排列组合
高考要求
内容 加法原理与乘法原理 加法原理与乘法原理的应用 计数原理 排列与组合的概念 排列组合的公式 要求层次 B C B C 重难点 1. 分类加法计数原理，分步乘法计数原理． 2. 用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题． 3. 排列，组合的概念． 4. 排列数公式，组合数公式． 排列组合的应用 C 5. 用排列与组合解决一些简单的实际问题． 知识框架
排列排列的定义排列的性质排列的应用排列与组合组合的定义组合组合的性质组合的应用
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知识内容
一、 分类计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2 种方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有Nm1m2称加法原理．
又mn种不同的方法．
二、 分步计数原理：
做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有Nm1m2称乘法原理．
如果完成一件事的各种方法是相互的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计算，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 分步要做到“步骤完整”完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互，分步后在计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
又mn种不同的方法．
三、 排列
一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示． 排列数公式：Amnn(n1)(n2)(nm1)，m，nN，并且m≤n．
全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列． n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n!表示．规定：0!1．
四、 组合
一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．
组合数：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示． 组合数公式：Cmn
n(n1)(n2)(nm1)n!，m,nN，并且m≤n．
m!m!(nm)!2
nmmm1组合数的两个性质：性质1：Cm；性质2：Cm．（规定C0nCnn1CnCnn1）
<易错点>
1. 如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，则类与类之间是相
互的，即“分类完成”．如果只有当n个步骤都做完，这件事才能完成，则选择用分步技术原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成：．
2. 排列，组合都是研究从n个不同的元素中取出m个元素的问题，这是两个既有联系又完全不同的
概念，本质在于前者有顺序，后者无顺序．
3. 排列组合，概率，统计，三个问题通常在高考中一同考察，平时学习也一起学习，学生很容易混
淆，三者都是研究事件的，排列组合与概率是研究事件发生前的问题，统计则是研究事件发生后的事情，排列，组合研究的是一个事件发生的结果有多少种可能，概率研究的则是一个可能发生的几率有多大，这是三者的区别，而排列又是可以帮组计算古典概型的，是两者的联系．
排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累方法使得排列组合问题得以快速准确求解．
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例题精讲
1. 相邻元素捆绑法
所谓“捆绑法”就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个“大”元素． 【例1】 6名学生排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起而不同排法共有（ ）
A ．720种
B．360种
C．240种
D．120种
2. 相离问题插空法
不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，在将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”
【例2】 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少
种不同的排法？
3. 定序问题缩倍法
在排列问题中某几个元素必须保持一定的顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便．
【例3】 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗，2面白旗，把这5面旗都挂
上去，可表示不同信号的种数是（ ）
4. 定位问题“优限法”
所谓“优限法”，即有条件的元素（或位置）在解题时优先考虑
【例4】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种
的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）
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5. 至少问题间接法
含“至多”，“至少”的排列组合问题，是需要分类的问题．可以用间接法，就是排除法(总体去杂)，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况．
【例5】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲与乙型电视机各一台，则不同的选
择方法共有（ ）
6. 选排问题先取后排法
对于排列组合问题的混合应用题，一般解法是先取（组合）后排（排列）
【例6】 四个不同的小球放入编号为1．2．3．4．的四个盒子中，则恰有一个空盒子的方法共有（ ）
种．
7. 多元问题分类法
元素多，取出的情况也有很多种情形，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计． 【例7】 由数字0．1．2．3．4．5．组成没有重复数字的6位数，其中个位数小于十位数的共有（ ）
8. 部分符合条件淘汰法
在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求． 【例8】 四面体的顶点与各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同取法共有（ ）
A．150种 B．147种 C．144种 D．141种
9. 有序问题逐分法
有序分配问题是指元素按要求分成若干组，常采用逐步分组法求解．
【例9】 有甲，乙，丙三项任务，甲需要2人承担，乙，丙各需1人承担，从10人中选派四人承担这三
项任务，不同的选发共有（ ）
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10. 标号排位问题分步法
把元素排在指定号码的位置上称为排位问题，求解这类问题可先把某个元素按规定排入，第二部再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．
【例10】 同寝室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺卡，则四张贺年卡不
同的分配方式有 ．
11. 插板法
对名额等无差异对象的分配问题，可将代表名额的元素排成一列，然后在各个元素的间隙中按照要求插入隔板就可以达到分组目的．
【例11】 某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，
名额分配方案共有 种．
12. 逐步探索法：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律
【例12】 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有多
少种．
13. 典型问题分组问题
分组问题中基本的平均分组问题是教学中的一个重点和难点．某些分组问题看似有是无顺序，但是用简单的分组方法却又包含了顺序．而何时该考虑顺序，何时又不该考虑顺序，对于某些学生来说却是不是那么容易弄清楚的．下面我就通过例子看看这些问题的做法． 【例13】 六本不同的书，分为三组，每组两本，有多少种分法？
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【例14】 六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法？
【例15】 六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？
14. 典型问题分组与分配问题
分组与分配
将n个不同元素按要求分成m组，称为分组问题，而将n个不同元素按要求分给m个人，称为分配问题．前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因分配对象不同是可区分的．由于两者之间容易混淆出错，故要区分好以下三个方面：
一、非平均分组与分配
【例16】 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师．
（1）若将9位评委老师分成三组进行打分，使一组2人、一组3人、一组4人的不同分法共有多少种？
（2）若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使一处2人、一处3人、一处4人的不同分法共有多少种？
（3）若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使东边2人、南边3人、西边4人的不同分法共有多少种？
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二、均匀分组与分配
【例17】 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师．
（1）若将9位评委老师平均分成三组进行打分，共有多少种不同分法？
（2）若将9位评委老师平均分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，共有多少种不同分
法？
三、部分均匀分组与分配
【例18】 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师．
（1）若将9位评委老师分成四组，一组3人，其余每组均为2人，其不同分法共有多少种？ （2）若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西、北四个位置进行打分，一处3人,其余各处
均为2人，其不同分法共有多少种？
（3）若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西、北四个位置进行打分，使东边3人，其余各处均为2人，其不同分法共有多少种？
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课堂总结
1. 使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成
这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法．
2. 排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关．
3. 复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于
结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验．
4. 按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意
“至少、至多”等词的意义．
5. 处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事
件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏．
6. 在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数
与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数．
总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等． 其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解．
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课后检测
【习题1】 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入
方法？
【习题2】 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
【习题3】 10个相同的小球，放入5个不同的盒子里面，每个盒子至少要放一个球．问有几种放法？
【习题4】 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法
(1) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2) 平均分成三堆；
(3) 分成三堆，一堆四本，另两堆各一本； (4) 分成四堆，两堆各一本，另两堆各两本；
(5) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得一本，乙得两本，丙得三本； (6) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得一本，一人得两本，一人得三本； (7) 平均分给甲、乙、丙三个人；
(8) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得四本，乙、丙各得一本； (9) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得四本，另两人各得一本； (10) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，甲、乙各得一本，丙、丁各得两本； (11) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，两人各得一本，另两人各得两本；
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【习题5】 x1x2x3......x50100,xiN此方程有多少组不同的解？
【习题6】 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）．
A． 24个
【习题7】 有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在
书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示)
【习题8】 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5
与6相邻，而7与8不相邻．这样的八位数共有( )个．(用数字作答)
B．30个
C．40个
D．60个
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【习题9】 6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？
【习题10】 4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，
有多少种排法．
【习题11】 7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
【习题12】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字
均不相同的填法种数有（）
A．6 B．9 C．11 D．23
【习题13】 方程abcd12有多少组正整数解？
【习题14】 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛
几场？
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