中考数学专题训练---一元二次方程的综合题分类含详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x的一元二次方程x2k1xk30有两个实数根．

221求k的取值范围；

2设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12x2223，求k的值．

【答案】（1）k【解析】 【分析】

13；（2）k2． 41根据方程有实数根得出[2k1]241k238k50，解之可得．

2利用根与系数的关系可用k表示出x1x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方

程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：1关于x的一元二次方程x2k1xk30有两个实数根，

22220，即[2k1]41k34k130，

解得k13． 42由根与系数的关系可得x1x22k1，x1x2k23，

2x12x2(x1x2)22x1x2(2k1)22k232k24k7， 2x12x223，

2k24k723，解得k4，或k2，

k13， 4k4舍去， k2． 【点睛】

本题考查了一元二次方程axbxc0(a0,a，b，c为常数)根的判别式.当0，

2方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根.以及根与系数的关系．

2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）5；（2）180

【解析】 【分析】

（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；

（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可． 【详解】

（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得： x+1+（x+1）x＝36，

解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：5×36＝180（个）， 答：第三轮将又有180人被传染． 【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.

3．已知两条线段长分别是一元二次方程x28x120的两根， （1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。 （3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。 【答案】（1）2和6；（2）22；（3） 【解析】 【分析】

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是x和6x，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可. 【详解】

解：（1）由题意得x2x60， 即：x2或x6， ∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3， 由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：3212=22 ∴此等腰三角形面积为

831222=22． 2（3）设分为x及6x两段

x2226x

2∴x8， 32x8， 23∴S8∴面积为.

3【点睛】

本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.

4．已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围；

x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，（2）是否存在实数k，使得x1·请说明理由． 【答案】(1)当k≤【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：

（1） 2k14k2k0，解得k221x2－x12－x22≥0成立 时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k，使得x1·

41 4222（x1x2）0， （2）由x1x2x1x20得 3x1x22由根与系数的关系可得：x1x22k1,x1x2k2k

代入得：3k26k4k24k10， 化简得：k10， 得k1.

由于k的取值范围为k21， 422故不存在k使x1x2x1x20．

5．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值． 【答案】1

【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可． 试题解析：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得 1﹣2a+a2=0， 解得a1=a2=1，

所以a的值为1.

6．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米. 【解析】

试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．

试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400，

解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20

考点：一元二次方程的应用．

7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？ (2)出发几秒后，线段PQ的长为42cm ?

(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．

【答案】(1) 2或4秒;(2) 42 cm；(3)见解析. 【解析】 【分析】

（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=

1BP×BQ，列出表达式，解答出即可； 2（2）设经过x秒后线段PQ的长为42cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；

（3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断． 【详解】

(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，

则PB＝6－t，BQ＝2t， ∵∠B＝90°，

1 (6－t)× 2t＝8， 2解得t1＝2，t2＝4，

∴

∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2； (2)设x秒后，PQ＝42 cm， 由题意，得(6－x)2＋4x2＝32， 解得x1＝故经过

2，x2＝2， 52秒或2秒后，线段PQ的长为42 cm； 5(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，

1×(6－y)× 2y＝10， 2即y2－6y＋10＝0，

S△PBQ＝

∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0， ∴△PBQ的面积不会等于10 cm2. 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.

8．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a＞0，b＞0时：

∵（ab）2=a﹣2ab+b≥0 ∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）请直接写出答案：当x＞0时，x+为 ；

11的最小值为 ．当x＜0时，x+的最大值xxx27x10（2）若y=，（x＞﹣1），求y的最小值；

x1（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．

【解析】 【分析】

（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，＞0，则也可以按公式a+b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）来计算；

1x

x27x10（2）将y的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式

x1求得最小值，再加上常数即可；

（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】

（1）当x＞0时，x112x2； xx1x

当x＜0时，﹣x＞0，＞0． ∵﹣x111112x2，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x的最xxxxx1的最大值为﹣2． x小值为 2．当x＜0时，x故答案为：2，﹣2．

2x27x10(x1)5x14=（x+1）（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴yx1x145≥2x1x145=4+5=9，∴y的最小值为9． x136，∴x（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9

则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD四边形ABCD面积=4+9+x363613+2x25． xx当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25． 【点睛】

本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．

9．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.

（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？

（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.

【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x的值为2或7. 【解析】 【分析】

（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】

（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a元/千克, b元/千克. 由题得：ab18

3a44b282a10 解之得：b8答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：4x10010x2x14010x960 解之得：x12，x27

经检验，x12，x27均符合题意 答：x的值为2或7. 【点睛】

本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.

10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件： （1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？

（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加求出m的值．

【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16． 【解析】

试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可； （2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+150（x﹣20）=2250，

m），列出方程求解即可．

m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，

试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，

解得x=35，

答：销售单价至少为35元；

（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+150+m﹣

m﹣150×m%﹣m%×m2=12，

m=162，

m）=5670，

60m﹣3m2=192， m2﹣20m+=0， m1=4，m2=16， ∵要使销售量尽可能大， ∴m=16．

【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．