2013年3月襄阳市普通高中调研统一测试 高三

机密★启用前 试卷类型：A

2013年3月襄阳市普通高中调研统一测试

高三数学（文科）

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。非网评考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡密封线内，将考号最后两位填在登分栏的座位号内。网评考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好条形码或将考号对应数字涂黑。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择答题用0．5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，监考人员将答题卡收回，按小号在上，大号在下的顺序封装。

一、选择题(本大题10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1．已知集合A={x|0< x<3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=

A．{ x|-22．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n的值为 A．100 B．1000 C.90 D．900

3．设向量a=(1，0)，b=(1，1)，则下列结论正确的是 A．|a|=| b| B．a·b=

2 C. a-b与a垂直 D．a∥b 2y14．若变量x、y满足约束条件xy0，则z=x-2y的最大值为

xy20 A．4 B．3 C．2 D.1

5．已知条件p：k=3；条件q：直线y= kx+2与x2+y2=1相切，则p是q的 A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

6．在等差数列{an}中，若a4+ a6+ a8+ a10+ a12=90，则a10- A.12 B．14 C.16 D．18

7．若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为

1a14的值为 31，则该几何体的俯视图可以是 2

x22

8．若F1、F2为双曲线C：-y=1的左、右焦点，点P在双曲线C上∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为

4 A．

51521515 B． C． D． 555200x29．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概

0y2

率为 A．

11 B．1- C． D．1-

4241610．已知定义在R上的偶函数，f（x）满足f（x+1）=- f（x），且当x[0，1]时f（x）= x，则函数y= f（x）-㏒

3|x|的零点个数是

A．多于4个 B．4个 C.3个 D．2个

二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分。将答案填在答题卡相应位置上。) 11．如果：

2=1+mi(mR，i是虚数单位)，那么m = ． 1i12．已知x>0，y>0，

21+=2，则2x+y的最小值为 ． xy113．某中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．19．

高一 高二 高三 女生 373 x y 男生 377 370 z (Ⅰ)x= ▲ ；

(Ⅱ)用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取 ▲ 名． 14．若命题“存在实数x，使x2+ax+1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为 ．

15．在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若b=5，∠B=

4，

tanA=2，则

(Ⅰ)sinA= ▲ ； (Ⅱ)a= ▲ ．

16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S= ▲ ． 17．观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为 ▲ ．

三、解答题(本大题共5小题，满分65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

18．(本大题满分12分) 已知△ABC的面积S满足半的夹角为．

(1)求的取值范围；

(2)求函数f()=3sin2+23sin·cos+cos2的最大值及最小值．

19．(本大题满分12分)

已知数列{an}，如果数列{bn}满足b1= a1，bn= an + an-1（n≥2，nN*)，则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”． (1)若数列{an}的通项为an=n，写出数列{an}的“生成数列” {bn}的通项公式；

(2)若数列{cn}的通项为cn =2 n +b(其中b是常数)，试问数列{cn}的“生成数列” {qn}是否是等差数列，请说明理由；

(3)已知数列{dn}的通项为dn=2n+n，求数列{dn}的“生成数列” {pn}的前n项和T n．

20．(本大题满分13分)

在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=2，DA⊥PB，垂足为A，将△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P-ABCD．

(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；

33≤S≤，且AB·BC=3，AB与BC22

(2)点M在棱PB上，平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比时，证明：PD//平面AMC．

VPMACD5=

VMABC4

21．(本大题满分14分)

x2y23设椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A(-2，0)、B(2，0)，离心率e=．过该椭圆上任一点P作

ab2PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|=|PC|．

(1)求椭圆的方程；

(2)求动点C的轨迹E的方程；

(3)设直线AC(C点不同于A、B)与直线x=2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

22．(本大题满分14分)

若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x0，使f（x0+k）= f（x0)+ f（k）(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．

(1)函数f（x）=2x+ x2是否关于1可线性分解?请说明理由；

(2)已知函数g（x）=lnx-ax+1(a>0)关于a 可线性分解，求a 的范围；

(3)在(2)的条件下，当a 取最小整数时，求g（x）的单调区间，并证明不等式：

（）

（n！)2≤e nn-1（n∈N*)．

2013年3月襄阳市高中调研统一测试高三数学(文科)参及评分标准

说明 1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。 3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一．选择题：CACBC ACBDB

二．填空题：11．1 12．3 13．(Ⅰ)380 (Ⅱ)12 14．a <－2或a > 2 252013 15．(Ⅰ)5 (Ⅱ)10 16．2014 17．13 + 23 + 33 + 43 +53 + 63 = 212

三．解答题：

ABBC318．(1)解：因为，AB与BC的夹角为与BC的夹角为 所以|AB||BC|cos3 2分 S113|AB||BC|sin()|AB||BC|sintan222 4分

333333≤S≤≤tan≤≤tan≤1222223又，所以，即，

]，所以又[0，[，]．

6分

22(2)解：f()3sin23sincoscos3sin2cos22

8分

≤≤≤2≤4，所以663， 10分 因为66时，f()的最小值为3，当4时，f()的最大值为32． 从而当

19．(1)解：当n≥2时，bn = an + an－1 = 2n－1 2分 当n = 1时，b1 = a1 = 1适合上式， ∴bn = 2n－1 4分

n12bqn4n2b2n≥2 6分 (2)解：

2sin(26)212分

当b = 0时，qn = 4n－2，

由于qn + 1－qn = 4，所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列 当b≠0时，由于q1 = c1 = 2 + b ，q2 = 6 + 2b ，q3 = 10 + 2b

此时q2－q1≠q3－q2，所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列。

8分

n13pnn1322n1n1 (3)解：

9分

2n1T3(323)(325)(322n1) n当n > 1时，

23n1n233(2222)(3572n1)32n4 11分

又n = 1时，T1 = 3，适合上式

n2∴Tn32n4 12分

20．(1)证：因为在等腰梯形PDCB中，DA⊥PB， P 所以在四棱锥P－ABCD中，DA⊥AB，DA⊥PA 1分 又PA⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥PA，DC⊥DA 2分 而DA  平面PAD，PA 平面PAD，PA∩DA = A， 所以DC⊥平面PAD． 3分

因为DC 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD 4分 A (2)解：因为DA⊥PA，且PA⊥AB

O 所以PA⊥平面ABCD，

又PA  平面PAB，

D ∴平面PAB⊥平面ABCD

过M作MN⊥AB，垂足为N 则MN⊥平面ABCD 5分

在原等腰梯形PDCB中，DC∥PB， PB = 3DC = 3，PD =2，DA⊥PB

22∴PA = 1，AB = 2，ADPDPA1

M N

B

C

6分

11SABChh33 设MN = h，则

11VPABCDSABCDPA32

1hVPMACDVPABCDVMABC23 ∴

VMABC 7分

8分

∵

VPMACDVMABC1h2355h24h43 ，∴3，解得

9分

BMMN221BMBP，MPBPPA3，∴33在△PAB中，BP

PM1MB2 故10分

在梯形ABCD中，连结BD交AC于点O，连结OM

DODC1OBAB2 易知△AOB∽△DOC，∴11分 DOPMOBMB，所以在平面PBD中，有PD∥MO 12分 故

又因为PD 平面AMC，MO 平面AMC，

∴PD∥平面AMC． 13分

ec3a2，∴c3 2分

21．(1)解：由题意可得a = 2，

222∴bac1，

x2y21因此椭圆的方程为4．

4分

x0xxx01y2yyy002 6分 (2)解：设C(x，y)，P(x0，y0)，由题意得：

2x0x212(y)21y0122xy4． 424又，代入得：，即

22xy4． E∴动点C的轨迹的方程为

8分

22(3)解：设C(m，n)，点R的坐标为(2，t)，则mn4

∵A、C、R三点共线，∴AC∥AR

4ntn)，AR(4，t)，因此4n = t(m + 2)，∴m2， 而AC(m2，4n2n(2，)(2，)m2m2∴点R的坐标为，点D的坐标为 10分

2nm2mnkm2m24， ∴直线CD的斜率为

mnmk222n， 12分 n而mn4，∴

myn(xm)n∴直线CD的方程为，化简得mx + ny－4 = 0，

nd4mn222r圆心O到直线CD的距离，

所以直线CD与圆O相切． 14分

22．(1)解：函数f (x) = 2x + x2关于1可线性分解

令h (x) = f (x + 1)－f (x)－f (1) = 2x + 1 + (x + 1)2－2x－x2－2－1 即h (x) = 2(2x－1 + x－1) 2分

∵h (0) = 1，h (1) = 2，且h (x)在[－1，2]是连续的 ∴h (x) 在(－1，2)上至少存在一个零点

即存在x0∈(－1，2)，使f (x0 + 1) = f (x0) + f (1) 4分 另解：函数f (x) = 2x + x2关于1可线性分解

x12x22(x1)2x3 由f (x + 1) = f (x) + f (1)得：x即22x2

2分

作函数g(x)2与h (x) = －2x + 2的图象

x由图象可以看出，存在x0∈R，使22x2，即f (x + 1) = f (x) + f (1)成立 4分

x(2)解：g (x)的定义域为(0，+∞)

由已知，存在x0 > 0，使g (x0 + a) = g (x0) + g (a)

2即ln(x0a)a(x0a)1lnx0ax01lnaa1

6分

整理得：ln(x0a)lnx0lna1，即x0aaex0ae1 8分 ∴ax0a10aae1e 由且a > 0得：

1(，)a∴a的范围是 10分 x0lnx0a1ax0

11x2g(x)1g(x)lnxx1xx (3)解：由(2)知，a = 1，，当x∈(0，1)时，g(x)0，∴g (x)的单调递增区间是(0，1) 当x∈(1，＋∞)时，g(x)0，∴g (x)的单调递减区间是(1，＋∞)

12分

因此x∈(0，＋∞)时，g (x)≤g (1)，即lnxx1≤0，lnx≤x1 ln21，ln32，，lnnn1 由此得：ln10，相加得：ln1ln2ln3lnn≤123(n1)

[1(n1)](n1)n(n1)22即

n(n1)ln(123n)≤2n(n1)(nN*) 14分 2∴，[123(n1)n]≤e

ln(123n)≤