝x－xn＝x(1－)． 42045

当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1y2.

因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．