重庆重点中学高二上期末数学测试题

重庆市重点中学05-06年度高二、上期期末数学测试题及答案

（满分150分，120钟完成）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若a，b为实数，则a>b>0是a2b2的( ) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.(2005全国卷II文第6题)

x2y2双曲线1的渐近线方程是( )

49243(A) yx (B) yx (C) yx

3929(D) yx

43.．以原点为圆心，且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是( ) A．x2y25 Bx2y2=25 C．x2y2=4 D．x2y2=16

4..（2005江苏卷第6题）

2抛物线y=4x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) ( A )

17157 ( B ) ( C ) ( D ) 0

168165.． 设a,b,c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c＝0与bx-sinB·y+sinC＝0的位置关系是( )

A.平行 B.重合

C.垂直 D.相交但不垂直

6.(2005全国卷III理第10题，文第10题)

设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） （A）221 （B） （C）22 （D）21 227．设函数f(x)＝ax2+bx+c(a>0)，满足f(1-x)＝f(1+x)，则f(2x)与f(3x)的大

1

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小关系是( )

A.f(3x)>f(2x) B.f(3x)N(x,y)x2y22y0,x,yR那么MN中（ ）

 A．不可能有两个元素 B．至多有一个元素 C．不可能只有一个元素 D．必含无数个元素

9.（2005江苏卷第11题）

x2y2点P(-3,1)在椭圆221(ab0)的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,

ab经直线y=－2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( ) ( A )

1132 ( B ) ( C ) ( D )

323210．在R上定义运算:xyx(1y)．若方程1(2kx)x24x3有

解，则k的取值范围是（ ）

4114A．0, B﹒0,1 C﹒0, D﹒,

3333二、填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分．)

11.（2005上海理第5题）

若双曲线的渐近线方程为y3x，它的一个焦点是(10,0)，则双曲线的方程是__________。

12．若函数f(x)x,(x1)能用均值定理求最大值，则需要补

x22(a2)x3a充a的取值范围是

2

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xy3013.已知2xy0则x2y22x4y15的最大值为 xy1014．给出下列命题：①若ab,n2k1,(kN)，则anbn； ②若ab≥0，则abab；③设A(m,m+1)，B(2,m-1)，则直线AB的倾斜角arctan2m2④如果曲线C上的点的坐标(x,y)满足方程F(x,y)0，则方程，F(x,y)0的曲线是C其中真命题的序号是 ． 15.(2005重庆卷文第16题)

11已知A,0，B是圆F：xy24(F为圆心)上一动点，线段AB的

22垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为_____________

16.(2005重庆卷理第16题)

连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）. ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形

2三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．

(a1)x22x (其中a0) 17．(13分)解不等式：解关于x的不等式:

ax1

3

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18、（2005广东卷第17题）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AOBO（如图４所示）．

（Ⅰ）求AOB得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

19．（12分）某人上午7：00时，乘摩托车以匀速V千米／时(4≤V≤20)从A港出

发到相距50千米的B港去，然后乘汽车以匀速W千米／时(30≤W≤100)自B港向距300千米的C市驶去，要求在当天16：00时至21：00时这段时间到达C市．设汽车所需要的时间为X小时，摩托车所需要的时间为Y小时． (1)作图表示满足上述条件的X，Y的范围；

(2)如果已知所要的经费：p1003(5x)2(8y)（元），那么V，W分别是多少时所要的经费最少?此时需花费多少元?

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20.(2005重庆卷文第21题，满分12分)

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3,0)。 (1) 求双曲线C的方程；

(2) 若直线l：ykx2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且

OAOB2(其中O为原点)，求k的取值范围。

21. （12分）已知二次函数f(x)ax2bxc(a,b,cR)，当x[1,1]时，

|f(x)|1 .

（1）求证：|b|1；

（2）若f(0)1,f(1)1，求f(x)的表达式.

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22.(2005重庆卷理第21题，满分12分)

x2y21，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右已知椭圆C1的方程为4顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程；

(2) 若直线l：ykx2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足OAOB6(其中O为原点)，求k的取值范围。

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参

一、选择题：1—5 ACBBD 6—10 DACAB

1y241 12﹒a 13. 26 14.① 15. x2y21 16.②③二、填空题：11﹒x3392⑤

(x1)(x2)(a1)x22(a1)x220 xx0三、17.解解:

ax1ax1ax11(x1)(x2)(x)0

a① 当0a1时, 原不等式的解集为 (,)(1,2)② 当a1时, 原不等式的解集为 (,1)(1,2)③ 当a1时 原不等式的解集为 (,1)(18．（2005广东卷第17题）

1a1,2) ax1x2x3

解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）

yy1y23

∵OA⊥OB ∴kOAkOB1,即x1x2y1y21，……(2)

22又点A，B在抛物线上，有y1x1,y2x2，代入（2）化简得x1x21

∴yy1y21211222(x1x2)[(x1x2)22x1x2](3x)23x2 3333332 3II

）

2所以重心为G的轨迹方程为y3x（

SAOB1112222222|OA||OB|(x12y12)(x2y2)x12x2x12y2x2y1y12y2 2227

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由（I）得

SAOB1611166x1x222x16x222(1)6221 222266当且仅当x1即x1x21时，等号成立。 x2所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1； 19．解：（1）依题意得：v50300,w，又4v20,30w100，所以yx5253x10,y，而9xy14，所以满足条件的点的范围是图中阴影部分：

22 （2）p1003(5x)2(8y),3x2y131p作出一组平行直线3x2yt（t为参数），由图可知，当直线

3x2yt经过点(10,4)时，其在y轴上截距最大，此时p有最小

值，即x10,y4当时，p最小此时v12.5,w30，pmin93元

20. (2005重庆卷文第21题，满分12分)

x2y2解：（Ⅰ）设双曲线方程为221 (a0,b0).

ab由已知得a3,c2,再由a2b222,得b21.

x2y21. 故双曲线C的方程为3x2y21得 (13k2)x262kx90. （Ⅱ）将ykx2代入3213k0,由直线l与双曲线交于不同的两点得

222(62k)36(13k)36(1k)0.8

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2即k1且k21. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则 362k9xAxB,xAxB,由OAOB2得xAxByAyB2,

13k213k2而xAxByAyBxAxB(kxA2)(kxB2)(k21)xAxB2k(xAxB)2

962k3k27(k1)2k22.

13k213k23k123k273k2912k3. ② 2,即0,解此不等式得于是2233k13k1由①、②得

1k21. 3故k的取值范围为(1,33)(,1). 3321．（1）由已知得|f(1)||abc|1，|f(1)||abc|1 ∴|2b||f(1)f(1)||f(1)||f(1)|2∴|b|1

b1，则f(x)在[1,1]为增函数，∴f(1)f(0),f(0)1∴|f(1)|12ab1，则f(x)在[1,1]为减函数，∴f(1)f(0)与已知矛与|f(1)|1矛盾；若2a（2）若f(0)12b2[1,1]，盾。所以从而由f(1)1解得b0. ∴f(x)2x1 2ac1b|f()|12a22．39. (2005重庆卷理第21题，满分12分)

22解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为xy1，则a2413,再由a2b2c2得b21.

a2b29

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故Cx22的方程为3y21. （II）将ykx2代入x24y21得(14k2)x282kx40. 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

2)2k216(14k2)16(4k21)0,即 k211(84. x2将ykx2代入y21得(13k2)x2362kx90.

由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

13k20,1(62k)236(13k2)36(1k2即k2且k21. 2)0.3设A(x,y,y62k9AA),B(xBB),则xAxB13k2,xAxB13k2由OAOB6得xAxByAyB6,而 xAxByAyBxAxB(kxA2)(kxB2)(k21)xAxB2k(xAxB)2 (k21)913k22k62k13k22 3k273k21.于是3k2715k213133k216,即3k210.解此不等式得

k215或k213. 由①、②、③得

1k21或13k243151. 故k的取值范围为(1,1315)(33,12)(13132,3)(15,1) 10

①

③