【中考模拟】辽宁省沈阳市铁西区2015年中考数学二模试题(含解析)

辽宁省沈阳市铁西区2015年中考数学二模试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各数中，最大的是（ ）

A．﹣2 B．0 C．﹣ D．2

2．中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将完成城市绿化面

2

积共8210 000m，将8210 000用科学记数法表示应为（ ）

2567

A．821×10 B．82.1×10 C．8.21×10 D．0.821×10

3．如图中几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

4．下列叙述正确的是（ ） A．正六边形的一个内角是108° B．不可能事件发生的概率为1

C．不在同一直线上的三个点确定一个圆

D．两边及其一边的对角线相等的两个三角形全等

5．小明对九（1）班全班同学“你最喜欢的球类项目是什么？（只选一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的扇形统计图，由图可知，该班同学最喜欢的球类项目是（ ）

A．羽毛球 B．乒乓球 C．排球 D．篮球

6．一次函数y=﹣4x﹣5的图象一定不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2

7．一元二次方程x﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）

A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1

8．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE=4，S△CDE=16，则△ACD的面积为（ ）

A． B．72 C．80 D．96

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．计算：

﹣tan45°= ．

32

10．计算：3x•2x的结果是 ．

11．如图，直线a∥b，直线a，b被直线c所截，∠1=37°，则∠2= ．

23

12．分解因式：xy﹣y= ．

13．已知如图，A是反比例函数则k的值是 ．

的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积是3，

14．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E，AB=4，BC=8，则图中弧

，线段DE，CD围成的阴影部分的面积为 ．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE= ．

22

16．当﹣1≤x≤2时，关于x的二次函数y=（x﹣m）﹣m+1有最小值﹣2，则实数m的值为 ．

三、解答题（本大题共9小题，共94分）

17．先化简，再求值：（），其中实数x满足x﹣3=﹣2x．

2

18．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC． （1）求证：BE=AF；

（2）若∠ABC=56°，∠ADB=120°，求∠AFE的度数．

19．袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个绿球．

（1）现从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．请用画树状图或列表的方法，求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；

（2）先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．

20．八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分； （2）计算乙队的平均成绩和方差；

2

（3）已知甲队成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是 队．

21．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．

（1）求证：DC为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．

22．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．

23．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少销售10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），销售量为y件，销售该种品牌玩具获得的利润为w元．

（1）请直接写出y与x，w与x的函数表达式；

（2）若商场获得了10000元的销售利润，求该种品牌玩具销售单价x应定为多少元？ （3）若玩具厂规定该种品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该种品牌玩具获得的最大利润是多少？

24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AB=10，点D在线段AB上运动，点E与点D关于直线AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，点M为AB的中点． （1）当点D不与点A，B重合时，求证：CE=CF； （2）连接CM，当EF⊥CM时，求AD的长； （3）当EF∥AB时，AD的长为 ；

（4）当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积为 ．

2

25．如图，抛物线y=ax+bx经过点A（﹣1，1），B（﹣3，1），BC⊥x轴于点C，动点P从点O出发，沿着x轴负方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q．设点P移动的方向为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求抛物线的表达式；

（2）以PQ为一边作正方形PQMN，且点N在点Q的左侧． ①请直接写出用含t的代数式表示点M，点N的坐标；

②是否存在t，使得正方形PQMN的顶点M或顶点N在抛物线上？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）若S=

，其中k是不等式4k﹣3＜k+6的正整数解，请直接写出t的值．

2015年辽宁省沈阳市铁西区中考数学二模试卷 参与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各数中，最大的是（ ）

A．﹣2 B．0 C．﹣ D．2 【考点】有理数大小比较．

【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断出最大的数是多少即可． 【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得

2＞0＞﹣2＞﹣，

∴各数中，最大的是2． 故选：D．

【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．

2．中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将完成城市绿化面

2

积共8210 000m，将8210 000用科学记数法表示应为（ ）

2567

A．821×10 B．82.1×10 C．8.21×10 D．0.821×10 【考点】科学记数法—表示较大的数．

n

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

6

【解答】解：8 210 000=8.21×10， 故选：C．

n

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．如图中几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图． 【专题】常规题型．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【解答】解：从上面看易得第一层最右边有1个正方形，第二层有3个正方形．

故选：A．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

4．下列叙述正确的是（ ） A．正六边形的一个内角是108° B．不可能事件发生的概率为1

C．不在同一直线上的三个点确定一个圆

D．两边及其一边的对角线相等的两个三角形全等

【考点】确定圆的条件；全等三角形的判定；多边形内角与外角；概率的意义．

【分析】利用正多边形的内角、随机事件的概率、确定圆的条件及全等三角形的判定的知识分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、正六边形的一个内角为120°，故错误； B、不可能事件发生的概率为0，故错误；

C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故正确；

D、两边及其一边的对角线相等的两个三角形全等，错误， 故选C．

【点评】本题考查了正多边形的内角、随机事件的概率、确定圆的条件及全等三角形的判定的等知识，属于基础题，比较简单．

5．小明对九（1）班全班同学“你最喜欢的球类项目是什么？（只选一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的扇形统计图，由图可知，该班同学最喜欢的球类项目是（ ）

A．羽毛球 B．乒乓球 C．排球 D．篮球 【考点】扇形统计图． 【专题】图表型．

【分析】利用扇形图可得喜欢各类比赛的人数的百分比，选择同学们最喜欢的项目，即对应的扇形的圆心角最大的，由此即可求出答案．

【解答】解：喜欢篮球比赛的人所占的百分比最大，故该班最喜欢的球类项目是篮球． 故选D．

【点评】本题考查的是扇形图的定义．在扇形统计图中，各部分占总体的百分比之和为1，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．

6．一次函数y=﹣4x﹣5的图象一定不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】一次函数的性质．

【分析】根据一次函数的性质，由k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，即可得出．

【解答】解：根据一次函数的性质，﹣4＜0，﹣5＜0， 故k＜0，b＜0，

函数y=﹣4x﹣5的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选A．

【点评】本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象经过的象限由k、b的值共同决定，有六种情况：

①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大； ②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大； ③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；

④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小；

⑤当k＞0，b=0，函数y=kx+b的图象经过第一、三象限； ⑥当k＜0，b=0，函数y=kx+b的图象经过第二、四象限．

2

7．一元二次方程x﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ） A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1 【考点】根的判别式．

【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．

2

【解答】解：∵方程x﹣2x+m=0总有实数根， ∴△≥0， 即4﹣4m≥0， ∴﹣4m≥﹣4， ∴m≤1． 故选：D．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．

8．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE=4，S△CDE=16，则△ACD的面积为（ ）

A． B．72 C．80 D．96 【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】由S△BDE=4，S△CDE=16，得到S△BDE：S△CDE=1：4，根据等高的三角形的面积的比等于底

边的比求出=，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后求出△ACD的面积． 【解答】解：∵S△BDE=4，S△CDE=16， ∴S△BDE：S△CDE=1：4，

∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等， ∴

=，

∴=， ∵DE∥AC，

∴△DBE∽△ABC， ∴S△DBE：S△ABC=1：25， ∴S△ACD=80． 故选C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．计算：

﹣tan45°= 4 ．

【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．

【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【解答】解：原式=4+1﹣1=4． 故答案为：4

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

325

10．计算：3x•2x的结果是 6x ． 【考点】单项式乘单项式．

【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．

3+25

【解答】解：原式=3×2×x=6x．

5

故答案是：6x．

【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．

11．如图，直线a∥b，直线a，b被直线c所截，∠1=37°，则∠2= 143° ．

【考点】平行线的性质． 【专题】几何图形问题．

【分析】根据对顶角相等可得∠3=∠1，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．

【解答】解：∠3=∠1=37°（对顶角相等）， ∵a∥b，

∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣37°=143°． 故答案为：143°．

【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

23

12．分解因式：xy﹣y= y（x+y）（x﹣y） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．

23

【解答】解：xy﹣y

22

=y（x﹣y）

=y（x+y）（x﹣y）．

故答案为：y（x+y）（x﹣y）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．

13．已知如图，A是反比例函数则k的值是 6 ．

的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积是3，

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．

【解答】解：根据题意可知：S△AOB=|k|=3， 又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0， 则k=6．

故答案为：6．

【点评】本题主要考查了反比例函数 y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

14．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E，AB=4，BC=8，则图中弧

，线段DE，CD围成的阴影部分的面积为 32﹣8

﹣

．

【考点】扇形面积的计算． 【分析】连接BE．则阴影部分的面积等于矩形的面积减去直角三角形ABE的面积和扇形BCE的面积，根据题意，知BE=BC=8，则AE=4【解答】解：连接BE． 根据题意，知BE=BC=8． 则根据勾股定理，得AE=∵cos∠BAE==， 则∠ABE=60°． 则∠CBE=30°．

=4

，

，∠ABE=60°，则∠CBE=30°进而求出即可．

则阴影部分的面积=S

；

故答案为：32﹣8

四边形ABCD

﹣S△ABE﹣S

扇形DAE

=4×8﹣×4×4﹣=32﹣8﹣

﹣．

【点评】此题主要考查了扇形面积求法，本题中能够将不规则图形的面积进行转换成规则图形的面积差是解题的关键．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，

BC=6，sinA=，则DE= ．

【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理．

【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由△ADE∽△ACB，利用对应边成比例可求出DE．

【解答】解：∵BC=6，sinA=， ∴AB=10， ∴AC=

=8，

∵D是AB的中点， ∴AD=AB=5， ∵△ADE∽△ACB， ∴

=

，即

． =，

解得：DE=

故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股定理的表达式．

22

16．当﹣1≤x≤2时，关于x的二次函数y=（x﹣m）﹣m+1有最小值﹣2，则实数m的值为 或﹣2 ．

【考点】二次函数的最值．

【分析】根据二次函数的最值问题列出方程求出m的值，再根据二次项系数大于0解答．

22

【解答】解：∵关于x的二次函数y=（x﹣m）﹣m+1有最小值﹣2， 二次项系数a=1＞0，故图象开口向上，对称轴为x=m，

22

当m＜﹣1时，最小值在x=﹣1取得，此时有（m+1）+1﹣m=﹣2， 求得m=﹣2，符合m＜﹣1；

2

当﹣1≤m≤2时，最小值在x=m时取得，即有1﹣m=﹣2 求得m=

或m=﹣

（舍去）

2

2

当m＞2时，最小值在x=2时取得，即（2﹣m）﹣m+1=﹣2 求得m=（舍去）

故答案为：或﹣2．

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，要注意二次函数有最小值，二次项系数大于0．

三、解答题（本大题共9小题，共94分）

17．先化简，再求值：（），其中实数x满足x﹣3=﹣2x．

2

【考点】分式的化简求值． 【专题】计算题．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=

2

2

•（x+1）=x+2x+2，

2

由x﹣3=﹣2x，得到x+2x=3， 则原式=3+2=5．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC． （1）求证：BE=AF；

（2）若∠ABC=56°，∠ADB=120°，求∠AFE的度数．

【考点】平行四边形的判定与性质．

【分析】（1）先证明四边形ADEF是平行四边形，得出对边相等AF=DE，再由平行线的性质和角平分线得出∠DBE=∠BDE，证出BE=DE，即可得出结论；

（2）由角平分线的定义得出∠ABD=∠DBE=28°，再由三角形内角和定理求出∠A的度数，即可得出∠AFE的度数．

【解答】（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE， ∴AF=DE，

∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠DBE， ∴∠DBE=∠BDE， ∴BE=DE， ∴BE=AF；

（2）解：∵BD是△ABC的角平分线，∠ABC=56°，

∴∠ABD=∠DBE=28°，

在△ABD中，∠A=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=32°， ∵EF∥AC，

∴∠A+∠AFE=180°，

∴∠AFE=180°﹣∠A=180°﹣32°=148°．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线、平行线的性质等知识；证明四边形是平行四边形是解决问题的关键，难度适中．

19．袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个绿球．

（1）现从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．请用画树状图或列表的方法，求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；

（2）先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】计算题．

【分析】（1）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出第一次摸到绿球，第二次摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解；

（2）先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中第一次摸到绿球，第二次摸到红球的结果数为2， 所以第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率=； （2）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的结果数为4， 所以两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率==． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．注意区分第一次摸了放回与不放回．

20．八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是 9.5 分，乙队成绩的众数是 10 分； （2）计算乙队的平均成绩和方差；

2

（3）已知甲队成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是 乙 队． 【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．

【专题】计算题；图表型．

【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可；

（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；

（3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案．

【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分）， 则中位数是9.5分；

乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多， 则乙队成绩的众数是10分； 故答案为：9.5，10；

（2）乙队的平均成绩是：

×（10×4+8×2+7+9×3）=9，

2

2

2

2

则方差是：×[4×（10﹣9）+2×（8﹣9）+（7﹣9）+3×（9﹣9）]=1；

（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1， ∴成绩较为整齐的是乙队； 故答案为：乙．

【点评】本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一般地设n个数据，x1，x2，„xn的平均数为，则方差S= [（x1﹣）+（x2﹣）+„+（xn﹣）]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

21．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．

（1）求证：DC为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．

2

2

2

2

【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；

（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：连接OC

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA ∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠OAC ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD

∵AD⊥CD∴OC⊥CD

∴直线CD与⊙O相切于点C；

（2）解：连接BC，则∠ACB=90°． ∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴，

2

∴AC=AD•AB，

∵⊙O的半径为3，AD=4， ∴AB=6， ∴AC=2

．

【点评】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．

22．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．

【考点】一次函数综合题．

【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式． 【解答】解：∵一次函数

中，令x=0得：y=2；

令y=0，解得x=3．

∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（3，0）． 作CD⊥x轴于点D． ∵∠BAC=90°，

∴∠OAB+∠CAD=90°， 又∵∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠BAO

又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90° ∴△ABO≌△CAD，

∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5．

则C的坐标是（5，3）． 设BC的解析式是y=kx+b，

根据题意得：，

解得．

则BC的解析式是：y=x+2．

【点评】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定定理与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．

23．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少销售10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），销售量为y件，销售该种品牌玩具获得的利润为w元．

（1）请直接写出y与x，w与x的函数表达式；

（2）若商场获得了10000元的销售利润，求该种品牌玩具销售单价x应定为多少元？ （3）若玩具厂规定该种品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该种品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）×10=1000

2

﹣10x，利润W=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x+1300x﹣30000；

2

（2）令﹣10x+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；

22

（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．

【解答】解：（1）y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，

W=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x+1300x﹣30000；

2

（2）﹣10x+1300x﹣30000=10000 解之得：x1=50，x2=80

答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润， （3）根据题意得

2

，

解之得：44≤x≤46，

22

w=﹣10x+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）+12250， ∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65， ∴当44≤x≤46时，w随x增大而增大． ∴当x=46时，W最大值=80（元）．

答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为80元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．

24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AB=10，点D在线段AB上运动，点E与点D关于直线AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，点M为AB的中点． （1）当点D不与点A，B重合时，求证：CE=CF； （2）连接CM，当EF⊥CM时，求AD的长； （3）当EF∥AB时，AD的长为 5 ；

（4）当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积为 25

．

【考点】几何变换综合题． 【分析】（1）连接CD，根据点E与点E关于AC对称，得到CE=CD，等边对等角得到∠E=∠CDE，再证明∠F=∠CDF，得到CD=CF，所以CE=CF．

（2）先证明△MAC是等边三角形，再证明∠ADC=90°，根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可解答；

（3）先证明∠A=∠DCA，得到AD=CD，再证明AD=BD，得到D为AB的中点，所以AD==5． （4）根据当点D从点A运动到点B时，如图4，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，即可解答． 【解答】解：（1）如图1，连接CD，

∵点E与点D关于AC对称， ∴CE=CD， ∴∠E=∠CDE，

∵∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°， ∴∠F=∠CDF， ∴CD=CF， ∴CE=CF．

（2）如图2，连接CM，

∵点M为AB的中点，AB=10， ∴CM=MA=MB=5，

∵∠ACB=90°，∠CBA=30°， ∴∠A=60°，

∴△MAC是等边三角形， ∴∠MCB=30°， ∵EF⊥CM， ∴∠MCF=90°， ∴∠FCB=60°，

∵点E与点D关于AC对称， ∴DE⊥AC， ∵∠ACB=90°， ∴DE∥BC，

∴∠E=∠FCB=60°，∠ADE=∠CBA=30°， ∵∠E=∠CDE=60°， ∴∠ADC=90°， ∴AD=AM=．

（3）如图3，连接CD，

∵点E与点D关于AC对称， ∴CE=CD，

∴∠E=∠CDE，∠ECA=∠DCA， ∵∠ACB=90°，∠CBA=30°， ∴∠A=60°， ∵EF∥AB，

∴∠A=∠ECA=60°， ∴∠DCA=60°， ∴∠A=∠DCA， ∴AD=CD，

∵∠B=30°，∠BCD=90°﹣∠DCA=90°﹣60°=30°， ∴∠B=∠BCD， ∴CD=BD， ∴AD=BD，

∴D为AB的中点，

∴AD==5． 故答案为：5．

（4）∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，AB=10， ∴AC=AB=∴BC=

=5， =

=5

，

当点D从点A运动到点B时，如图4，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，

=

线段EF扫过的面积是：故答案为：25

．

， ．

【点评】本题考查了轴对称、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质的综合应用，在第（3）中确定出EF扫过的面积与△ABC的关系是解题的关键．

2

25．如图，抛物线y=ax+bx经过点A（﹣1，1），B（﹣3，1），BC⊥x轴于点C，动点P从点O出发，沿着x轴负方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PQ垂直于直线OA，

垂足为点Q．设点P移动的方向为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求抛物线的表达式；

（2）以PQ为一边作正方形PQMN，且点N在点Q的左侧． ①请直接写出用含t的代数式表示点M，点N的坐标；

②是否存在t，使得正方形PQMN的顶点M或顶点N在抛物线上？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）若S=

，其中k是不等式4k﹣3＜k+6的正整数解，请直接写出t的值．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据正方形对角顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，可得答案；

（3）①根据函数图象上点的坐标满足函数解析式，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；

②分类讨论：k=1时，根据三角形的面积公式，可得方程，根据解方程，可得答案；k=2时，根据相似三角形的性质，可得梯形的上底，根据梯形的面积公式，可得方程，根据解方程，可得答案．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，1），B（﹣3，1）代入函数解析式，得

，

解得，

2

∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣x；

（2）①P（﹣2t，0），Q在PO的垂直平分线上，Q，（﹣t，t）， 设M（﹣a，a）， QM=PQ=

t，

2

2

2

（﹣a+t）+（a﹣t）=2t，

解得a=﹣2t，即M（﹣2t，2t）； PM的中点也是QN的中点，

N点的横坐标﹣2t+（﹣2t）﹣（﹣t）=﹣3t，N点的纵坐标2t﹣t=t， N（﹣3t，t），

M（﹣2t，2t），N（﹣3t，t），

②当点M在抛物线上时， 2t=﹣（﹣2t）﹣（﹣2t）． 解得t=0（舍），t=； 当点N在抛物线上时， t=﹣（﹣3t）﹣（﹣3t）， 解得t=0（舍），或t=1， ∴t的值为或1．

（3）由4k﹣3＜k+6，得 k=1或k=2，

22

当k=1时，如图1：S=

=

=（

t），

2

，

解得t=， 当k=2时，S=

=，

如图2，Q2E⊥OP2

OP2=2t，OE=Q2E=t，Q2F=t﹣1，

，

=，即FA==t﹣1，

AD=2AF=2（t﹣1），

四边形OAFP2=（2t﹣2+2t）×1=， 解得t=

，

综上所述：或．

【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用正方形对角顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等是解题关键；（3）利用了三角形的面积公式，梯形的面积公式得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．