几何中的角度问题解法探究

作者：杨铧臣

来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第04期

平面几何是立体几何、解析几何的基础，平面几何问题主要是求边、角、面积等类型，掌握这些问题的解法是非常必要的。

例1（2010年江西）E，F分别是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（）。

A.1627B.23C.33D.34

图1解：如图1，设AB=6，则AE=EF=FB=2。因为△ABC是等腰直角三角形，所以AC=BC=32。

在△ACE中，A=45°，AE=2，AC=32，由余弦定理得CE=AE2+AC2-2AE·ACcosA=10。 同理在△BCF中，由余弦定理可得CF=10。

在△CEF中，由余弦定理得cos∠ECF=10+10-42×10×10=45。 所以tan∠ECF=1cos∠ECF2-1=34。故选D。

点评：本题先设出AB的长度，再分别在△ACE，△BCF中利用余弦定理求出CE，CF，最后在△CEF中求出tan∠ECF。

例2在△ABC中，已知AB=463，cos∠ABC=66，AC边上的中线BD=5，求sinA的值。 分析：D为AC的中点，联想到作辅助线，取BC的中点E，得DE=12AB，∠BED为∠ABC的补角，在△BDE中，可求出BE，进而可求出BC，在△ABC中，已知两边及其夹角，可求出sinA的值。

图2解：如圖2，设BC的中点为E，连接DE，则DE∥AB且DE=12AB=263。 在△BDE中，由余弦定理得：BD2=BE2+ED2-2BE·EDcos∠BED。 解得BE=1或BE=-73（舍去），所以BC=2BE=2。

在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=283，所以AC=2213。又因为sin∠ABC=1-cos2∠ABC=306，由正弦定理得：BCsinA=ACsin∠ABC，代入可得sinA=7014。

点评：在几何图形中求角的问题，除了用正、余弦定理，经常要用到同角三角函数关系式、三角恒等变形等知识。

总之，解决平面几何中角的问题，一般先根据题中条件分析能否直接求出相关问题，若不能则再需添加辅助线解三角形。

作者单位：湖南广益实验中学