第１９卷第６期 ２０１７年６月 天津职业院校联合学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｉａｎｊｉｎ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅｓ ＮＯ．６ Ｖｏ１．１９ Ｊｕｎ．２０１７ 游戏中蕴含的数学文化 侯顺利 （天津海运职业学院，天津 ３００３５０） 摘要： 游戏和数学表面上看没什么联系，其实游戏中也蕴含着数学文化，从猜年龄到猜姓氏的游戏，猜年龄 六个表的数字排列，猜姓氏的姓氏排列里面包含着数学的进制内容中的二进制，还包含着二进制转化为十进制，通过 数学思想揭示游戏的内在本质，游戏因为蕴含着数学文化而变得高深莫测。 关键词：数学游戏；数学文化；二进制；猜姓名 中图分类号：０２９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—５８２Ｘ（２０１７）０６—００８７—０６ 南开大学顾沛教授将数学文化定义分为狭义和广义两方面，其中狭义定义是指数学的思想、方 法、精神、语言、观点，以及它们的形成和发展。广义定义是指除上述内涵以外，还包含数学史，数学 家，数学教育，数学美。数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。 游戏表面上和数学毫无关联，但实质上游戏是离不开数学的，我们通过两个游戏来揭示游戏中确 实蕴含着数学文化。 一、猜年龄游戏 首先制作下面（表１）的六张表，六张表内每张写上３２个数字，数字填写要求如表所示，我们让学 生们根据自己的年龄说出哪个表中有他的年龄数字。 表１ １ ３ ５ ７ ９ １１ １３ １５ ２ ３ ６ ７ １０ １１ １４ １５ ４ ５ ６ ７ １２ １３ １４ １５ １７ １９ ２１ ２３ ２５ ２７ ２９ ３１ １８ １９ ２２ ２３ ２６ ２７ ３０ ３１ ２０ ２１ ２２ ２３ ２８ ２９ ３０ ３ｌ ３３ ３５ ３７ ３９ ４１ ４３ ４５ ４７ ３４ ３５ ３８ ３９ ４２ ４３ ４６ ４７ ３６ ３７ ３８ ３９ ４４ ４５ ４６ ４７ ４９ ５１ ５３ ５５ ５７ ５９ ６１ ６３ ５０ ５１ ５４ ５５ ５８ ５９ ６２ ６３ ５２ ５３ ５４ ５５ ６０ ６１ ６２ ６３ （２） （３） ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ ３２ ３３ ３４ ３５ ３６ ３７ ３８ ３９ ２４ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９ ３０ ３１ ２４ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９ ３０ ３１ ４０ ４１ ４２ ４３ ４４ ４５ ４６ ４７ ４０ ４１ ４２ ４３ ４４ ４５ ４６ ４７ ４８ ４９ ５０ ５１ ５２ ５３ ５４ ５５ ４８ ４９ ５Ｏ ５１ ５２ ５３ ５４ ５５ ５６ ５７ ５８ ５９ ６０ ６１ ６２ ６３ ５６ ５７ ５８ ５９ ６０ ６１ ６２ ６３ ５６ ５７ ５８ ５９ ６０ ６１ ６２ ６３ （４） （５） （６， 我们发现六张表上数字的分布是有规律的，第（１）张取的奇数，可以称为“隔１取１型”；第（２）张 从２开始，“则隔２取２型”；第（３）张表从４开始，“隔４取４”型；第（４）张从８开始，“隔８取８型”；第 （５）张从１６开始，“隔１６取１６型”；第（６）张从３２开始，“隔３２取３２型”也就是取的后３２个数字，为 什么这样排列数字我们在后面揭示。 猜年龄游戏表就设计好了，可以开始游戏了。我们可以用ＰＰＴ放映在大屏幕上，一张表一张表 收稿日期：２０１７—０３～１１ 作者简介：侯顺利（１９７４一），男，天津市人，天津海运职业学院副教授，主要研究方向：数学。 ・８７・ 的指给被猜的同学看，请他回答表（１）——（６）上是否有他的年龄数字，用“有”或“无”来表乐，也Ｉｉ『以 用“点头”或“摇头”来代替说话。当被猜同学给出６个答案后，我们当场可以猜出他的年龄，只要把同 学给出“有”的那些表的第一个（左上角）数字加起来，就是同学的年龄。 举例说：某位同学说（１）表中没有，（２）表中有，（３）表中没有，（４）表中没有，（５）表中有，（６）表小有。 我们可以把（２）、（５）表中的第一个数字相加所得的数就是学生的年龄，他的年龄就是２＋１６＝１８岁。 大学生差不多仅用四张表就能计算年龄，因为大学生应该在１７岁到２３岁的年龄段内，我们通过 分析发现一定会有表（５）中１６这个数字，大学生年龄数与１６的差一定小于等于７，所以用表（１）、 （２）、（３）（５）四张表足矣。如果某同学的年龄小于等１６，或大于等于２４，这四张表就不够用Ｔ。同理， 如果年龄大于等于６４岁，这６张表就不够用了，应该用七张表。 例如，某人回答（１）一一（６）表的答案是（１）无（２）有（３）无（４）有（５）有（６）无，则表（２）、（４）、（５）的 第一个数字２、８、１６等四个数字加起来，即２６岁。我们可以自行查表验证，我们发现六张表中只有在 （２）（４）（５）这些表上才有２６这个数字。 那么，这个游戏背后的数学理论是什么呢？任意给出一个数字，它应该出现在哪几张表中呢？ 答案是数学进制中的二进制，我们知道：任何一个十进制的数，都能转化成二进制，二进制的转化 方法是除２取余法倒序排列，例如３５这个数转化成二进制方法如下图： 所以（３５） ：（１０００１１） 此处，因为３５这个数二进制表示 形式中，数字ｌ恰好在第１位、第２位、第６位上，其他位上均 ．．余鼓 １‘ｋｏ）低位 ｌ（ｋ１） ・为０，所以这个数就应该出现在图１的（１）、（２）、（６）三张表中。 ……………而年龄数怎么计算的呢？其实是把二进制转化回十进 制，例如３５这个年龄可以表示成若干个２的幂次之和，即３５ ……………Ｏ‘ｋ２） ０‘ｋｊ） ……………”＝２。＋２ ＋２ ，而２。正是表（１）的第一个数字，２ 是表（２）的第 一……………・Ｏ‘ｋ・） 个数字，２ 是表（６）的第一个数字，它在哪几张表中出现过， Ｏ ………………ｌ（ｋ，＇ 高位 就应该等于有此年龄数的那几张表第一个数字之和。 六张表的设计不仅可以猜年龄，还可以用于猜学生 Ｌ２，中 圈１ 随便想的１至６４的整数，提前规定好整数范围，如果学生说六张表上都没有，那么学生心中想的数字 应该是６４。 二、猜姓氏 六张表格不用变动，它还可以用于猜姓氏游戏中去，关键就是把１至６３这６３个数字与６３个 同的姓氏一一对应好就行了。 新百家姓前６４个姓氏排列顺序是：“李王张刘陈杨黄赵周吴徐孙朱马胡郭林何高梁郑罗宋谢唐 韩曹许邓萧冯曾程蔡彭潘袁于董余苏叶吕魏蒋田杜丁沈姜范江傅钟卢汪戴崔任陆廖姚方金”姓氏的 排列顺序对应着１——６４这６４个数字。 几乎与上述游戏方式完全一致，被猜者给出６个信息后，按上述查年龄的同样方法算出其“姓 氏”，在第（１）、（２）、（４）、（５）表上有，２。＋２’＋２ ＋２ ＝２７即编号为“２７”的姓氏，查一查编号２７的姓 氏即“曹”就是被猜者的“尊姓”了，表中只有１一一６３这些整数对应的姓氏，如果六张表上都没有，那 这个人必然是６４这个整数对应的金姓。 猜姓氏表的排列按照猜年龄（表１）六张表的数字顺序对应填人，既简便易行，又一目ｒ然．小过， 作为智力游戏而言，如果太容易被识破就显得水平太低了。为此，我们如果给猜年龄与姓氏的图表 中，加一些“密码”，就增加不少“神秘性”。 ・ ８８ ・ 表２ １ 李 （２） （３） ３２ ３３ ３４ ３５ ３６ ３７ ３８ ３９ ８ ｌ ９ ｌ １０ １１ １２ １３ Ｉ １４ Ｉ １５ Ｉ １６ 赵 周 吴 徐 孙 朱 马 胡 （４） １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ 郭 林 何 高 梁 郑 罗 宋 ２４ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９ ３０ ３１ 曾 程 蔡 彭 潘 袁 于 董 ４０ ４１ ４２ ４３ ４４ ４５ ４６ ４７ 谢 唐 韩 曹 许 邓 萧 冯 余 苏 叶 吕 魏 蒋 田 杜 ４８ ４９ ５０ ５１ ５２ ５３ ５４ ５５ 丁 沈 姜 范 江 傅 钟 芦 （５） ５６ ５７ ５８ ５９ ６０ ６１ ６２ ６３ 汪 戴 崔 任 陆 廖 姚 方 （６） 上面的六张表，十分清楚地表明“李、王、张……”６３个姓氏与编号１—６３一一对应了。表中留下 的空白处，如果按猜数字的表，可以很快一一填人“对号入座”姓氏，我们偏偏把空白处应填的编号及 相应的姓氏的顺序任意地“随机排列”！，这样增加“迷惑性”，在第（５）张表上留下的１６格空白处，按图 猜年龄的表（５）应按顺序填人４８、４９…、６３及其相对应的姓氏“丁、沈、…、方”，我们却偏偏任意地把 １６个“随机排列”写上如下表： 表３ １６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ 郭 林 何 高 梁 郑 罗 宋 ２４ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９ ３０ ３１ 谢 唐 韩 曹 许 邓 萧 冯 钟 戴 范 丁 方 陆 姚 杜 廖 崔 江 任 汪 傅 沈 芦 为什么可以这样做呢？因为该１６个姓氏在第（６）表上完全是重复的，当被猜者的姓氏在此１６个 之内，必在第（６）张上也“有”。因此，这里的“顺序”毫无必要，只增加“易识破性”。 完全同样的道理，第（１）、（２）、（３）、（４）表中空白的格子上，也恰恰可以甚至应该“随机地”填入相 应的姓氏。当然，这里的“随机填入”仅仅指顺序，姓氏是决不可更换的。 作为例子，这里列出四张表，参见表４（其中第（５）、（６）上面已提到，故略去）。 表４ １ ２ ３ 李 陈 周 彭 方 吕 程 袁 王 张 何 韩 蔡 叶 姜 崔 杨 徐 高 曹 彭 吕 范 任 黄 马 罗 萧 于 田 钟 姚 吴 胡 宋 冯 董 杜 芦 方 （２） 沈 芦 张 朱 高 唐 冯 苏 范 戴 黄 胡 郑 曹 彭 蒋 傅 任 徐 林 宋 邓 董 杜 ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ 刘 陈 杨 黄 于 田 钟 姚 孙 梁 许 冯 董 杜 方 赵 周 吴 徐 孙 朱 马 胡 谢 曹 萧 苏 魏 杜 崔 廖 唐 许 冯 叶 蒋 汪 任 方 韩 邓 余 吕 田 戴 陆 姚 （４） 朱 郑 邓 潘 魏 江 陆 罗 胡 宋 萧 袁 蒋 傅 廖 郭 （３） ・８９・ 猜姓氏游戏，可以“故弄玄虚”一些了：例如某被猜者一一看过上述表２中（１）（２）（３）（４）（５）（６）表 后，表示在（１）、（２）、（５）上有他的姓，表演者用心算（１）一１，（２）一２ ，（５）一２ ，总和为１９，先在第（５）张 卡表上找到１９一“高”。这只要记住（５）的第１个姓氏顺序为１６，往下数１７、１８、１９第４个姓氏“高”就 是。然后再表（１）或（２）上用故意很难找的样子点出“高”姓来。这样，被猜者肯定“大惑不解”了。 迷人的“外衣”掩盖着简单明了的二进制数学原理，这就是猜年龄与姓氏游戏的蕴含的数学文化。 猜年龄游戏ＶＢ程序设计如下： （一）窗体设计 窗体设计包括２个按键，即“回答”按键和“退出”按键；１个文字标签，用以说明游戏规则；６个图 形框，显示６张表。 （二）程序设计 １．装载：把６４个姓氏赋值给４个字符串变量，而后通过一个循环语句把６４个姓氏赋值给数组Ｘ（６４）。 Ｄｉｍ Ｘ（６４）Ａｓ Ｓｔｒｉｎｇ Ｐｒｉｖａｔｅ Ｓｕｂ Ｆｏｒｍ—Ｌｏａｄ（） Ｄｉｍ ｂｊｘ（４）Ａｓ Ｓｔｒｉｎｇ ｂｊｘ（０）＝“李王张刘陈杨黄赵周吴徐孙朱马胡郭” ｂｊｘ（１）：“林何高梁郑罗宋谢唐韩曹许邓萧冯曾” ｂｊｘ（２）：“程蔡彭潘袁于董余苏叶吕魏蒋田杜丁” ｂｊｘ（３）＝“沈姜范江傅钟卢汪戴崔任陆廖姚方金” Ｆｏｒ Ｊ ０ Ｔｏ ３ Ｆｏｒ ｉ：１ Ｔｏ １６ ｋ ｊ＊１６＋ｉ ｘ（ｋ） Ｍｉｄ（ｂｊｘ（ｊ），ｉ，１） Ｎｅｘｔ Ｎｅｘｔ Ｅｎｄ Ｓｕｂ ２．由用户回答表２（１）至（６）中有无要猜的姓氏，有则答“１”，无则答“０”。计算机则显示此人姓什么。 Ｐｒｉｖａｔｅ Ｓｕｂ ＣｏｍｍａｎｄｌＣｌｉｃｋ（） —ｎｌ＝０：ｎ２＝０：ｎ３：０：ｎ４＝０：ｎ５＝０：ｎ６＝０：Ｃｌｓ ＦｏｎｔＢｏｌｄ＝Ｔｒｕｅ ＦｏｎｔＳｉｚｅ＝１４：ＦｏｒｅＣｏｌｏｒ＝ＱＢＣｏｌｏｒ（０） ＣｕｒｒｅｎｔＸ＝９００：ＣｕｒｒｅｎｔＹ＝３６００ ｎｌ＝ＩｎｐｕｔＢｏｘ（“表１中有吗（１：有；０：无）？”，“输入”，０，０，Ｏ） Ｉｆ ｎ１＞：ｌ Ｔｈｅｎ ｎｌ＝ｌ Ｅｌｓｅ ｎｌ＝０ Ｉｆ ｎｌ＝１ Ｔｈｅｎ Ｐｒｉｎｔ“表１中有；”Ｅｌｓｅ Ｐｒｉｎｔ”表（１）中无；” ＣｕｒｒｅｎｔＸ：９００ ｎ２＝ＩｎｐｕｔＢｏｘ（“表２中有吗（１：有；０：无）？”，“输入”，０，０，０） Ｉｆ ｎ２＞＝１Ｔｈｅｎ ｎ２＝１ Ｅｌｓｅ ｎ２：０ Ｉｆ ｎ２：１ Ｔｈｅｎ Ｐｒｉｎｔ“表２中有；”Ｅｌｓｅ Ｐｒｉｎｔ“表（２）中无；” ＣｕｒｒｅｎｔＸ＝９００ ｎ３：ＩｎｐｕｔＢｏｘ（“表３中有吗（１：有；Ｏ：无）？”，“输入”，０，０，０） ・９０・ Ｉｆ ｎ３＞：１，ｒｈｃｎ ｎ３：１ Ｅｌｓｅ ｎ３＝０ ｌｆ ｎ３：１ Ｔｈｅｎ Ｐｒｉｎｔ“表３中有；”Ｅｌｓｅ Ｐｒｉｎｔ“表（３）中无；” ＣｕｒｒｅｎｔＸ：９００ ｎ４＝ＩｎｐｕｔＢｏｘ（“表４中有吗（１：有；０：无）？”，“输入”，（），０，０） Ｉｆ ｎ４＞＝１ Ｔｈｅｎ ｎ４＝１ Ｅｌｓｅ ｎ４＝０ Ｉｆ ｎ４＝ｌ Ｔｈｅｎ Ｐｒｉｎｔ“表４中有；”Ｅｌｓｅ Ｐｒｉｎｔ“表（４）中无；” ＣｕｒｒｅｎｔＸ＝９０（） ｎ５：ＩｎｐｕｔＢｏｘ（“表５中有吗（１：有；０：无）？”，“输入”，０，０，０） Ｉｆ ｎ５＞＝１ Ｔｈｅｎ ｎ５＝１ Ｅｌｓｅ ｎ５：（） Ｉｆ ｎ５＝１ Ｔｈｅｎ Ｐｒｉｎｔ“表５中有；”Ｅｌｓｅ Ｐｒｉｎｔ“表（５）中无；” ＣｕｒｒｅｎｔＸ＝９０（） ｎ６＝ＩｎｐｕｔＢｏｘ（“表６中有吗（１：有；０：无）？”，“输入”，０，（），０） Ｉｆ ｎ６＞＝１ Ｔｈｃｎ ｎ６＝１ Ｅｌｓｅ ｎ６：０ Ｉｆ ｎ６＝１ Ｔｈｅｎ Ｐｒｉｎｔ“表６中有。”Ｅｌｓｅ Ｐｒｉｎｔ“表（６）中无。” ｎ＝ｎｌ＋２＊ｎ２＋４＊ｎ３＋８＊ｎ４＋１６＊ｎ５＋３２＊ｎ６ ＣｕｒｒｅｎｔＸ＝９０（）：ＦｏｒｅＣｏｌｏｒ＝ＱＢＣｏｌｏｒ（１ ５） Ｐｒｉｎｔ“此人姓”；ｘ（ｎ）；”。” Ｅｎｄ ＳＵｂ 程序运行结果如下图： 图２ 此程序只包括６４个姓氏，在实际应用中还够。参照程序我们可以自行设计一个包括１２８个姓氏 的程序。 总结：游戏中蕴含着数学思想和方法，也就是数学文化，数学揭示了游戏的本质，数学文化进入游 戏使游戏变得科学成熟，能使游戏更加有趣和神秘莫测。 参考文献： ［１］孙明珠，郭风军游戏中的数学文化［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０１２ ［２］倪进，朱明书数学与智力游戏［Ｍ］大连：大连理工大学出版社，２００８． ［３］顾沛．数学文化［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１３ Ｔｈｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｃｕｌｔｕｒｅ Ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ Ｇａｍｅｓ Ｈ０Ｕ Ｓｈｕｎ—ｌｉ （Ｔｉａｎｊｉｎ Ｍａｒｉｎｅ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔｉａｎｊｉｎ，３００３５０） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ ｓｅｅｍｓ ｎｏ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｇａｍｅｓ ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ１．Ａｃｔｕａｌｌｙ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｔｔｍｍａｔｉｃａｌ ｃｕｌｔｕｒｅｓ ｉｎ ｇａｍｅｓ．Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ ｇａｍｅｓ ｇｕｅｓｓ ｔｈｅ ａｇｅ ａｎｄ ｇｕｅｓｓ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ ｎａｍｅ，ａｒｒａｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｘ ｔａ— ｂｌｅｓ ｉｎ ｇｕｅｓｓｉｎｇ ａｇｅ ｇａｍｅ．Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｂｉｎａｒｙ ｉｎ ｆａｍｉｌｙ ｎａｍｅ ａｒｒａｙ ｏｆ ｇｕｅｓｓｉｎｇ ｆａｍｉｌｙ ｎａｍｅ ｇａｍｅ．Ａｌｓｏ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｆｒｏｍ ｂｉｎａｒｙ ｔｏ ｄｅｃｉｍａｌｉｓｍ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｈｏｕｇｈｔｓ ｃａｎ ｕｎｃｏｖｅｒ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｅｓｓｅｎｃｅ ｏｆ ｇａｍｅｓ．Ａｎｄ ｇａｍｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｕｎｆａｔｈｏｍａｂｌｅ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｃｕｌｔｕｒｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｇａｍｅｓ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｃｕｌｔｕｒｅ；ｂｉｎａｒｙ；ｇｕｅｓｓ ｔｈｅ ｎａｍｅ 止 ．址 ． ． ．“．． ． ．址．． ． ．址 ．Ｉ－Ｌ．１．Ｌ．ＩＬＬ．；屯｜｜＾Ｌ“．１ ． 止 址 （上接第８６页） Ｔｈｅ Ｄｅｔａｉｌｅｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ａｂｏｕｔ Ｅｓｓｅｎｃｅｓ ａｎｄ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ Ｃａｌｃｕｌｕｓ Ｌｉｍｉｔ Ｍｅｔｈｏｄ（Ｓｔａｎｄａｒｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ） ＳＨＥＮ Ｗｅｉ——ｇｕｏ （Ｘｉ’ａｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ’ｓ Ｆｏｒｍｅｒ Ｌｏｇｉｃ ａｎｄ Ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎ，Ｘｉ’ａｌｌ，７１００７２） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ Ｂｅｒｋｅｌｅｙ ｐａｒａｄｏｘ ｐｒｏｂｌｅｍ ｔｈａｔ ｆｏｒｍｅｄ ｆｒｏｍ Ｎｅｗｔｏｎ ａｎｄ Ｌｅｉｂｎｉｔｚ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｌｉｍｉｔ ｍｅｔｈｏｄ（ｓｔａｎｄａｒｄ ａｎａｌｙｓｉｓ）ｉｓ ｃｏｍｅ ｕｐ．Ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｅｍｉｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｌ ｉｓ ｔｈｅ ｅｘ— ｉｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｗｒｉｔｅｒ ｃｏｍｅｓ ｔｏ ａ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ａｆｔｅｒ ａｎａｌｙｚｉｎｇ．Ｔｈｅ ０ ｐｏｉｎｔ ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｃｒｅ— ｍｅｎｔａｌ ｒａｔｉｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｅｘｉｓｔｅｎｔ ａｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ．Ｓｏ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｌｌ ＳＯｌＶｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ．Ｎｅｗ ｉｄｅａ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃａｌｃｕｌｕｓ；ｓｔａｎｄａｒｄ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎ；ｉｎｃｒｅｍｅｎｔａｌ ｒａｔｉｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｂｅｒｋｅｌｅｙ ｐａｒａ— ｄｏｘ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；Ｚｅｎｏ’Ｓ ｐａｒａｄｏｘ ・ ９２・
