南昌一中、南昌十中高三数学第一次联考试题 理(含解析)

（理科）参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2

1．（5分）（2013•珠海二模）已知集合A={x|x＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（ ） A． {x|x＜﹣1} B． {x|＞0} C． {x|x＞1} D． {x|x＜﹣1或x＞1}

考点：交集及其运算． 专题：不等式的解法及应用． 分析：化简A、B两个集合，利用两个集合的交集的定义求出A∩B．

2

解答：解：集合A={x|x＞1}={x|x＞1 或 x＜﹣1}，B={x|log2x＞0=log21 }={x|x＞1}，

A∩B={x|x＞1}， 故选C． 点评：本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，化简A、B两个集合是解

题的关键． 2．（5分）设函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则有（ ） A． B． C． D．

考点：一次函数的性质与图象；函数单调性的性质． 专题：计算题． 分析：根据一次函数的单调性由x的系数可得2a﹣1＜0，解可得答案． 解答：解：∵函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，

则2a﹣1＜0

∴a＜

故选B． 点评：本题主要考查一次函数的单调性． 3．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ） ①

②f（x）=x与③f（x）=x与

20

与

；

；

；

2

④f（x）=x﹣2x﹣1与g（t）=t﹣2t﹣1． A． ①② B． ①③ C． ③④

考点：判断两个函数是否为同一函数．

D． ①④

专题：函数的性质及应用． 分析：确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案． 解答：

解：①f（x）==与y=的对应法则和值域不同，故不是同

一函数． ②

③f（x）=x与

20

=|x|与f（x）=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．

都可化为y=1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．

2

④f（x）=x﹣2x﹣1与g（t）=t﹣2t﹣1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数． 由上可知是同一函数的是③④． 故选C． 点评：本题考查了函数的定义，明确三要素是判断两个函数是否是同一函数的依据．

2

4．（5分）条件p：|x|=x，条件q：x≥﹣x，则p是q的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：计算题． 分析：通过解方程化简条件p：为x≥0，通过解不等式化简条件q：为x≥0或x≤﹣1，判

断出{x|x≥0}⊊{x|x≥0或x≤﹣1}，根据小范围成立大范围一定成立，利用充要条件的有关定义得到结论． 解答：解：条件p：|x|=x，即为x≥0

2

条件q：x≥﹣x，即为x≥0或x≤﹣1， 因为{x|x≥0}⊊{x|x≥0或x≤﹣1}， 所以p是q充分不必要条件． 故选A． 点评：本题考查判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，若两个都是

数集，常转化为集合间的包含关系，属于基础题． 5．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ） A． f（﹣x）+f（x）=0 B． f（﹣x）﹣f（x）=C． f（x）•f（﹣x）≤0 D．

﹣2f（x）

考点：函数奇偶性的性质． 专题：常规题型． 分析：由函数为奇函数，可得到f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0，通过加减乘除来变形，可

得到结论． 解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数

∴f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0 可变形为：f（﹣x）+f（x）=0 f（﹣x）﹣f（x）=﹣2f（x）

f（x）•f（﹣x）≤0 而由f（0）=0 由知D不正确． 故选D 点评：本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形，数学建模，用模，解模的意识要加强，每

一个概念，定理，公式都要从模型的意识入手．

2

6．（5分）如果函数f（x）=x+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（ ） A． a≤﹣3 B． a≥﹣3 C． a≤5 D． a≥5

考点：二次函数的性质． 专题：计算题． 分析：先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知

对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．

22

解答：解：∵f（x）=x+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）+2﹣（a﹣1）2

其对称轴为：x=1﹣a

2

∵函数f（x）=x+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数 ∴1﹣a≥4 ∴a≤﹣3 故选A 点评：本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这

是研究二次函数单调性和最值的关键． 7．（5分）设a=log23，b=log46，c=log，则下列关系中正确的是（ ） A． a＞b＞c B． a＞c＞b C． c＞b＞a D． c＞a＞b

考点：对数值大小的比较． 专题：常规题型． 分析：根据换底公式变为同底的对数再比较大小． 解答：

解：log46==；log==

∵3＞∴

＞

故选A 点评：本题考查了换底公式，和对数函数的单调性．当给出的对数不同底时，往往要转化为

同底的进行大小比较． 8．（5分）已知a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）=loga（x+b）的图象可能为 （ ）

A．

B．

C．

D．

考点：对数函数的图像与性质；二次函数的图象． 专题：计算题． 分析：由a＞b，函数f（x）=（x﹣a） （x﹣b）的图象可知，a＞1＞b＞0．于是g（x）=loga

（x+b）的图象是单调递增的，g（1）＞0，从而可得答案． 解答：解：由f（x）=（x﹣a） （x﹣b）的图象与a＞b得：a＞1＞b＞0．

∴g（x）=loga（x+b）的图象是单调递增的，可排除A，D， 又g（1）=loga（1+b）＞loga1=0，可排除C， 故选B． 点评：本题考查对数函数的图象与性质，由由a＞b与函数f（x）=（x﹣a） （x﹣b）的图象

得到a＞1＞b＞0是关键，属于基础题． 9．（5分）函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠1}，对定义域中的任意的x，都有f（2﹣x）=

2

﹣f（x），且当x＜1时，f（x）=2x﹣x+1，那么当x＞1时，f（x）的递减区间是（ ） A． B． C． D．

考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：先确定当x＞1时，f（x）的解析式，再配方，即可求得函数的递减区间． 解答：解：设x＞1，则2﹣x＜1

2

∵当x＜1时，f（x）=2x﹣x+1，

2

∴f（2﹣x）=2（2﹣x）﹣（2﹣x）+1， ∵f（2﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣2（2﹣x）+（2﹣x）﹣1=﹣2（x﹣）﹣， ∴当x＞1时，f（x）的递减区间是

2

2

故选C． 点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的单调性，正确确定函数的解析式是关键．

10．（5分）函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f

x

（x）=2，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（ ）

x+6x+6x﹣6x﹣6

A． 2 B． ﹣2 C． 2 D． ﹣2

考点：函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性． 专题：计算题． 分析：由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f（3﹣x） ，我们可

以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出

x

函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2，即可求出当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）的解析式． 解答：解：∵f（3+x）=f（3﹣x） ，

故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴 又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数， 故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心 则T=12是函数y=f（x）的一个周期

x+6

设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2=f（﹣x）=﹣f（x）

x+6

即f（x）=﹣2 故选B 点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，函数的对称性，函数的同期性，其中根据

直线x=a是函数图象的对称轴，（b，0）是函数图象的对称中心，则T=4|a﹣b|是函数的周期是解答本题的关系．

二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在答题纸的相应横线上．

11．（5分）设，若f（x）=3，则x= ．

考点：函数的值． 分析：

根据已知中分段函数的解析式

，我们分x≤﹣1时、﹣

1＜x＜2时、x≥2时三种情况，分别构造方程，解出满足条件的x值，即可得到答案． 解答：解：当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）

2

当﹣1＜x＜2时，即x=3，解得x=，或x=﹣（舍去）

当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去）

故当f（x）=3，则x= 故答案为： 点评：本题考查的知识点是函数函数的值，分段函数分段处理，分别在若干个x的不同取值

范围内，构造满足条件的方程，并结合x的不同取值范围进行求解是解决这类问题的通法．

12．（5分）已知，函数f（x）=a，若实数m，n满足f（m）＜f（n），则m、n

x

的大小关系是 m＞n ．

考点：指数函数的单调性与特殊点． 专题：计算题．

x

分析：由题意可得：函数f（x）=a在R上是单调减函数，又f（m）＜f（n） ，可得：m＞n． 解答：

解：因为＜1， 所以函数f（x）=a在R上是单调减函数， 因为f（m）＜f（n），

所以根据减函数的定义可得：m＞n． 故答案为：m＞n． 点评：解决此类问题的关键是熟练掌握指数函数的单调性与定义，以及单调函数的定义，此

题属于基础题．

22

13．（5分）已知命题p：∀x∈[1，2]，x﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为 a≤﹣2或a=1 ．

考点：命题的真假判断与应用． 专题：计算题． 分析：根据命题“p且q”是真命题，得到两个命题都是真命题，当两个命题都是真命题时，

第一个命题是一个恒成立问题，分离参数，根据x的范围，做出a的范围，第二个命题是一元二次方程有解问题，利用判别式得到结果． 解答：解：∵“p且q”是真命题，

∴命题p、q均为真命题，

2

由于∀x∈[1，2]，x﹣a≥0， ∴a≤1；

2

又因为∃x∈R，x+2ax+2﹣a=0，

2

∴△=4a+4a﹣8≥0， 即（a﹣1）（a+2）≥0， ∴a≤﹣2或a≥1，

综上可知，a≤﹣2或a=1． 故答案为：a≤﹣2或a=1 点评：本题考查命题真假的判断与应用，是一个综合题，这种题目一般是以解答题目出现，

是一个不错的题目，但解起来容易出错．

14．（5分）函数y=

的单调递减区间是 （1，3] ．

x

考点：对数函数的单调区间． 专题：计算题．

分析：由﹣x+6x﹣5＞0， 先求函数的定义域（1，5）由复合函数的单调性可知只需求出t（x）

2

=﹣x+6x﹣5的单调递增区间，最后于定义域取交集可得答案．

2

解答：解：由﹣x+6x﹣5＞0解得，1＜x＜5，即函数的定义域为（1，5）

函数y=

可看作y=

，和t（x）=﹣x+6x﹣5的复合．

2

2

由复合函数的单调性可知只需求t（x）的单调递增区间即可， 而函数t（x）是一个开口向下的抛物线，对称轴为x=

，

故函数t（x）在（﹣∞，3]上单调递增，由因为函数的定义域为（1，5）， 故函数y=

的单调递减区间是（1，3]．

故答案为（1，3]． 点评：本题为复合函数的单调区间的求解，利用复合函数的单调性的法则，注意定义域优先

的原则，属基础题． 15．（5分）（2012•菏泽一模）已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题： ①f（2）=0；

②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴； ③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8． 上述命题中所有正确命题的序号为 ①②④ ．

考点：命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质． 专题：计算题． 分析：根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2） ，中令x=﹣2可得

f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论． 解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（﹣x）=f（x）， 可得f（﹣2）=f（2）， 在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得 f（2）=f（﹣2）+f（2）， ∴f（﹣2）=f（2）=0， ∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示． 从图中可以得出：

②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴； ③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8． 故答案为：①②④．

点评：本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，

属于难题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．

2

16．（12分）已知集合A={x|x﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}， （1）当m=0时，求A∩B

2

（2）若p：x﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法． 专题：常规题型；转化思想． 分析：（1）分别求出A，B，再根据集合的交集运算，求出A与B的交集即可；

（2）由于q是p的必要不充分条件，再由判断充要条件的方法，我们可知A

B，再

根据集合关系求出m的范围即可．

2

解答：解： （1）∵A={x|x﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，…（2分）

B={x|（x+1）（x﹣1）≥0}={x|x≥1或x≤﹣1}．…（4分） ∴A∩B={x|1≤x＜3}． …（6分） （2）由于命题p为：（﹣1，3），…（7分） 而命题q为：（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），…（9分） 又q是p的必要不充分条件，即p⇒q，…（10分） 所以 m+1≤﹣1或m﹣1≥3，解得 m≥4或m≤﹣2 即实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）． …（12分） 点评：本题考查充分条件、 必要条件及充要条件的判断，同时考查了一元二次不等式的解法，

集合的运算．

由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，

则A

B．

17．（12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．

（1）求f（8）的值；

（2）求不等式f（x）＞3+f（x﹣2）的解集．

考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．

专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：（1）令x=y=2，可求得f（4） ，继而可求得f（8）的值；

（2）由（1）f（8）=3，可求得f（x）＞3+f（x﹣2）⇔f（x）＞f（8x﹣16），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数即可求得答案． 解答：解： （1）由题意得f（8）=f（4×2）

=f（4）+f（2） =f（2×2）+f（2） =f（2）+f（2）+f（2） =3f（2），

又∵f（2）=1，

∴f（8）=3…（6分）

（2）不等式化为f（x）＞f（x﹣2）+3 ∵f（8）=3，

∴f（x）＞f（x﹣2）+f（8）=f（8x﹣16）…（8分） ∵f（x）是（0，+∞）上的增函数

∴解得2＜x＜

．

}…（12分）

∴不等式f（x）＞3+f（x﹣2）的解集为{x|2＜x＜

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法与函数单调性的性质，求得f（8）=3是关

键，属于中档题． 18．（12分）（2003•北京）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

考点：根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义． 专题：应用题；压轴题． 分析：（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；

（Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论． 解答：解： （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，

未租出的车辆数为

，

所以这时租出了88辆车．

（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元， 则租赁公司的月收益为

，

整理得

所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，

．

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元． 点评：本题以实际背景为出发点， 既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特

别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．

19．（12分）已知函数

（I）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求的值；

（II）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

考点：函数单调性的判断与证明． 专题：探究型． 分析：（I）由f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．0＜a＜b，且f（a）

=f（b），推得0＜a＜1＜b， 从而分别求得f（a），f（b），根据其关系得到结论．

（II）先假设存在满足条件的实数a，b，由于f（x）是分段函数，则分当a，b∈（0，1）2时，a，b∈[1，+∞） a∈（0，1），b∈[1，+∞）时三种情况分析． 解答：

解：（I）∵

∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数． 由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得0＜a＜1＜b且（II）不存在满足条件的实数a，b．

若存在满足条件的实数a，b，则0＜a＜b 当a，b∈（0，1）时，

3在（0，1）上为减函数．

．所以

．

故即解得a=b．

故此时不存在适合条件的实数a，b． 当a，b∈[1，+∞）时，

在（1，+∞）上是增函数．

故即

此时a，b是方程x﹣x+1=0的根，此方程无实根． 故此时不存在适合条件的实数a，b． 当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]， 故此时不存在适合条件的实数a，b． 综上可知，不存在适合条件的实数a，b． 点评：本题主要考查分段函数在的单调性、定义域和值域，同时还考查学生的分类讨论解决

问题的能力． 20．（13分）集合A是由适合以下性质的函数组成：对于任意x≥0，f（x）∈[﹣2，4]，且f（x）在（0，+∞） 上是增函数． （1）试判断

及

是否在集合A中，并说明理由；

2

（2）若定义：对定义域中的任意一个x都有不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）恒成立，

则称这个函数为凸函数．对于（1）中你认为在集合A中的函数f（x）是凸函数吗？试证明你的结论．

考点：函数恒成立问题；奇函数；偶函数． 专题：函数的性质及应用． 分析：（1）依据集合A的定义逐一判断即可．

（2）验证（1）中属于集合A的函数是否满足凸函数的定义即可． 解答： 解：（1）当x=49时，，所以f（x）∉A；

1

当x≥0时，4]， 又当x＞0时，故f2（x）∈A．

，4﹣6∈[﹣2，4），所以f2（x）∈[﹣2，

单调递减，∴单调递增，

（2）因为f2（x）+f2（x+2）﹣2f2（x+1）=[4﹣6﹣6=12

] ﹣6

﹣6

=

]+[4﹣6]﹣2[4

，所以，f2（x）+f2（x+2）

＜2f2（x+1）．

即f2（x）对任意x都有不等式f2（x）+f2（x+2）＜2f2（x+1）成立． 故f2（x）是凸函数． 点评：本题考查了函数恒成立问题，利用所学知识解决新问题的能力．

21．（14分）已知函数（1）求m+n的值； （2）设

是奇函数，f（x）=lg（10+1）+mx是偶函数．

x

，若g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a

的取值范围．

考点：函数奇偶性的性质；其他不等式的解法． 专题：计算题；转化思想． 分析：（1）函数g（x）是奇函数，且在x=0处有意义，得g（0）=0，解得m，f（x）是偶

函数利用f（﹣x）=f（x）解得n，从而得m+n的值．

x﹣x

（2）g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立即lg（2a+2）小于2﹣2的最小值，利用单调性的定义探讨该函数的单调性即可的其最小值，将恒成立问题转化为函数的最值问题，解不等式组即可的a的范围． 解答：

解：（1）∵g（x）为奇函数，且定义域为R∴g（0）==0，解得n=1

∵f（x）=lg（10+1）+mx是偶函数． ∴f（﹣x）=lg（10+1）﹣mx=（m+1）x

=f（x）=lg（10+1）+mx∴m=﹣（m+1），∴m=﹣∴m+n=（2）∵（10+1）

lg（2a+1）

∴h[lg（2a+1）]=lg[10+1]=lg（2a+2） ∵

=2﹣2

x

﹣x

x

﹣x

x

x

﹣xx

﹣mx=lg（10+1）﹣x﹣mx=lg（10+1）﹣

xx

=lg

∴g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立即lg（2a+2）＜2﹣2对任意x≥1恒成立

取x1＞x2≥1，则g（x1）﹣g（x2）=（

）

＞0

即当x≥1时，g（x）是增函数，∴g（x）min=f（1）=

由题意得2a+2＜解得﹣＜a＜5

，2a+1＞0，2a+2＞0， ﹣1

﹣1}

即a的取值范围是{a|﹣＜a＜5

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，单调性的判断和证明，在探讨不等式恒成立时注意条

件的转化，考虑定义域．是中档题．