浅谈初中数学《数与代数》中如何提高学生的推理能力 焦永瑞
[摘 要]标准(2011年版)》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”从数学本身看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法。它与数学证明紧密关联，共同构成了数学最重要的基础。所以在数学学习中，培养学生的数学推理能力至为重要。本文阐述了推理在数学论证中的作用,以及合情推理与演绎推理的几种模式,给出了各种模式在初中数学教学中的案例。
关键词 ]合情推理 演绎推理 中学数学 新课标
推理能力包括合情推理能力和演绎推理能力﹒合情推理是数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理(即推理的结论不一定成立的推理)的特称。归纳推理(这里指不完全归纳)是特殊到一般的推理。而类比推理则是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它在另一属性上也相同或相似的一种推理。
长期以来，中学数学教学一直强调教学的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学. 事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，如哥德猜想、费尔马大定理、四色问题等的发现. 其他学科的一些重大发现也是科学家通过合情推理、提出猜想、假说和假设，再经过演绎推理或实验得到的.
合情推理是一种发现与创造的推理方式,关注学生合情推理能力的培养有
助于发展学生的创新精神。
我谈谈合情推理的几种基本模式及在数学《数与代数》教学中的运用
1.归纳推理
归纳推理是从特殊到一般的推理,是一种很常用的合情推理。具体过程是:归纳(不完全)―猜想―完全归纳(数学归纳法证明)。在合情推理中的归纳推理却是针对无限个研究对象和无限种特殊情况,人们不可能穷尽所有的特殊情况,而只能通过有限种特殊情况的观察预测或猜测一般情况下的一般结论。
我在教学完全平方公式时，通过观察容易得到：(a+b)=a+2ab+b 再应用多项式的乘法法则来验证(a+b)=a+2ab+b的正确性，再经过观察思考、课件演示再次验证公式，从
2
2
2
2
2
2
而归纳出完全平方和公式。将猜想变为公式，然后观察并熟记公式特征。在整个过程中老师只是在提出问题和引导学生解决问题，学生的自主性得到了充分的体现，课堂气氛平等融洽. 在平时的教学中，例如，研究函数的图像和性质时，首先让学生做出图像，通过观察、探索、猜想、验证、归纳的教学，从而提高学生的合情推理能力。通过观察或实际操作获得感性材料，再将这些感性材料进行整理，找出共同的特征，逐步抽象出数学概念和规律，培养学生抽象概括的能力。
在历年的中考中经常出现探究题，以考察学生的合情推理能力。 （2014年山东烟台）将一组数行排列：
， 3… 若2
的位置记为（1，4），2
的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位
，
， 3， 2， 2
， 3
， ，
； ； ，
，3，2
，
，…，3
，按下面的方式进
置记为（ ） A．（5，2）
B． （5，3）
C． （6，2）
D． （6，5）
根据观察，可得数据为可得答案． 故选：D．
，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，
（2014年山东泰安）．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为 _________ ．
通过数形结合，勾股定理计算发现B1、B2 、 B3、 B4…的的坐标，找到规律，从而分析解得10070.
2.类比推理
类比推理是一种横向思维,它通过对两个类似系统的研究,由一个系统的性质
猜测另外一个系统的性质。
在教学中，我们类比分数的性质学习分式的性质，类比等式的性质学习不等式的性质，
类比研究一次函数的图像、性质学习反比例函数、二次函数的图像、性质。
在初中数学教学过程中,有意识的加强学生的类比推理能力的培养,对于新的数学体系的学习和深入研究,对于预测和猜想某些新的结果,以及对于培养学生的创造性思维,都是非常重要的。
《课标》指出，演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)确定的规则出发，得到某个具体结论的推理，它是必然性推理(即只要推理前提真，得到的结论一定真)。它的思维进程是从一般到特殊，其基本形式是三段论，只不过在实际运用中，三段论的格式被简化成了“因为„„所以„„”的“连锁式”形式。
要培养学生的演绎推理能力要做到以下三个方面：
首先要求学生要有扎实的基础，这是我们进行演绎推理必须具备的要素。就数学来讲，要熟练掌握书本知识，要熟练到随口而出的地步。
其次要培养起学生的逻辑推理的能力。让学生掌握推理的基本方法和基本步骤在此基础上逐步引导学生逐步掌握演绎推理。
再次，就是通过具有代表性和典型性的例题让学生自己动手，让他们熟练掌握演绎推理的的步骤和上下连贯性。
在数与代数的教学中，学生获得了概念、性质时，让学生掌握概念、熟练性质，并应用此进行计算和证明。要注意学生语言表达的准确性、严谨性。
在历年的中考中出现的题， 都是让学生以合情推理作出猜想，以演绎推理作出计算或证明的过程 ，以考查学生的数学推理能力。推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”。
例1：已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=
的图象可能是（ ）
A．
B． C． D．
学生们结合已知和图像可知，m ＜ -1，n=1，由一次函数和反比例函数的性质可选得结果，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。 例2： 如图，已知直线l：y=
3x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点3B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；„；按此作法继续下去，则点A4的坐标为
A．（0，） B．（0，128） C．（0，256） D．（0，512）
y
A2 l A1 A B1 x
B O 解析： 由点A的坐标是（0,1）, ∴OA=1, ∵点B在直线y= y33x上, ∴ 3x3 ∴ B0x30 ∴OA1B30 在Rt∆A1BO中，OA1B30 OB=2,
∴OA1=4, 同理可得，OA2=16=42, 得出OA3==43, ∴OA4= 44=256,
∴A4的坐标是（0,256）． 故选C．
合情推理与演绎推理是相辅相成的. 波利亚等数学教育家认为，演绎推理是确定的，可靠的；合情推理则带有一定的风险性，而在数学中合情推理的应用与演绎推理一样广泛. 严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的. 因此，我们不仅要培养学生演绎推理能力，而且要培养学生合情推理能力.对这两种推理能力的培养即构成《标准(2011年版)》对推理能力培养的核心要求。
总之，《数学课程标准》强调学生要“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动的过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。 推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”。因此在数学教学中，让我们充分发挥课堂教学的作用，渐进而有序地培养学生的数学推理能力，提高学生素质，促进学生健康、全面地发展。
