高中三角函数知识点与常见习题类型解法

1、任意角的三角函数：

（1）弧长公式：laR R为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。 （2）扇形的面积公式：S12lR R为圆弧的半径，l为弧长。 （3）同角三角函数关系式：

①倒数关系： tanacota1 ②商数关系：tanasinacosa， cotacosasina ③平方关系：sin2acos2a1

（4）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）

2k所谓奇偶指的是整数k的奇偶性；

函 数 x sinx cosx tanx cotx a sina cosa tana cota 2a sina cosa tana cota cosa sina cota tana 2a

2、两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：

cos()cosacossinasin sin(a)sinacoscosasin

tana(a)tanatan1tanatan

【注：公式的逆用或者变形】．．．．．．．．．． （2）二倍角公式：

sin2a2sinacosa

cos2acos2asin2a12sin2a2cos2a1

tan2a2tana1tan2a

从二倍角的余弦公式里面可得出：降幂公式：cos2a1cos2a2 ， sin2a1cos2a2（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：

sina1cosaa22，cos21cosa2 ， tana1cosasina1cosa21cosa1cosasina

1

3、三角函数的图像和性质：（其中kz） ysinx 三角函数 图像 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 单调性 （-∞，+∞） [-1,1] ycosx ytanx （-∞，+∞） [-1,1] xk  2（-∞，+∞） T2 奇 T2 偶 T 奇 [2k[2k2,2k,2k单调递增 ]23单调递减 ]2 [(2k1),2k]单调递增 (k,k)单调递增 222[(2k,(2k1)]单调递减 对称性 对称轴：xk2 对称轴：xk 对称中心：(k 对称中心：(k,0) 零值点 最值点 2对称中心：(,0) k,0) 2 xk x2kx2k xk2 xk 无 2,ymax1 x2k,ymax1 2,ymax1 x(2k1),ymax1 4、函数yAsin(x)的图像与性质：

（本节知识考察一般能化成形如yAsin(x)图像及性质） （1）函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期都是T2

（2）函数yAtan(x)和yAcot(x)的周期都是T （3）五点法作yAsin(x)的简图，设tx，取0、及对应的y值再描点作图。

3、、、2来求相应x的值以22（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字

母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

2

【函数的平移变换】：

①yf(x)yf(xa)(a0) 将yf(x)图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减） ②yf(x)yf(x)b(b0) 将yf(x)图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）

【函数的伸缩变换】：

①yf(x)yf(wx)(w0) 将yf(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的短， 0w1伸长）

②yf(x)yAf(x)(A0) 将yf(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（A1伸长，0A1缩短）

【函数的对称变换】：

①yf(x)yf(x)) 将yf(x)图像绕y轴翻折180°（整体翻折）； （对三角函数来说：图像关于x轴对称）

②yf(x)yf(x)将yf(x)图像绕x轴翻折180°（整体翻折）； （对三角函数来说：图像关于y轴对称）

③yf(x)yf(x) 将yf(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）；

④yf(x)yf(x)保留yf(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动） 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换；

如1sin2acos2atanxcotxtan45等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin2a2cos2a(sin2acos2a)cos2a1cos2a； 配凑角：()；

（3）降次与升次；切化弦法。

（4）引入辅助角。

1倍（w1缩w22等。

yasinbcosa2b2sin()a2b2cos()，这里辅助角所在象限由

ba、b的符号确定，角的值由tan确定。

a

【典型例题】：

1、已知tanx2，求sinx,cosx的值．

3

解：因为tanxsinxcosx2，又sin2acos2a1， 联立得sinx2cosxsin2xcos2x1，

2525解这个方程组得sinx5,sinx5.

cosx55cosx552、求tan(120)cos(210)sin(480)tan(690)sin(150)cos(330)的值。 tan(120180)cos(18030)sin(360原式120解：)tan(72030o)sin(150)cos(36030) tan60(cos30)(sin120)tan30(sin150)cos3033. 3、若

sinxcosxsinxcosx2,，求sinxcosx的值．

解：法一：因为

sinxcosxsinxcosx2,

所以sinxcosx2(sinxcosx)

得到sinx3cosx，又sin2acos2a1，联立方程组，解得

3sinx10sinx31010，10， cosx1010cosx1010所以sinxcosx310 法二：因为sinxcosxsinxcosx2,

所以sinxcosx2(sinxcosx)，

所以(sinxcosx)24(sinxcosx)2，所以12sinxcosx48sinxcosx，所以有sinxcosx310 4

4、求证：tanxsinxtanxsinx。

证明：法一：右边＝tanxsinxtanx(tanxcosx)tanx(1cosx)tanxsinx；

法二：

左边=tanxsinxtanx(1cosx)tanxtanxcosxtanx(1cosx)tanxsinx

5、求函数y2sin(

解：因为0x2]，所以0222222222222222222222222x2π)在区间[0,2]上的值域。 6xx7由正弦函数的图象，得到 ，26266xπxπ1y2sin(),1所以y2sin()1,226262，

6、求下列函数的值域．

2（1）ysinxcosx2； （2）y2sinxcosx(sinxcosx))

2解：（1）ysinxcosx2 =1cos2xcosx2(cos2xcosx)3

令tcosx，则t[1,1],y(tt)3(t)利用二次函数的图象得到y[1,212213]. 413113(t)2,424

5

(2) y2sinxcosx(sinxcosx)

2=(sinxcosx)1(sinxcosx)

π2sin(x)，则t[2,2]

452则ytt1,利用二次函数的图象得到y[,12].

4令tsinxcosx7、若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为(2,2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。

解：由最高点为(2,2)，得到A2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得

14πT

4，T=16，所以 48ππ2sin(x).

841sinx的值域．

3cosxππ又由22sin(2)，得到可以取.y8444

8、已知函数f(x)=cosx－2sinxcosx－sinx．

π2(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若x[0,],求f(x)的最大值、最小值．数y

解：(Ⅰ)因为f(x)=cosx－2sinxcosx－sin4x＝(cosx－sinx)(cosx＋sinx)－sin2x ππ(cos2xsin2x)sin2xcos2xsin2x2sin(2x)2sin(2x)

4442222

所以最小正周期为π．

6

πππ3ππ3π(Ⅱ)若x[0,]，则(2x)[,]，所以当x=0时，f(x)取最大值为2sin()1;当x时，

244448f(x)取最小值为2.

9、已知tan

2，求（1）

cossin；（2）sin2sin.cos2cos2的值.

cossinsincossincos1tan12322； 解：（1）

sin1tan12cossin1cossin2sincos2cos222 (2) sinsincos2cos

sin2cos2sin2sin2222242 cos2cos.

sin2131cos21说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过 程简化。

10、求函数y1sinxcosx(sinxcosx)的值域。

解：设tsinxcosx2π2sin(x)[2，2]，则原函数可化为

413yt2t1(t)2，因为t[2，2]，所以

2413当t2时，ymax32，当t时，ymin，

243所以，函数的值域为y[，32]。

47

11、已知函数f(x)4sinx2sin2x2，xR；（1）求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及2此时x的集合；（2）证明：函数f(x)的图像关于直线xπ8对称。

解：f(x)4sin2x2sin2x22sinx2(12sin2x) 2sin2x2cos2x22sin(2xπ4) (1)所以f(x)的最小正周期Tπ，因为xR，

所以，当2xπ42kππ2，即xkπ3π8时，f(x)最大值为22； (2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线xπ8对称，只要证明对任意xR，f(π8x)f(π8x)成立，

因为f(π8x)22sin[2(π8x)π4]22sin(π22x)22cos2x，

f(π8x)22sin[2(π8x)π4]22sin(π22x)22cos2x，

所以f(π8x)f(π8x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线xπ8对称。

12 、已知函数y=

12cos2

x+32sinx·cosx+1 （x∈R）,

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

有

8

3311122

cosx+sinx·cosx+1= (2cosx－1)+ +（2sinx·cosx）+1

2244431515=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+

4442615=sin(2x+)+ 2所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。

626所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

6解：（1）y=

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

，得到函数y=sin(x+)的图像； 661（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；

2611（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的

226（i）把函数y=sinx的图像向左平移图像；

（iv）把得到的图像向上平移综上得到y=

515个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。 42312

cosx+sinxcosx+1的图像。

22历年高考综合题

一、选择题：

1、（08全国一6）y(sinxcosx)1是（ ）

A、最小正周期为2π的偶函数 C、最小正周期为π的偶函数

B、最小正周期为2π的奇函数

2D、最小正周期为π的奇函数

2、（08全国一9）为得到函数ycosxπ的图象，只需将函数ysinx的图像（ ） 3π个长度单位 65πC、向左平移个长度单位

6A、向左平移π个长度单位 65πD、向右平移个长度单位

6B、向右平移

3、(08全国二1)若sin0且tan0是，则是（ ）

A、第一象限角

B、第二象限角 C、 第三象限角 D、 第四象限角

4、（08全国二10）．函数f(x)sinxcosx的最大值为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、2

9

5、（08安徽卷8）函数ysin(2xA、x3)图像的对称轴方程可能是（ ）

C、x

6

B、x126

D、x12

6、（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移析式为 ( )

个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解2A、-sinx B、sinx C、-cosx D、cosx

7、（08广东卷5）已知函数f(x)(1cos2x)sinx,xR，则f(x)是（ ）

2的奇函数 2C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数

2A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为

8、（08海南卷11）函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为（ ）

33 D、－2， 229、（08湖北卷7）将函数ysin(x)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称

3A、 －3，1

B、－2，2

C、－3，

轴是直线x A、

1,则的一个可能取值是（ ）

551111 B、 C、 D、

12121212sinx10、（08江西卷6）函数f(x)是（ ）

xsinx2sin2A、以4为周期的偶函数 B、以2为周期的奇函数 C、以2为周期的偶函数 D、以4为周期的奇函数

11、若动直线xa与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的最大值为 （ ）

A、1 B、2 12、（08山东卷10）已知cosC、3 D、2

π47πsin3sin，则的值是（ ） 65623 5 C、A、23 5B、

44 D、 5513、08陕西卷1）sin330等于（ ）

A、3 2 B、11 C、 222 D．3 214、（08四川卷4）tanxcotxcosx ( )

10

Ａ、tanx Ｂ、sinx Ｃ、cosx Ｄ、cotx 15、（08天津卷6）把函数ysinx(xR)的图象上所有的点向左平行移动图象上所有点的横坐标缩短到原来的

个单位长度，再把所得31倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） 2 B、ysin A、ysin2x，xR 3，xR 3x，xR 26，xR 3C、ysin2x D、ysin2x16、（08天津卷9）设asinA、abc

522，bcos，ctan，则（ ）

777B、acb C、bca D、bac

217、（08浙江卷2）函数y(sinxcosx)1的最小正周期是（ ） A、

3 B、 C、 D、2 22x31

18、（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数ycos()(x[0，2])的图象和直线y

222

A、0 B、1 C、2 D、4

的交点个数是（ ）

二、填空题

19、（08北京卷9）若角的终边经过点P(1，2)，则tan2的值为 ． 20、（08江苏卷1）fxcosx6的最小正周期为

，其中0，则= ． 52sin2x121、（08辽宁卷16）设x0，，则函数y的最小值为 ．

sin2x222、（08浙江卷12）若sin(2)3，则cos2_________。 5

23、（08上海卷6）函数f(x)＝3sin x +sin(+x)的最大值是

2三、解答题

24、（08四川卷17）求函数y74sinxcosx4cosx4cosx的最大值与最小值。

11

2425、（08北京卷15）已知函数f(x)sin2x3sinxsinxπ（0）的最小正周期为π；2（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间0，上的取值范围．

3

26、（08天津卷17）已知函数f(x)2cosx2sinxcosx1（xR,0）的最小值正周期是

27、 （08安徽卷17）已知函数f(x)cos(2x22π；（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合． 2)2sin(x)sin(x)， 344,]上的值域

122（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[

 12

28、（08陕西卷17）已知函数f(x)2sinxxxcos23sin23． 444π，判断函数g(x)的奇偶性，并3（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；（Ⅱ）令g(x)fx说明理由．

13

参：

一、选择题：

1—10：D 、C、C、B、B、A、D 、C、 9、A 、A；

11—20: 11、C、13、B 、14、D 15、C 16、D 17、B 18、C； 二、填空题：

19、

43 20、10 21、3 22、725 23、2。 三、解答题：

24、解：y74sinxcosx4cos2x4cos4x

72sin2x4cos2x1cos2x 72sin2x4cos2xsin2x

72sin2xsin22x

1sin2x26

由于函数zu126在11，中的最大值为： zmax112610

最小值为：z2min1166

故当sin2x1时y取得最大值10，当sin2x1时y取得最小值6

【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；

【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；25、解：（Ⅰ）f(x)1cos2x232sin2x32sin2x12cos2x12

sin2xπ162．

因为函数f(x)的最小正周期为π，且0， 所以

2π2π，解得1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)sin2xπ612． 因为0≤x≤2π3， 所以π6≤2xπ6≤7π6， 所以12≤sin2xπ6≤1，

因此0≤sinπ2x612≤32，即f(x)的取值范围为0，32．

14

26、解：（Ⅰ）

fx21cos2xsin2x12sin2xcos2x2 2sin2xcoscos2xsin2442sin2x242由题设，函数fx的最小正周期是，可得，所以2．

222（Ⅱ）由（Ⅰ）知，fx2sin4x2．

4当4x422k，即x16kkZ时，sin4x取得最大值1，所以函数fx的最大值

42是2

k2，此时x的集合为x|x,kZ

16227、解：（1）

f(x)cos(2x)2sin(x)sin(x) 34413cos2xsin2x(sinxcosx)(sinxcosx) 2213cos2xsin2xsin2xcos2x 2213cos2xsin2xcos2x 22    sin(2x（2）

6) ∴周期T2 2x[5,],2x[,] 1226366)在区间[,]上单调递增，在区间[,]上单调递减，

32123因为f(x)sin(2x所以当x3时，f(x)取最大值 1；

又

f(12)31f()， 22233,1] 所以 函数 f(x)在区间[,]上的值域为[2；2122∴当x12时，f(x)取最小值 15

28、解：（Ⅰ）

f(x)sinxxx23cos22sin2π3． f(x)的最小正周期T2π14π． 2当sinxπ231时，f(x)取得最小值2；当sinx2π31时，f(x)取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)2sinx2π3．又g(x)fπx3．

g(x)2sin1ππx332sinx2πx222cos2． g(x)2cosxx22cos2g(x)．

函数g(x)是偶函数．

16