2020年北京附中九年级(上)月考数学试卷

题号 得分 一 二 三 四 总分 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（ ）

A.

B.

C.

D.

2. 方程x2-x=0的解是（ ）

A. x=0 B. x=1 C. x1=0，x2=-1 D. x1=0，x2=1

3. 有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适

当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的

概率为，则下列各图中涂色方案正确的是（ ）

A.

B.

C.

D.

4. 下列关于二次函数y=2x2的说法正确的是（ ）

A. 它的图象经过点（-1，-2） B. 当x＜0时，y随x的增大而减小 C. 它的图象的对称轴是直线 x=2 D. 当x=0时，y有最大值为0

5. 如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，

A'D'=3，则△ABC与△A'B'C'的面积的比为（ ）

A. 4：9 B. 9：4 C. 2：3 D. 3：2

6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中

心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）

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A. （2，5） B. （，5） C. （3，5） D. （3，6）

7. 如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，

若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在（ ）

A. 点A与点B之间靠近A点 C. 点B与点C之间靠近B点 B. 点A与点B之间靠近B点 D. 点B与点C之间靠近C点

8. 如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：

（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；

（2）分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，

两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；

（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论：

①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE=OE；④AD2=OD•CE；所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ①②④ 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若

AD=2，DB=3，DE=1，则BC的长是______． 10. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD

是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的

角度为______．

11. 已知反比例函数y=

y随x增大而减小，，当x＞0时，则m的取值范围是______．

12. 若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是______．

13. 小宇调查了初一年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如频数分布表：若要

从每个班级中选取10名身高在160cm和170cm之间同学参加学校的广播操展示，不考虑其他因素的影响，则______（填“1班”，“2班”或“3班”）的可供挑选的空间最大． 身高/厘米 频数 150≤x＜155 155≤x＜160 160≤x＜165 165≤x＜170 170≤x＜175 合计 第2页，共23页

班级 1班 1 2班 10 8 15 12 10 14 3 5 2 40 40 3班 5 10 10 8 7 40 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为______． 15. 为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF

的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE=0.5

EF=0.25米，米，目测点D到地面的距离DG=1.6米，到旗杆的水平距离DC=18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为______米．

16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，记x=AC，y=BC-AC，在

平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：

①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB=BC；

②在函数y=

（x＞0）的图象上存在两点边P，Q，使

得它们对应的直角三角形相似；

③对于函y=（x-2020）2-1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；

④在函数y=-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等． 所有正确结论的序号是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，

过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F． （1）求证：∠F=∠BAC；

（2）若DF∥AC，若AB=8，CF=2，求AC的长．

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四、解答题（本大题共11小题，共88.0分） 18. 解方程：x2-2x=2（x+1）．

19. 如图，已知∠B=∠C=90°，点E在BC上，且满足AB=4，

BE=2，CE=6，CD=3， 求证：AE⊥DE．

20. 已知二次函数y=x2-4x+3．

2

+k的形式；（1）用配方法将y=x2-4x+3化成y=a（x-h）

（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； （3）当0≤x≤3时，y的取值范围是______．

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21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC=2，AC=2

（1）求点O到AC的距离； （2）求∠ADC的度数．

22. 某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000m3，

共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方vm3，共计t天运输完成．

（1）请直接写出v关于t的函数关系式；

（2）为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加 多少土方运输量？ 23. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0

（1）c=2b-1时，求证：方程一定有两个实数根．

（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为

b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率．

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24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx-1（k≠0）与函数y=（x＞0）的图

象交于点A（3，2）． （1）求k，m的值；

（2）将直线l沿y轴向上平移t（t＞0）个单位后，所得直线与x轴，y轴分别交于点P，Q，与函数y=（x＞0）的图象交于点C． ①当t=2时，求线段QC的长．

②若2＜＜3，结合函数图象，直接写出t的取值范围．

25. 如图，在弧AB和弦AB所组成的图形中，P是弦AB上一动点，过点P作弦AB的

垂线，交弧AB于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．

小宇根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm x/cm 0 1 2 3 4 5 6 第6页，共23页

y1/cm y2/cm 0 0 2.24 2.45 2.83 3.46 3.00 4.24 2.83 2.24 0 6 ______ 5.48 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为______

C为直线y=326. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2ax+a2-a+4的顶点为A，点B，

上的两个动点（点B

在点C的左侧），且BC=3．

（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）若△ABC是以BC为直角边的等腰直角三角形，求抛物线的解析式；

（3）过点A作x轴的垂线，交直线y=3于点D，点D恰好是线段BC三等分点且满足BC=3BD，若抛物线与线段BC只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．

CD，27. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点C关于直线AB的对称点为D，连接BD，

过点B作BE∥AC交直线AD于点E． （1）依题意补全图形；

（2）找出一个图中与△CDB相似的三角形，并证明； （3）延长BD交直线AC于点F，过点F作FH∥AE交直线BE于点H，请补全图形，猜想BC，CF，BH之间的数量关系并证明．

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28. 新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形

G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线． （1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：

①直线y=2x+2；②直线y=-x+3；③双曲线y=，是⊙O的关联图形的是______（请直接写出正确的序号）．

（2）如图1，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y=-x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．

（3）如图2，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，-2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线 x=6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C．

根据中心对称图形的概念求解．

此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2.【答案】D

【解析】解：x（x-1）=0， x=0或x-1=0， 所以x1=0，x2=1． 故选：D．

先把方程左边分解，这样把原方程化为x=0或x-1=0，然后解一次方程即可． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 3.【答案】C

6=，故选项错误； 【解析】解：A、指针指向灰色的概率为2÷B、指针指向灰色的概率为3÷6=，故选项错误； C、指针指向灰色的概率为4÷6=，故选项正确； D、指针指向灰色的概率为5÷6=，故选项错误．

故选：C．

指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 4.【答案】B

【解析】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故A选项不合题意；

当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B正确； 它的图象的对称轴是直线 y轴，故C选项不合题意； 当x=0时，y有最小值为0，故D选项不合题意； 故选：B．

直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．

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此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键． 5.【答案】A

【解析】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，AD=2，A'D'=3， ∴

=

=，

∴△ABC与△A'B'C'的面积的比=（）2=，

故选：A．

根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．

本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 6.【答案】B

【解析】【分析】

此题主要考查了位似变换，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系． 【解答】

解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）， ∴=， ∵A（1，2）， ∴C（，5）．

故选B． 7.【答案】C

【解析】解：如图，观察图象可知，

原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点， 故选：C．

画出图象，利用图象法即可解决问题；

本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 8.【答案】D

【解析】解：由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，故①正确， ∴OP⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC=90°， ∴∠AOD=∠AOC=45°，

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∵OB=OC， ∴∠OBC=45°，

∴∠AOD=∠OBC=45°， ∴OD∥BC，故②正确， ∴=＜1，

∴OE＜EC，故③错误， 连接CD．

∵∠DCE=∠DCO，∠CDE=∠COD=45°， ∴△DCE∽△OCD， ∴=， ∴CD2=OD•CE， ∵∠AOD=∠DOC， ∴=，

∴AD=CD，

∴AD2=OD•CE，故④正确， 故选：D．

由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．

本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9.【答案】2.5

【解析】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC=AD：AB， ∵AD=2，DB=3， ∴AB=AD+BD=5， ∴1：BC=2：5， ∴BC=2.5，

故答案为：2.5．

首先由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长．

本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．

10.【答案】135°

【解析】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得， ∴∠AOC为旋转角， ∵∠AOB=45°， ∴∠AOC=135°，即旋转角为135°． 故答案为：135°．

利用旋转的性质得到∠AOC为旋转角，然后利用∠AOB=45°得到∠AOC的度数即可． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

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11.【答案】m＞2

【解析】【分析】

本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m-2＞0是解题的关键． 根据反比例函数y=m的取值范围． 【解答】

解：∵反比例函数y=∴m-2＞0， 解得：m＞2． 故答案为m＞2．

，当x＞0时，y随x增大而减小，

，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m-2＞0，解之即可得出

12.【答案】3π

【解析】解：扇形的面积=故答案为3π．

利用扇形的面积公式计算即可．

本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式S=

．

=3π，

13.【答案】1班

【解析】解：身高在160cm和170cm之间同学人数：一班26人，二班13人，三班18人，

因此可挑选空间最大的是一班， 故答案为：1班．

根据各个班身高在160cm和170cm之间同学的人数，进行判断即可．

考查频数分布表的表示方法，从表格中获取数据和数据之间的关系是正确判断的前提． 14.【答案】2

【解析】解：∵函数y=（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D， 2=1， ∴S△OAC=S△OBD=×∴S△OAC+S△OBD=1+1=2． 故答案为2．

2=1，再相加即可． 根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC=S△OBD=×

本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于|k|．

15.【答案】10.6

【解析】解：∵CD⊥AB，△DEF为直角三角形， ∴∠DEF=∠ACD，

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∵∠ADC=∠FDE， ∴△ACD∽△FED， ∴=，

∵DE=0.5米，EF=0.25米，DC=18米， ∴=

，

∴AC=9米， ∵DG=1.6米， ∴BC=1.6米， ∴AB=10.6米， 故答案为：10.6．

根据题意证出△ACD∽△FED，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案． 此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键．

16.【答案】①③④

【解析】解：①∵在x轴正半轴上的任意点（x，y）， ∴y=0， ∴AC=BC， ∴AB=BC； ②设P（{x1，

），Q（，

），

；，+

，

则对应的直角三角形的直角边分别为x1，x1+若两个三角形相似，则有∴=， ∵x＞0， ∴x1=，

=

，

∴不存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似； ③设P（x1，（x1-2020）2-1），Q（，（-2020）2-1），

则对应的直角三角形的直角边分别为x1+（x1-2020）2-1，x1；，+（-2020）2-1， 若两个三角形相似，则有

=

，

∴（x1-）（x1+1-20202）=0， ∵x＞0，

∴x1+1=20202，

∴图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；

④设P（x1，-2x1+2020），Q（，-2+2020），

则对应的直角三角形的直角边分别为x1，-x1+2020；，-+2020， 若两个三角形全等，则有x1=-+2020，=-x1+2020， ∴+x1=2020， ∵x＞0，

∴图象上存在无数对点P，Q，使得它们对应的直角三角形全等； 故答案为①③④．

①在x轴正半轴上的任意点（x，y），则y=0，所以AC=BC，由勾股定理可得AB=

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BC；

②设P（{x1，，+

），Q（，），则对应的直角三角形的直角边分别为x1，x1+

=

；

，若两个三角形相似，则有，可得=，当x＞0时x1=；

③设P（x1，（x1-2020）2-1），Q（，（-2020）2-1），则对应的直角三角形的直角边分别为x1+（x1-2020）2-1，x1；，+（-2020）2-1，若两个三角形相似，则有

=

，（x1-）（x1+1-20202）=0，由条件可得x1+1=20202；

④设P（x1，-2x1+2020），Q（，-2+2020），则对应的直角三角形的直角边分别为x1，-x1+2020；，-+2020，若两个三角形全等，则有x1=-+2020，可得+x1=2020． 本题考查函数的性质，新定义，三角形性质；能够理解题意，将问题转化为直角三角形相似与全等，利用相似与全等的关系结合直角三角形的性列出正确的等式，再能正确求解方程是解题的关键．

17.【答案】（1）证明：∵DF是⊙O的切线， ∴OD⊥DF， ∴∠ODF=90°， ∴∠F+∠DBC=90°， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°，

∴∠BAC+∠DAC=90°， ∵∠DBC=∠DAC， ∴∠BAC=∠F

（2）解：连接CD，

∵DF∥AC，∠ODF=90°， ∴∠BEC=∠ODF=90°， ∴直径BD⊥AC于E， ∴AE=CE=AC， ∴AB=BC， ∵AB=8， ∴BC=8，

∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD=90°，

∴∠DBC+∠BDC=90°， ∵∠DBC+∠F=90°， ∴∠BDC=∠F，

∵∠BCD=∠FCD=90°， ∴△BCD∽△DCF， ∴

，

∵BC=8，CF=2， ∴DC=4，

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∴

∵在△BCD中，∴

，

．

=4．

，

∴AC=2CE=

【解析】（1）证∠F+∠DBC=90°，可得∠BAC+∠DAC=90°，又∠DBC=∠DAC，则∠BAC=∠F，结论得证；

（2）连接CD，证明△BCD∽△DCF，可得

，求出DC=4，BD=4

，由三角形面

积可得出CE，则AC可求出．

本题考查了相似三角形的性质及判定，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解答时运用好切线的性质求解是解答本题的关键． 18.【答案】解：整理得x2-4x=2， x2-4x+4=2+4，即（x-2）2=6， ∴x-2=，

∴x1=2+，x2=2-．

【解析】整理得x2-4x=2，然后利用配方法求解即可． 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 19.【答案】证明：∵AB=4，BE=2，CE=6，CD=3， ∴

，

∵∠B=∠C=90°， ∴△ABE∽△ECD， ∴∠A=∠CED， ∵∠B=90°， ∴∠A+∠AEB=90°， ∴∠CED+∠AEB=90°，

-∠AEB-∠CED=90°∴∠AED=180°，

∴AE⊥DE．

【解析】证明△ABE∽△ECD，可得∠A=∠CED，则∠CED+∠AEB=90°，可得出

-∠AEB-∠CED=90°∠AED=180°，则结论得证．

本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质是解答此题的关键． 20.【答案】（1）y=x2-4x+3=（x-2）2-1； （2）这个二次函数的图象如图：

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（3）-1≤y≤3

【解析】解： （1）见答案； （2）见答案；

（3）当0≤x≤3时，-1≤y≤3． 故答案为-1≤y≤3． 【分析】

（1）运用配方法把一般式化为顶点式；

（2）根据函数图象的画法画出二次函数图象即可； （3）运用数形结合思想解答即可．

本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．

21.【答案】解：（1）连接OA，作OH⊥AC于H， OA2+OC2=8，AC2=8， ∴OA2+OC2=AC2，

∴△AOC为等腰直角三角形， ∴OH=AC=

，即点O到AC的距离为

；

（2）由圆周角定理得，∠B=∠AOC=45°， ∵四边形ABCD内接于⊙O，

-45°=135°∴∠ADC=180°．

【解析】（1）连接OA，作OH⊥AC于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC=90°，根

据等腰直角三角形的性质解答；

（2）根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．

本题考查度数圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．

22.【答案】解：（1）由题意得：v=

（2）当t=40时，v=

=2500，

=；

2500-2000=500（m3），

答：实际平均每天至少需要比原计划增加500m3土方运输量．

【解析】（1）根据题意得等量关系：平均每天运输土方=土方总量÷时间，然后可得v关于t的函数关系式；

（2）求出当t=40时v的值，然后其计算与2000的差即可．

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此题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

23.【答案】（1）证明：∵△=b2-4•c=b2-c=0，

∴将c=2b-1代入得：△=b2-（2b-1）=b2-2b+1=（b-1）2≥0， ∴方程一定有两个实数根； （2）解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根，△=b2-4•c=b2-c=0， ∴b2=c，满足条件的结果有（1，1）和（2，4），共2种， ∴P（b、c的值使方程x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率）=．

【解析】（1）直接利用根的判别式以及完全平方公式进而分析得出答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；可得2x+y=6的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

24.【答案】解：（1）将点A（3，2）的坐标分别代入y=kx-1（k≠0）与y=（x＞0）中，

得

2=3k-1，2=，

∴k=1，m=6；

（2）①∵直线y=kx-1与y轴交于点（0，-1）， ∴当t=2时，Q（0，1）．

此时直线解析式为y=x+1，代入函数y=中，整理得，x（x+1）=6， 解得x1=-3（舍去），x2=2， ∴C（2，3）， ∴QC=

=2

．

②如图，作CD⊥x轴于D， 若=2时，则=2，=3， ∵直线解析式系数k=1， ∴OP=OQ， 设OP=OQ=a， ∴OD=2a，CD=3a， ∴CD==，

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∴3a=， 解得a=1，

∴此时t=1+1=2，

若=3时，则=3，=4， ∵直线解析式系数k=1， ∴OP=OQ， 设OP=OQ=a， ∴OD=3a，CD=4a， ∴CD==， ∴4a=， 解得a=， ∴此时t=1+，

∴若2＜＜3，结合函数图象，得出t的取值范围是1+＜t＜2．

【解析】（1）将点A分别代入y=kx-1（k≠0）与y=（x＞0），即可求出k、m的值； （2）①求出当t=2时直线解析式，代入函数y=中，整理得，x（x+1）=6，解方程求出点C的坐标，即可求出QC的长；②观察图象解答即可．

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． 25.【答案】4.90 1.50或4.50

【解析】解：（1）利用测量法可知：当x=4时，y2=4.90． 故答案为4.90．

（2）函数图象如图所示：

（3）函数y1与直线y=

x的交点的横坐标为1.50，

函数y1与直线y=x的交点的横坐标为4.50，

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故当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为1.50或4.50． 故答案为1.50或4.50．

（1）利用测量法解决问题即可． （2）利用描点画出函数图象即可． （3）利用图象法求出函数y1与直线y=

x，直线y=x的交点的横坐标即可解决问题．

本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，一次函数的性质，函数的图象与

性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 26.【答案】解：（1）y=x2-2ax+a2-a+4=（x-a）2+4-a， 故点A（a，4-a）；

（2）点A所在的直线为：y=4-x，

联立y=4-x与y=-x并解得：x=1，故两个直线的交点为（1，3）； ①当点C的坐标为：（1，3）时，

则点B（-2，3），点A（-2，6），a=-2， 故抛物线的表达式为：y=（x+2）2+6； ②当点B的坐标为：（1，3）时， 则点A（4，0），则a=4，

故抛物线的表达式为：y=（x-4）2；

综上，抛物线的表达式为：y=（x+2）2+6或y=（x-4）2；

（3）点A（a，4-a），则点D（a，3），

BC=3BD，则点B、C的坐标分别为：（a-1，3）、（a+2，3）， 将抛物线y=x2-2ax+a2-a+4与直线y=3联立并解得：x=a±，

故点E、F的坐标分别为：（a-，3）、（a+，3），

①当a=1时，点E、B、C、F的坐标分别为：（1，3）、（0，3）、（2，3）、（1，3），而点A（1，3），

此时，抛物线于BC只有一个公共点； ②当a＞1时，

=a+2，解得：a=5； 当点C、F重合时，则a+

=a-1，解得：a=2， 当点B、E重合时，a-故2＜a≤5；

综上，a=1或2＜a≤5．

【解析】（1）y=x2-2ax+a2-a+4=（x-a）2+4-a，即可求解；

（2）分当点C的坐标为：（1，3）时、点B的坐标为：（1，3）时，两种情况分别求解；

（3）分a=1、a＞1两种情况，分别求解即可．

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本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质等，其中（2）、（3），都要注意分类求解，避免遗漏． 27.【答案】解：（1）如图1所示：

（2）与△CDB相似的三角形是△ABE，

理由如下：∵点C关于直线AB的对称点为D， ∴CH=DH，AB⊥CD，

∴AB是CD的垂直平分线，

∴AD=AC，BC=BD，且AB⊥CD，

∴∠ACD=∠ADC，∠CAB=∠DAB，∠BCD=∠BDC，∠DBA=∠CBA， ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠CAB=90°，且∠ABC+∠BCH=90°，∠BAC+∠ACD=90°， ∴∠BCD=∠BAC，∠ACD=∠ABC， ∴∠DAB=∠BCD=∠BAC=∠BDC， ∵AC∥BE，

∴∠CAB=∠ABE，

∴∠CDB=∠ABE，且∠DAB=∠BCD， ∴△BCD∽△EAB；

（3）BH•FC=BC2+CF2， 理由如下： 如图2，

∵∠ACB=90°， ∴BC2+CF2=BF2， ∵△BCD∽△EAB， ∴∠AEB=∠CBD，

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∵AE∥FH，

∴∠H=∠AEB=∠CBD， ∵AC∥BE，

∴∠CFB=∠FBH， ∴△FCB∽△BFH， ∴

，

∴BF2=BH•FC，

∴BH•FC=BC2+CF2．

【解析】（1）由题意补全图形；

（2）由轴对称的性质可得AB是CD的垂直平分线，可得AD=AC，BC=BD，由等腰三角形的性质和余角的性质，可得∠DAB=∠BCD=∠BAC=∠BDC，由平行线的性质可得∠CAB=∠ABE=∠CDB，可证△BCD∽△BAE；

（3）由勾股定理可得BC2+CF2=BF2，通过证明△FCB∽△BFH，可得

，可得结论．

本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的

性质，相似三角形的判定和性质，找到正确的相似三角形是本题的关键． 28.【答案】①③

【解析】解：（1）由题意①③是⊙O的关联图形， 故答案为①③．

（2）如图1中，

∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线，

∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2， 当临界状态为l1时，连接TM（M为切点）， ∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°， ∴△TMN是等腰直角三角形， ∴TN=，OT=1， ∴N（1+，0），

把N（1+，0）代入y=-x+b中，得到b=1+， 同法可得当直线l2是临界状态时，b=-+1， ∴点N的横坐标的取值范围为-+1≤≤+1．

（3）如图3-1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H（2，0），得到h的最大值为2，

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如图3-2中，当点P在点Q是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H（-6，0）得到h的最小值为-6，

综上所述，-6≤h＜0，0＜h≤2．

（1）根据⊙A的关联图形的定义判断即可．

（2）直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，求出两种特殊情形的点N的横坐标即可解决问题．

（3）分两种情形：如图3-1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H（2，0），得到h的最大值为2．如图3-2中，当点P在点Q是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H（-6，0）得到h的最小值为-6，由此即可解决问题．

本题属于圆综合题，考查了⊙A的关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．

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