四年级奥数：等差数列求和(一)

小朋友们，还记得我们第一讲的内容吗——数中的规律。那么对于一列有规律的数列我们怎么来求和呢？上一讲我们利用配对求和的方法能够很快解决一部分求和的问题，但是，当算式再复杂点又该怎样来解决呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！ 我们先来认识什么是等差数列，如：1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋98＋100。这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差）。像这样的数列我们将它称之为等差数列。

我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母n代表项数（加数的个数），那么S＝（a＋b）×n÷2。如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n＝（b－a）÷d＋1

典型例题 例【1】 求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。

分析 首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。

解 S＝（a＋b）×n÷2

＝（1＋1999）×1999÷2

＝2000×1999÷2

＝1000×1999

＝1999000

例【2】 求111＋112＋113＋……＋288＋2的和。

分析 首项a＝111，末项b＝2，公差d＝1，项数n＝（2－111）÷1＋1＝178＋1＝179。

解 S＝（a＋b）×n÷2

＝（111＋2）×179÷2

＝400×179÷2

＝200×179

＝35800

例【3】 求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。

分析 首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，项数n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。

解 S＝（a＋b）×n÷2

＝（2＋198）×99÷2

＝200×99÷2

＝100×99

＝9900

例【4】 求297＋294＋291＋……＋9＋6＋3的和。

分析 297＋294＋291＋……＋9＋6＋3＝3＋6＋9＋……＋291＋294＋297，对于重新排列的这列数，首项a＝3，末项b＝297，公差d＝3，项数n＝（297－3）÷3＋1＝98＋1＝99。

解 S＝（a＋b）×n÷2

＝（3＋297）×99÷2

＝300×99÷2

＝150×99

＝14850

例【5】 求5000－124－128－132－……－272－276的和。

分析 5000－124－128－132－……－272－276＝5000－（124＋128＋132＋……＋272＋276），对于124＋128＋132＋……＋272＋276，可以利用等差数列的求和公式先计算出来，a＝124，b＝276，d＝4，n＝（276－124）÷4＋1＝38＋1＝39。

所以： 124＋128＋132＋……＋272＋276

＝（124＋276）×39÷2

＝400×39÷2

＝200×39

＝7800

小结 对于简单的整数等差数列求和，要熟练掌握其求和公式和求项数的公式。区分表的数字分别是多少，有时要将数列顺序调换，才能使得后项减去前项等差。

a，b，d代