9年级培优专题08 二次函数

阅读与思考

二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：

1.二次函数解析式yaxbxc的系数符号，确定图象的大致位置.

24acb2bb2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a有关，与（，）决定抛

4a2a2a物线对称轴与顶点的位置.

3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：yaxbxc； ②顶点式ya(xm)n：；

③交点式：ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2为方程axbxc0的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.

222

例题与求解

【例1】 二次函数yaxbxc的图象如图所示，现有以下结论：①abc0；②bac；③

24a2bc0；④2c3b；⑤abmambm1.其中正确的结论有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （天津市中考试题）

解题思路：由抛物线的位置确定a，b，c的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.

y-1O123x

2

【例2】 若二次函数yaxbxc(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则Sabc的值的变化范围是（ ）

A.0＜S＜1 B. 0＜S＜2 C. 1＜S＜2 D. －1＜S＜1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：设法将S表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S的值的变化范围.

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【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面102米，入水处距池边的距离3为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿

3米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 53解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为3米时，该运动员

5势时，距池边的水平距离为3与跳台的垂直距离.

yA3mO跳台10 m支柱1m池边B水面x

【例4】 如图，在直角坐标xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，段AB的长为6.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在y轴上求作一点P（不写作法），使PA＋PC最小，并求P点坐标；

3），且在x轴上截得的线

（3）在x轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A，B，P点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.

yOACBx

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【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF＝2，BF＝1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路：设DN＝PM＝x，矩形PNDM的面积为y，建立y与x的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.

EMAPFBD

2【例6】 将抛物线c1:y13x3沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.

NC

（1）请直接写出抛物线c2的表达式.

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D，E.

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题） 解题思路：把相应点的坐标用m的代数式表示，由图形性质建立m的方程. 因m值不确定，故解题的关键是分类讨论.

yc2Oc1x

能力训练

A级

1.已知抛物线yx(a2)x9的顶点在坐标轴上，则a的值为__________.

2.已知抛物线yxbxc与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC＝2，SABC＝3，则b＝____________. （四川省中考试题）

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22y

3.已知二次函数yaxbxc的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y＝_________； （2）当x＝________时，y3；

O-112x2（3）根据图象回答，当x_______时，y0. （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（11，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该24二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题） 5.二次函数yaxbxc与一次函数yaxc在同一坐标系中的图象大致是（ ）

yyyy2OxOxOxOx

A B C D

6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数yxbxc的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线x2对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是

（ ）

A.过点（3，0） B.顶点是（2，－2）

C.在x轴上截得的线段长度是2 D.与y轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题） 7.如图，抛物线yaxbxc与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题） A.b0 B. SABEc C.ac1 D.ac0

yE2226m4mAOBx

第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ）

A.9.2米 B.9.1米 C.9米 D.5.1米 （吉林省中考试题）

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8m

9.如图，是某防空进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β，OA＝1千米，tanα＝

935, tanβ＝,位于O点正上方千米D点

8328处的直升机向目标C发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千

米（即图中E点）.

（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；

（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.

（河北省中考试题）

yECDαOAβBx

10.如图，已知△ABC为正三角形，D，E分别是边AC、BC上的点（不在顶点），∠BDE＝60°. （1）求证：△DEC∽△BDA；

（2）若正三角形ABC的边长为6，并设DC＝x，BE＝y，试求出y与x的函数关系式，并求BE最短时，△BDE的面积.

ADB

EC

11.如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA且OB＝2OA，点A的坐标是（－1，2）. （1）求点B的坐标；

（2）求过点A，O，B的抛物线的解析式；

（3）连结AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使SABPSABO.(陕西省中考试题)

yA1B1Ox

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12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yxmxn经过点A（3，0），B（0，－3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M.设点P的横坐标为t；（1）分别求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）若点P在第四象限，连结BM，AM，当线段PM最长时，求△ABM的面积；

（3）是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）

y21OB1APMx

B级

1.已知二次函数yx6xc的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c＝________.

2.如图，四边形ABCD是矩形，A，B两点在x的正半轴上，C，D两点在抛物线yx6x上.设OA的长为m(0＜m＜3).矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为__________________.

（昆明市中考试题）

yDC22ABCDOyAOBxOABx 第2题图 第3题图 第4题图

3.如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＋AC＝12，AD⊥BC，垂足为D（点D在边BC上），且AD＝3，当AB的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.

4.如图，已知二次函数y1axbxc(a0)与一次函数y2kxm(k0)的图象相交于点A（－2，4），B（8，2），则能使y1y2成立的x的取值范围时______________. (杭州市中考试题) 5.已知函数yaxbxc的图象如下图所示，则函数yaxc的图象只可能是（ ）

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22 （重庆市中考试题）

yyOxyyyOxOxOxOx

A B C D

2

6.已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，abc，abc，

2ab，2ab中，其值为正的式子个数为 ( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.4个以上 （全国初中数赛试题）

yO1

2x

7.已知抛物线yaxbxc（a≠0）的对称轴是x2，且经过点P(3,0)则abc的值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 8.已知二次函数yaxbxc（a0）的对称轴是x2，且当x1函数y的值分别时y1,y2,y3，那么y1,y2,y3的大小关系是（ ）

A. y1y2y3 B. y1y2y3 C. y2y1y3 D. y2y1y3

9.已知抛物线ymx(3m)x4与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题） 10.如图，已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线y（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y1的位置关系； （2）设直线PM与抛物线y222,x2,x30时，二次

4312x上的一个动点. 412x的另一个交点为Q，连结NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM. 4 （全国初中数学竞赛试题）

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yQMOPx

N2

211.已知函数yxx12的图象与x轴相交于相异两点A，B，另一抛物线yaxbxc过点A，

B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c的值. （天津市竞赛试题）

212.如图1，点P是直线l:y2x2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线yx于A，B两点.

（1）若直线m的解析式为y13x，求A，B两点的坐标； 22（2）如图2，①若点P的坐标为（－2，t），当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直

线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立；

（3）如图3，设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标. （武汉市中考试题）

lmPABOxOxCOylymPABxly

图1 图2 图3

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