2-1. 矩阵-复习

第2章 矩阵

一、矩阵的概念与运算 3. 矩阵与矩阵相乘

注意：

（1）AB不一定等于BA,即矩阵乘法不满足交换律. （2）若矩阵A,与B满足ABO,并不能得出AO或BO的结论,

（3）矩阵乘法不满足消去律.从而由ACBC,CO,也未必推出A=B. 4. 方阵的行列式与幂

性质2.4 设A,B均为n阶方阵,为数,则 （1）AnA；

m

（2）Am=A,m为正整数； （3）ABABBA.

由于矩阵的乘法不满足交换律,一般而言,(AB)k1(AB)k2(AB)k1k2. 5. 矩阵的转置

性质2.5 (假设运算都是可行的)

（1）(AT)TA； （2）(AB)TATBT；

（3）(A)TAT； （4）(AB)TBTAT；

（5）若A为方阵,则ATA. 二、逆 矩 阵

1*A. A定理2.2 方阵A可逆的充要条件是A0,且A1其中A*为A的伴随矩阵.

推论2.1 若ABE（或BAE）,则A可逆,且BA1. 性质2.6

(1) 若A可逆,则A1也可逆,且(A1)1A,A1A(2) 若A可逆,数0,则A可逆,且(A)1111； AA1；

1

2

(3) 若A、B为同阶矩阵且均可逆,则AB也可逆,且(AB)1B1A1； (4) 若A可逆,则其转置矩阵也可逆,且(AT)1(A1)T； (5) 若A可逆,A*为其伴随矩阵,则(A*)1(A1)*.

ab1例5.设A,adbc0,求A.

cd解：A11*1dbA Aadbcca例6.若Adiag(a1,a2,L,an),其中ai0(i1,2,...,n),求证：

A1diag(111,,L,). a1a2an矩阵方程：

求解方法：矩阵方程AXB,若A可逆,则XA1B；同理对矩阵方程XAB,若A可逆,则XBA1；对于矩阵方程AXBC,若A与B均可逆,则XA1CB1.

注意：两边同时左乘（或同时右乘），不能乱乘. 三、矩阵的初等变换

定理2.3 设A和B为mn矩阵,则有

r（1）AB存在m阶可逆矩阵P,使得PAB；

c（2）AB存在n阶可逆矩阵Q,使得AQB；

（3）AB存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得PAQB. 四、矩阵的秩

定义2.14如果矩阵A中不为零的子式最高为r阶,即存在r阶子式Dr不为零,而任何r1阶子式均为零,则称Dr为A的最高阶非零子式,称r为矩阵A的秩,记作R(A)r.当AO时,规定R(A)0.

显然0R(Amn)minm,n.R(Amn)m时,称A为行满秩矩阵；R(Amn)n时,称A为列满秩矩阵；R(Ann)n时,称A为满秩矩阵；R(Ann)n时,称A为降秩矩阵.

性质2.8 （1）若矩阵A中有某个s阶子式不为0, 则R(A)s；

（2）若A中所有t阶子式全为0, 则R(A)t；

2

3

（3）R(A)R(AT)； （4）Ann可逆R(A)n.

（5）行阶梯形矩阵的秩为其非零行的行数.

定理2.4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,即若AB,则R(A)R(B).

推论2.3 若P,Q可逆,且PAQB,则R(A)R(B).

性质2.9

（1）maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)R(B)； （2）R(AB)R(A)R(B)； （3）R(AB)minR(A),R(B)； （4）AmnBnsOR(A)R(B)n. 五、分块矩阵 2.5.2 常用的分块阵 1. 按列分块

对于矩阵Amn,在其列间引入虚线分块得到

a11KAMOam1La1n令M1,2，L,n, amnT其中j是A的第j列, ja1j,a2j,L,amj. 2. 按行分块

对于矩阵Amn,在其行间引入虚线分块得到

a11KMOam1L1Ta1nT令2M, MamnTm其中iT是A的第i行,iTai1,ai2,L,ain. 3. 对角分块阵

3

4

设n阶方阵分块后形如

Ο12diag,,L,, 12sOΟs即A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块方阵,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方块, 则称A为对角分块阵. 对于对角分块阵A,易知 （1）12Ls；

（2）A可逆i0,(i1,2,L,s),且1diag11,21,L,s1. 例8.对于n元线性方程组Amnxb,

A1,2，L,n（1） 若按列分块,则Axbx11x22Lxnnb;

TTTT（2）若按行分块A1,2,L,m,则AxbiTxb (i1,2,L,m).

一、单项选择题

1121. 设行矩阵A = (a1, a2, a3)、B = (b1, b2, b3), 且ATB = 211,

211则AB= ( )

A. 2 B. 2 C. 1 D. 1

2. 下列等式中正确的是 ( )

TA. (A  B)2 = A 2 2AB + B 2 B. (AB)C = A(BC) C. (AB)T= AT BT D. (AB)1= A1 B1

3. 设A为任意n阶方阵, X是1  n阶矩阵, n > 1, 则下列可进行的运算是 ( )

A. X TAX B. XAX T C. XAX D. X TAX T 4. 对任意n阶方阵A、B, 总有 ( )

A. AB=BA B. det(AB) = det(BA) C. (AB)T=ATBT D. (AB)2=A2B2

5. 设A是方阵, 如有矩阵关系式AB = AC, 则必有 ( )

A. A = 0 B. B C时A = 0 C. A  0时B = C D. |A|  0时B = C 6. A、B、C、E为同阶矩阵, E为单位阵, 若ABC = E, 则下列各式中总是成立

4

5

的有 ( )

A. BAC = E B. ACB = E C. CBA = E D. CAB = E 7.设n阶方阵A、B、C满足AB=BC=CA=E,则A2+B2+C2= （ ） （A）A2B2C2 (B)3E (C)ABC (D)ABCABC

18. 设矩阵A =00300

A. 020

001

01200-1

0, 则A等于 ( ) 13100 B. 020

003

300

C. 010

002

200

D. 030

001

9. 设矩阵A＝12, 则矩阵A的伴随矩阵A* = ( ) 32A. 22  31

B. 232223 C. D. 21 213110.设A、B都是n阶方阵,且ABO,则下列一定成立的是（ ）.

（A）AO或BO； （B）A、B都不可逆； （C）A、B中至少有一个不可逆； （D）ABO.

1a1211.若矩阵A01a2 的秩R(A)2,则a的值为（ ）.

1012（A）0； （B）0或-1； （C）-1； （D）-1或1.

12.一个值不为零的n阶行列式,经过若干次矩阵的初等变换后,该行列式的值（ ）.

（A）保持不变； （B）保持不为零； （C）保持相同的正负号； （D）可以变为任何值.

13.设A是3阶方阵,A*是其伴随矩阵,则(3A)*（ ）.

（A）3A*； （B）9A*； （C）27A*； （D）A*/3. 14.设A为nm矩阵, C是n阶可逆矩阵, 且R(A)r1, R(AC)r，则( ）.

（A）rr1； （B）rr1； （C）rr1； （D）r与r1的关系依C而定. 15.已知A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，若AB=E，则 ( )

5

6

(A) R(A)=m,R(B)=m (B) R(A)=m,R(B)=n (C) R(A)=n,R(B)=m (D) R(A)=n,R(B)=n

16. 已知A有一个r阶子式不等于0，则R(A) ( ) (A) =r (B) =r+1 (C) ≦r (D) ≧r

二、填空题. 1. 设A =341 = . , 则A45100

2. 设矩阵A =012, 则A1 = .

013

5. 设A为3阶方阵, det(A)=2, 则det(2A) = .

6.若A为2009阶矩阵,且满足ATA,则A .

7.设44矩阵A(,2,3,4),B(,2,3,4),其中,,2,3,4均为 四维列向量,且已知行列式A4,B1,则AB__________.

8.设A为3阶矩阵,且满足A2,则A1______,2A2_______,A*________,(A*)*________.

E9.设A(aij)sn与Br00等价,则矩阵A的秩R(A)=________. 0sn10.设n阶方阵A(aij)nn,B(ijaij)nn,已知行列式Aa,则行列式

B .

三、 计算题

123143211.已知A0321,B5301,求3A2B.

4032125011131112112.计算下列矩阵乘积：（1）；（2）121. 21211034123.已知X(1,2,3),Y(1,1,2),AXTY,BYXT,求A,B,A4.

6

7

23123T4.若A12,B, 求AB及(AB).

21031101015.（1）设A01,求A3；（2）设A020, 求Ak(k2,3,L)．

0010021236.将矩阵A4135化为标准形.

20121/23/27.已知A,且A6E, 求A11

3/21/28. 设A为3阶方阵, det (A) =, 计算行列式det [(3A) 1  2A]. 解: (3A) 1  2A = A 1 2det (A) A 1 = A 1 A 1 =A 1, det [(3A)

1

12131323 2A]=21621 1

. det (A) = [det (A)] = 32733319. 设矩阵D = A1 BT(CB1 + E) T [(C1) T A] 1, 其中A = 00123C = 456,求出矩阵D.

781001200120



0, B = 210, 00113解:D=A1 BT(CB1+E) T [(C1) T A] 1

= A1 [(CB1 + E) B] T A1[(C1) T ] 1

= A1(C + B)T  A1 C T = A1(C T + BT)  A1 C T = A1(C T + BT C T) = A1 BT。 由于A1

1001001201201T= 020, 所以, D = A B =020210= 420. 003003001003400满足矩阵方程AX = 2X + B, 其中A = 011,

01410. 设矩阵X7

8

36B = 11求矩阵X.

23解: 由AX = 2X + B, 得AX  2X = B, 即(A  2E)X = B,

12002又A  2E = 011可逆, 且(A  2E)1 =00102121所以, X = (A  2E)B = 000021, 1103036322111= 41.

233211

13011. 设矩阵X满足X + 6B = XB, 其中B = 210, 求矩阵X.

002解: X + 6B = XB  XB  X = 6B X (B  E) = 6B,

0300300301 1 ((B  E) = 200可逆, 且 (B  E)=200= 200, 所

60010010061300306301= 6210200=260

002600600121以, X = 6B(B  E)

1

12.（1）设三阶方阵A,B满足关系:A1BA6ABA,

111且Adiag(,,), 求B；

247（2）设方阵A,B满足A*BA=2BA8E,其中Adiag(1,2,1),求矩阵B；

111（3）设A111 满足A*XA12X, 求X.

111200113.已知A013，求(A*)1.

20258

9

12314.设 A212,用初等变换法求A1.

134100123M解 A,E212M010134M001r2r3r22r1100123M 034M210r3r1101011Mr12r2

100123M011M101034M210r1r3302101M011M101 r33r2513001M211100M010M614 001M513211100M614 010Mr2r3513001M211所以 A1614.

513r3(1)1019815.设AXB,其中A,B,试求X.

11122解 因为A101110,所以A可逆,故XA1B.

10198r2r110198由A,B,

1112201276198可得 X.

276111216.求矩阵A2332的秩,并求A的其中一个最高阶非零子式.

112111121r解 化A为行阶梯形, A2332011210故RA3,一个最高阶非零子式为D211101210, 31111313. 29

10

111217.设A312,R(A)2,求,的值.

536解 A

r23r1r35r112rr111211320344  0344. 00510854505因 R(A)2,故 ,从而得 .

110

18.求下列矩阵的秩,并求一个最高非零子式：

12B100113.

03126301319.求的值,使矩阵A有最小的秩: A1244101. 717325311

四、证明题

1. 设方阵A满足A2  A  2E = 0, 证明A可逆, 并求A1

证明: 因为A2  A  2E = 0 A2  A = 2E A(A  E) = 2E  A1(A  E) = E

2所以, A可逆,且A1 =(A  E).

2. 设方阵A满足A3 = 0, 试证明E-A可逆, 且(E-A)-1 = E + A + A2. 证明: A3 = 0 E-A3 = E, 由于E-A3 = (E-A)(E + A + A2) = E, 所以E-A可逆, 且(E-A)-1= E + A + A2 .

2 -1

3. 设方阵A满足A= A, 试证明E +A可逆, 并求(E +A). 证明: A2 = A A2 A  2E = 2E,

由于A2 A  2E = (A-2E)(E + A ) = 2E, 所以E +A可逆, 且(E +A)-1= (2E  A ) .

4. 已知A23A2EO,试证A和AE可逆,并求其逆. 证明：将已知等式化为A(A3E)2E,即A(3EA)E, 2121210

11

从而A可逆,且A13EA. 24EA)E, 6将已知等式化为(AE)(A4E)6E,即(AE)(4EA. 65.A,B均为n阶矩阵，且A、B、AB均可逆, 证明：(A1B1)1B(AB)1A.

从而AE可逆,且(AE)1

6.设n阶方阵A及AE均可逆,求证：BE(AE)1也可逆， 并求其逆.

7.求证：任何n阶方阵都可以表示成一个对称阵和一个反对称阵的和

8.设A为n阶非零实方阵,若A*AT,求证：A0.

9.设A与B是两个n阶反对称矩阵,

证明: 当且仅当ABBA时,AB是反对称矩阵.

10.设列矩阵X(x1,x2,L,xn)满足XTX1,HE2XXT, 证明：H是对称矩阵,且HHTE.

11.设ATAO,证明AO.

12.设A是mn阶矩阵,B是nm阶矩阵,且mn,证明AB0.

13.设A是n阶矩阵,A*是A的伴随矩阵.证明：

n,若R(A)nR(A*)1,若R(A)n1.

0,若R(A)n1

14.设A为n阶矩阵,证明：R(AE)R(AE)n

15.设A为nn矩阵,且A2A,证明R(A)R(AE)n. 证明：因为A2A,故A(AE)O,由上面性质2.9中的（4）得

R(A)R(AE)n,

又A(EA)E,由性质2.9中的（2）,有

R(A)R(EA)R(E)n,

而R(AE)R(EA),故有R(A)R(AE)n,

11

12

从而 R(A)R(AE)n.

12