勾股定理的证明方法

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

abba aaca a cbc ab bcb cbbca aabb做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11a2b24abc24ab22， 整理得 a2b2c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab2等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, GDb∴ ∠AHE = ∠BEF.

a∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, c∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. H∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

c∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 b正方形. 它的面积等于c2.

a∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, AE∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

aCbcFcbaB2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于. DbGFEaHC2∴ . ∴ abc.

【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

1 / 10

ab241abc2222cAB

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.

2ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

124abbac2∴ 2.

∴ abc. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面

1ab2积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、CE、B三点在一条直线上.

222∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, D∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

a∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. A∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

cbEcabB12c2它的面积等于.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD∥BC.

1ab2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2. 1ab221ab1c222. ∴ 2∴ abc.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

222

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

1a2b2S2ab,2 1c2S2ab2,

FbGbcabAcaEPbCHcaBcaD ∴ abc.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条

E直线上.

b过点Q作QP∥BC，交AC于点P. a过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 cAFF作FN⊥PQ，垂足为N. P∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， b∴ ∠MPC = 90º， MccC∵ BM⊥PQ， N∴ ∠BMP = 90º， a∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90ºQ. cB∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

222

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点

G在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

H交AB于点M，交DE于点

KaL. C∵ AF = AC，AB = AD， Fb∠FAB = ∠GAD， baM∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， BA12a2∵ ΔFAB的面积等于， cΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

2∴ 矩形ADLM的面积 =a. E2DLcb同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222∴ cab ，即 abc. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

C在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

b∠CAD = ∠BAC， a∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB， cADB2ACAD•AB即 .

2同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BCBD•AB.

222222ACBCADDB•ABAB∴ ，即 abc.

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

DGa∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

c∴ ∠DAH = ∠BAC.

b9

c2H341F8RTcP5c6Ab

又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

c2S1S2S3S4S5 ①

∵

S8S3S41bba•abab21ab22， =

S5S8S9，

1S3S4b2abS82b2∴ = S1S8 . ②

把②代入①，得

c2S1S2b2S1S8S8S9

222b= S2S9 = ba.

∴ abc.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， BbT∴ ∠TBH = ∠ABE. 2CR8D又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， 6aBT = BE = b， 13H∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. M7GFAE∴ HT = AE = a. 45∴ GH = GT―HT = b―a.

c 222Q

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a， ∠HGF = ∠BDC = 90º，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7S2.

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8S5.

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S4S6.

222cSSSSSaSSb1234516∵ ，，S3S7S8，

又∵ S7S2，S8S5，S4S6，

22abS1S6S3S7S8 ∴

=S1S4S3S2S5

2=c， 222即 abc.

【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

AC2AE•AD

=ABBEABBD

Caaacb=caca

22= ca，

222EDBA即bca，

222∴ abc.

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

AB•DCAD•BCAC•BD，

∵ AB = DC = c，AD = BC = a， bBDAC = BD = b，

222222∴ ABBCAC，即 cab， aacc222∴ abc.

CAb

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

∴ ACBCABAECEBDCDAFBF

= CECD= r + r = 2r,

即 abc2r， ∴ ab2rc.

22ab2rc∴ ，

Ab即 ab2ab4rrcc，

2222cFB∵

SABC1ab2，

aDrrOrEC∴ 2ab4SABC， 又∵ SABCSAOBSBOC1111abcrcrarbrSAOC = 222 = 2

∴ 4r224rrc4SABC， ∴

2rc2ab，

212rccr22= = rrc，

∴ ab2ab2abc， ∴ abc.

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

222222假设abc，即假设 ACBCAB，则由

AB2AB•AB=ABADBD=AB•ADAB•BD

2222可知 ACAB•AD，或者 BCAB•BD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

C∵ ∠A = ∠A，

∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

b∠ADC≠∠ACB. a在ΔCDB和ΔACB中，

A

22DcB

∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

222这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，ACBCAB的假设不能成立.

222∴ abc.

【证法15】（辛卜松证明） A babaDAD 11abab2aaa22ab acbc c2

cabbb2bcb 11aabab 22aCabBCb B设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为

ab2a2b22ab；把正方形

ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的

22面积为 =2abc.

222∴ ab2ab2abc,

222∴ abc.

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. B在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC， c则 AD = c.

54c∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ab241abc2∴ DM = EM―ED = ba―a = b. AbF又∵ ∠CMD = 90º，CM = a， 23cb∠AED = 90º， AE = b， ac17∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

6∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.EbDHa

GaCaM

∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，

∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.

∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

222cSSSSbSSSa2345126∵ ， ， S3S7，

S1S5S4S6S7，

22∴ abS3S7S1S2S6

=S2S3S1S6S7

=S2S3S4S5 2=c 222∴ abc.

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