函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题(一）

一、

填空题

１、若f1lnx1,则fx_＿＿_＿。

1lnxx2、函数fx的定义域为a,b，则f2x1的定义域为_____。3ﻫ、若x0时,无

1x22x穷小ln与等价，则常数a__＿__。 asin21x24、设fxlim二、

单选题

nn1x，则

nx12fx的间断点为x＿_＿＿_。

1、当x0时,变量

11是( ） sinx2xx在,上连续，且bxae A、无穷小 B、无穷大ﻫ Ｃ、有界的，但不是无穷小 Ｄ、无界的,也不是无穷大ﻫ２、设函数fxxlimfx0，则常数a,b满足（ )ﻫ A、a0,b0

B、a0,b0

Ｃ、a0,b0 D、a0,b0 3、设fx232，则当x0时（ ）

xx A、fx与x是等价无穷小 B、fx与x是同阶但非等价无穷小ﻫ Ｃ、

fx是x的高阶无穷小 D、fx是x的低阶无穷小

4、设对任意的x,总有xfxgx，且limgxx0,则limfxxx为( ）ﻫ A、存在且等于零 B、存在但不一定等于零 C、一定不存在 Ｄ、不一定存在 例:xx,fxx12x2,gxx1 x1三、 求下列极限ﻫ１、

2xxlim4x2x1x1xsinx2 2、

2xx12lim2 x1x1--

--

四、

ln1ax31tanx1sinx确定a,b的值，使fxb211xxln2x1xxx0x0在,内连x0续。

指出函数fx五、

eex1x1x的间断点及其类型。

e1e六、

设a1,a2,a3,a4为正常数，证明方程

aa1aa2340有且仅有三个实xx1x2x3根。 七、

设函数fx,gx在a,b上连续,且满足faga,fbgb,证明：

在a,b内至少存在一点,使得fg。

b12函数与极限测试题答案（一)

一、1、

e1x1x； 2、2a1,; ３、

4； 4、0；

二、1—４、DCＢD

4三、1、解:原式limx11121xxx3；

sinx12xx212xx2122x1x12、解：原式lim12x1x1四、解：注意当e1

4x2时,1tanx无意义，所以不存在a,b的值使fx在

。改后即要,内连续。此题应把“在,内连续”改为“在x0处连续”

fxlimfxf0b,即 求limfxf0b,此式等价于limx0x0x02xln111xx221xx2limlnlimlim2b 2x0xx01xx1xx2x0x--

--

ln1ax31tanx1sinxln1ax3x0limlimx01tanx1sinxtanxsinx

limx0ax31tanx1sinx13x24ab2 所以a1,b2。

211五、解:x0,x1是此函数的间断点,因为x0时,,exe0,所以

x1x111xlimeeex0,时，又因为,,0，所以11x0xe1exexeexx0limeex1x1xexelim1x0ee1x1x11,x0是跳跃间断点。 1e1e因为limeex1x1xx11,x1是可去间断点。

ax1x2x3a2xx2x3a3xx1x3a4xx1x2aa2a341ﻫx1x2x3xx1x2x3e1ex六、证明：因为a1分子是一个三次多项式，根据代数基本理论，分子最多有三个实的零点，即原方程最多有三个实根;又因为limx0aaaa1234 xx1x2x3a3a3a2a4a2a4a1a1limlim, x1xx1xx1x2x3x1x2x3a3a3a2a4a2a4a1a1limlim， x2xx2x1x2x3xx1x2x3a3a2a4a1lim，所以利用零点定理，在区间 x3xx1x2x30,1,1,2,2,3原方程分别至少有一个实根。所以原方程有且仅有三个实根。

七、证明:在区间a,b上考虑函数Fxfxgx,由已知可得Fx在a,b上连续。Fafaga0,Fbfbgb0ﻫ1）如果Fa0或Fb0,

--

--

则可取a或b。ﻫ２）如果Fa0且Fb0,由零点定理,至少存在一点a,b，使得F0即fg。

--