第三章 电阻电路的一般分析
本章内容：
1．电路的图及KCL和KVL方程数 2．支路分析法 3．网孔分析法 4．回路电流法 5．结点分析法
本章重点：主要学习电阻电路的方程建立及一般分析方法（支路分析法、网孔分
析法、节点分析法、回路分析法。其中，支路分析法是最基本的方法）。
本章难点：回路数的确定, 回路分析法及节点分析法.
§3-1 电路的图
本节介绍有关图论的初步知识，学习应用图的方法选择电路方程的变量 一、电路的图（G）
数学上的图：是边（支路）和顶点（结点）的集合，每一条边都连到相应的顶点上，边是抽象的线段，当移去边时，顶点保留，当移去顶点时，应将顶点所连的支路移走。
1．电路的图（连通图G）：是将支路画成的抽象线段形成的节点和支路的集合，结点相对于数学图的顶点，支路相当于数学图中的边。支路是实体。KVL和KCL与元件的性质无关，故可用图讨论其方程。 2．无向图：画出的没有方向的图为无向图 3．有向图：画出的有方向的图为有向图
4．连通图：任意两个结点之间至少有一条支路或路径时的图为连通图。 二、电路的图的画法（有几种，其中简便的画法）
1．一般将电阻和电压源串联的组合，电阻和电流源并联的组合看成一条支路, 将流过同一个电流的每一个分支看成一条支路。如（b）
0
2．指定电流和电压的参考方向，一般选关联参考方向。如图（c）
(a) (b) (c)
§3-2 KCL和KVL的方程数
一、KCL的方程数（n个结点电路，KCL的方程是n-1个）
将电路的有向图，结点和支路加以编号，如下图，对结点①②③④列写KCL方程有
由于每条支路与两个结点相联，其电流从一个节点流出，从另一个结点流入，
一正，一负（从表达式可见），将上面4个方程相加，等式两边为0，说明4个方程不是的；将上面3个方程相加，等式两边不为0，说明3个方程是的。 可见，n个结点电路，n-1个结点的KCL方程是的 一、
KVL的方程数（b条支路，n个结点，KVL为b-(n-1)个）
KVL的方程数等于回路数
回路数等于基本回路数，回路与支路的方向无关，以无向图讨论。 1．回路：在一个连通图中，由不同支路组成的闭合路径称为回路。在一个电路
的图中，回路有很多如（158）（256）（1268）（1574）等。要找出回路，引入树的概念。
1
2．树（T）：一个电路的图G的树T是由有全部节点和部分支路组成的，且（1）不含回路的（2）连通的整体。如图(a)(b)(c)是树 (e)(d)不是树。 树的特点：加入连枝构成回路。
(a) (b) (c) (d) (e)
（1）树支：树中包含的支路称为该树的树支。树支数等于结点数减去1（n-1）。 （2）连支：该树以外的支路称为该树的连支。b-(n-1)
树支和连支构成图的全部支路。如(a)中5678为树支，1234为连支。如图(b)1563为树支，2478为连支
3．基本回路：单连支回路为基本回路（由一个连支和树支组成的回路称为单连支回路），有几个连支就有几个基本回路。如下图，取145为树支，则236为连支，每加一个连支就构成一个基本回路。
(c) (d) (e)
2
结论：
（1）基本回路就是回路。
（2）在有向图G中，找出基本回路，再给出回路的绕行方向，结合支路的编号，就可以列写KVL方程
回路1： u1+u3+u5=0 回路2：u1-u2+u4+u5=0 回路3：-u4 -u5+u6=0 回路数等于基本回路数，那么如何求基本回路呢？
基本回路数的求法：将图G的树T，分别加入所有的连支，单连支回路即为基本回路，也就是回路。但是回路不一定是单连枝回路。
说明：为分析问题方便，当电路的图为平面图（各个支路不交叉）时，网孔数等于回路数，如图（a）；当电路的图不为平面图时，利用树的概念求基本回路,如图（b）。
§3-3 支路电流法
一、 1.
支路电流分析法
定义：以支路电流作为变量来列写方程求解电路的方法称为支路电流分析
法。 2.
步骤：（结合下图说明）
3
*一个电路画其电路的图，首先要看它有几条支路几个节点（设有b条支路，
n个节点）
1） 设定电路的图中各支路电流电压的参考方向，选定绕行方向，如图 2） 列写n-1个节点的KCL方程（以①②③结点为例） -i1+i2+i6=0 （1） -i2+i3+i4=0 （2） -i4+i5-i6=0 （3）
3） 列写回路的KVL方程b-（n-1）个。（若为平面图，列写网孔回路的KVL方程；若不是，列写基本回路的KVL方程）
u1+u2+u3=0 （4） -u3+u4+u5=0 （5） -u2-u4+u6=0 （6）
将各支路的电压用电阻和电流表示有
将上述方程整理得：
上式表明：电流在电阻上的压降的代数和等于电压源电位升的代数和，电流
4
的参考方向与绕行方向一致，Ri前取正号，反之取负号；电压源电压的方向与绕行方向相同取负号，反之取正号。
4） 将KCL和KVL方程联立求解，求得各支路电流。
说明：（1）当电路含有无伴电流源（只含电流源，不含并联电阻的电流源）时，
不能求解，需要处理求解。
（2）将支路电流用电压表示，代入KCL方程，可以得到以支路电压为变量
的b个方程，为支路电压法。
§3-4 网孔电流法
当支路较多时，用支路电流法求解电路时较麻烦。所以引入网孔分析法。 一、
网孔电流法
网孔电流是在网孔中连续流动的假想电流，用网孔电流为变量列写方程求解问题的方法。（适用于平面电路） 二、
网孔分析法的步骤（以两个网孔为例）
1． 画出电路的图，给定支路的编号和参考方向
2． 找出网孔数，选定各网孔电流的参考方向（也是绕行方向） 3． 沿绕行方向列网孔回路的KVL方程。
（R1+R2）im1-R2im2=us1-us2 （1） -R2im1+（R2+R3）im2=us2-us3 （2）
写成：
R11im1+ R12im2=uS11
5
R21im1+ R22im2=uS22
式中：R11im1—是网孔电流im1在网孔1中的压降；R12im2—是网孔电流im2在网孔1中的压降；R11、R22—自电阻（自阻）：一个网孔电阻之和。由于电流的参考方向，也是绕行方向，所以自阻总是正的，产生的压降取“+”号；R12、R21—互电阻（互阻）：两个网孔的公共电阻之和。当两个网孔在公共电阻上的参考方向相同时，一个网孔电流在另一个网孔中引起的电压与绕行方向一致，为正（互阻取正号），反之为负（互阻取负号）。没有公共电阻互阻为0；（为排列整齐，将正负号包含在互阻中）
当有多个（m个）网孔时，网孔方程一般式为
式中：有相同下标的电阻（R11、R22、R33等）是各自网孔的自阻，为正的；不同下标的电阻（R12、R12、R13等）是网孔间的互阻，互阻的正负由两个网孔电流在共有支路上电流的参考方向是否相同而定，方向相同为正，方向相反为负（若网孔电流为瞬时针，则互阻总为负），两个网孔没有共有支路或共有支路没有电阻时，互阻为0。us11、us22、等分别为回路1、2等中电压源的代数和，电压源的电压方向与回路电流方向一致，取“+”号，反之取“-”号
3．解方程组可求得网孔电流。
4．各支路的电流是网孔电流的代数和。
i1= im1
三、
i2= im2
i3= im1- im2
举例，如图，用网孔法求各支路的电流
解：（1）设网孔电流为I1、I2、I3
6
（2）列写网孔电流方程（先求自阻和互阻）
网孔方程为：
解得I1、I2、I3，从而求出各支路电流
四、 网孔电流法分析时应注意的问题
1． 电路中存在电流源与电阻并联（电流源支路）时，先等效成电压源支路。 2． 电路中含有理想电流源支路时，可采取以下措施(另行处理)
1） 若电流源中只有一个网孔电流流过时，则此网孔电流为已知，不必列网孔的电压方程。（75页3-12题）
2） 若电流源中流过几个网孔电流时，电流源的电压作为变量列入网孔电压方程式。
3） 把电流源的电流与各网孔电流之间的关系作为补充方程。
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§3-5 回路电流法
网孔电流法只适用于平面电路分析，故引入回路分析法，回路电流是在回路中连续流动假想电流 一、回路电流法
回路电流法是以回路电流为变量列写方程的方法。一般选基本回路
为回路。
如上图：选456为树枝，则123为连枝，基本回路有3个，设出回路电流，可见 连枝电流为回路电流即：
i1=il1 i2=il2、 i3=il3
树枝电流（其它支路的电流）可用回路电流表达即：
i4=-il1+il2 i5=-il1-il3 i6=-il1+il2-il3
结论：只要求出回路电流，就可以求出支路电流。 二、
回路电流法方法
回路电流的求法与网孔电流相同，区别在于网孔电流法回路为网孔，
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适用于平面；回路电流法回路为基本回路，适用于平面和非平面。（下面的步骤讲课时说一下即可）
1．根据给定电路（b条支路，n个节点，则树枝为n-1个，基本回路数为L=b-（n+1）），通过选择一定的树确定基本回路，设出基本回路电流的参考方向（一般选连枝的参考方向） 2．列写回路电流方程（同网孔电流法）
式中：有相同下标的电阻（R11、R22、R33
等）是各回路的自阻，为正的；不
同下标的电阻（R12、R12、R13等）是回路间的互阻，互阻的正负由两个回路电流在共有支路上电流的参考方向是否相同而定，方向相同为正，方向相反为负，两个回路没有共有支路或共有支路没有电阻时，互阻为0。us11、us22、等分别为回路1、2等中电压源的代数和，电压源的电压方向与回路电流方向一致，取“+”号，反之取“-”号
3．解方程组可求得回路电流。
4．各支路的电流是回路电流或回路电流的代数和。 三、
回路电流法分析时应注意的问题
1．电路中存在电流源与电阻并联（电流源支路）时，先等效成电压源支路。 2．电路中含有理想电流源支路（无伴电流源）时，可采取以下措施
（1） 若电流源中只有一个回路电流流过时，则此回路电流为已知，不必
列回路的电流方程。
（2） 若电流源中流过几个回路电流时，电流源的电压作为变量列入回路
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电流方程式。
（3） 把电流源的电流与各回路电流之间的关系作为补充方程
四、
举例
例3-2 如图R1=R2=R3=1，R4=R5=R6=2，us1=4v，us2=2v，列回路电流方程，求支路电流。
解：选456为树，则123为连枝，基本回路有3个，回路电流的参考方向如
图，则：I1=Il1 I2=Il2、 I3=Il3 自阻、互阻为：
电压源的代数和为：
回路电流方程为：
各支路电流为：I1=Il1 I2=Il2、 I3=Il3
I4=Il1-Il2 I6=-Il1+Il3 I5=Il1+Il2-Il3
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例3-3 如图US1=50V，US3=20V IS2=1A，用回路法列出电路方程。 解：电路中含有无伴电流源，设两端的电压为U作为附加变量，设回路电流为
Il1、Il2、Il3则回路方程为：
补充方程为： Il3- Il2=1
§3-6 节点电压法
在电路中选择参考结点，求结点的节点电压，各支路的电压是节点电压的差，可由VCR求各支路的电流。 一、
节点电压分析法
1． 定义：以节点电压为变量来列写方程的方法 2． 节点电压：电路中任意节点与参考节点的电压。
二、
节点分析法的方法（如上图）
1）画出电路的图（6条支路，4个节点），选定参考节点O，设定节点电压（独
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立节点与参考节点的电压）un1、un2、un3表示。则各支路的电流为：
2）列写节点电压的KCL方程。
将表达式代入上面方程有：
将上式用电导表示写成：
3个节点的结点电压方程：
n-1个结点的电路有：
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*式中：自电导—连于各节点的电导之和。自导取“+”号，互电导—两个节点间的电导。互导取“-”号；方程的右边为流入节点的电流源的代数和，流入结点取正号，流出结点取负号
3）解方程求节点电压。 三、节点分析时注意的问题：
1． 当电路中有电压源支路时要化成电流源支路，再应用节点分析法。 2． 当电路中含有理想电压源时，采取以下措施
1） 当取电压源的一端（负极性端）为参考节点，则该支路的另一端电压为已知，即结点电压等于电压源的电压，不必对该节点列写节点电流方程。
2） 当电压源的一端不是参考节点时，把电压源中的电流作为变量列入节点方程。
3） 将电压源的电压与两端节点电压的关系作为补充方程。
四、举例
电路如图所示，R1=R2=R5=R6=1，R3=R4=R7=R8=0.5,iS4=2COStA, uS3=4 COStV, iS13=4A，uS7=3V列写结点电压方程
解：选参考结点O，设结点如图，节点电压为un1、un2、un3、un4
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代入数据得：
例：3-6 电路如图，求输出电压。
例：3-7电路如图，求电路的节点电压方程。
（G1+G2）un1-G3un2=i
-G3un1+（G3+G2）un2=is2
解:设节点1.2.3的电压为un1、un2设电压源的电流为i,则节点电压方程
*电路中含有受控源时。按电源列入方程，再找出控制量与节点电压的关系。
本章小结
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1．图论的基本概念 2．电路的基本分析方法
支路电流法、网孔电流法、回路电流法、节点电压法。
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